Prawo myśli

Ten artykuł dotyczy reguł aksjomatycznych ze względu na różnych logików i filozofów. Aby zapoznać się z książką Boole'a o logice, zobacz The Laws of Thought .

Prawa myślenia są fundamentalnymi regułami aksjomatycznymi , na których często uważa się, że opiera się sam racjonalny dyskurs. Formułowanie i wyjaśnianie takich reguł ma długą tradycję w historii filozofii i logiki . Generalnie są one traktowane jako prawa, które kierują i leżą u podstaw każdego myślenia, myśli , wyrażeń, dyskusji itp. Jednak takie klasyczne idee są często kwestionowane lub odrzucane w nowszych opracowaniach, takich jak logika intuicjonistyczna , dialeteizm i logika rozmyta .

Według Cambridge Dictionary of Philosophy z 1999 r., prawa myślenia to prawa, według których lub zgodnie z którymi postępuje ważna myśl, lub które uzasadniają ważne wnioskowanie, lub do których sprowadza się cała ważna dedukcja. Prawa myślenia to reguły, które stosują się bez wyjątku do każdego przedmiotu myśli itp.; czasami mówi się, że są przedmiotem logiki . Termin ten, rzadko używany w dokładnie tym samym znaczeniu przez różnych autorów, od dawna kojarzony jest z trzema równie niejednoznacznymi wyrażeniami: prawem tożsamości (ID), prawem sprzeczności (lub niesprzeczności; NC) oraz prawo wyłączonego środka (EM). Czasami te trzy wyrażenia są traktowane jako twierdzenia ontologii formalnej o najszerszym możliwym przedmiocie, twierdzenia odnoszące się do bytów jako takich: (ID), wszystko jest (tj. jest tożsame) z sobą; (NC) żadna rzecz mająca daną cechę nie ma również negatywu tej cechy (np. żadna liczba parzysta nie jest nieparzysta); (EM) każda rzecz ma określoną jakość lub jej negatyw (np. każda liczba jest parzysta lub nieparzysta). Równie powszechne w starszych pracach jest użycie tych wyrażeń dla określenia zasad metalogiczny o zdaniach: (ID) każde zdanie implikuje samo siebie; (NC) żadne zdanie nie jest jednocześnie prawdziwe i fałszywe; (EM) każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

Od połowy do końca XIX wieku wyrażenia te były używane do określenia twierdzeń algebry Boole'a dotyczących klas: (ID) każda klasa zawiera samą siebie; (NC) każda klasa jest taka, że ​​jej przecięcie („produkt”) z własnym dopełnieniem jest klasą zerową; (EM) każda klasa jest taka, że ​​jej połączenie („suma”) z własnym uzupełnieniem jest klasą uniwersalną. Ostatnio dwa ostatnie z trzech wyrażeń były używane w połączeniu z klasyczną logiką zdań i tak zwaną prototetyczną lub skwantyfikowaną logiką zdań ; w obu przypadkach prawo niesprzeczności obejmuje negację koniunkcji („i”) czegoś z jego własną negacją, ¬(A∧¬A), a prawo wyłączonego środka obejmuje dysjunkcję („lub”) coś z własną negacją, A∨¬A. W przypadku logiki zdań „coś” jest schematyczną literą służącą jako symbol zastępczy, podczas gdy w przypadku logiki prototetycznej „coś” jest rzeczywistą zmienną. Wyrażenia „prawo niesprzeczności” i „prawo wyłączonego środka” są również używane w odniesieniu do semantycznych zasad teorii modeli co do zdań i interpretacji: (NC) przy żadnej interpretacji dane zdanie nie jest jednocześnie prawdziwe i fałszywe, (EM) przy dowolnej interpretacji dane zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

Wyrażenia wymienione powyżej zostały użyte na wiele innych sposobów. Wiele innych twierdzeń zostało również wymienionych jako prawa myślenia, w tym dictum de omni et nullo przypisywane Arystotelesowi , zastępowalność identyczności (lub równych) przypisywana Euklidesowi , tak zwana tożsamość rzeczy nieodróżnialnych przypisywana Gottfriedowi Wilhelmowi Leibnizowi i inne „prawdy logiczne”.

Wyrażenie „prawa myślenia” zyskało na znaczeniu dzięki użyciu go przez Boole'a (1815–1864) do określenia twierdzeń jego „algebry logiki”; w rzeczywistości nazwał swoją drugą książkę o logice Badanie praw myślenia, na których opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa (1854). Współcześni logicy, niemal jednogłośnie nie zgadzając się z Boole'em, uważają to wyrażenie za mylące; żadne z powyższych twierdzeń sklasyfikowanych jako „prawa myślenia” nie dotyczy wyraźnie myśli per se, zjawiska umysłowego badanego przez psychologię ani też nie zawierają wyraźnego odniesienia do myśliciela lub znawcy, jak miałoby to miejsce w przypadku pragmatyki lub epistemologii . Rozróżnienie między psychologią (jako badaniem zjawisk psychicznych) a logiką (jako badaniem prawidłowego wnioskowania) jest powszechnie akceptowane.

Trzy tradycyjne prawa

Historia

Hamilton przedstawia historię trzech tradycyjnych praw, która zaczyna się od Platona , przechodzi przez Arystotelesa, a kończy na uczonych średniowiecznych ; ponadto oferuje czwarte prawo (patrz wpis poniżej, pod Hamiltonem ):

„ Zasady sprzeczności i wyłączonego środka wywodzą się od Platona : Zasady sprzeczności i wyłączonego środka można prześledzić wstecz od Platona, przez którego zostały one ogłoszone i często stosowane; choć niedługo potem albo z nich otrzymało charakterystyczną nazwę. Aby wziąć najpierw zasadę sprzeczności. To prawo Platon często stosuje, ale najbardziej niezwykłe fragmenty znajdują się w Fedonie, w Sofiście oraz w czwartej i siódmej księdze Republiki. [Hamilton LECT V. LOGIKA 62]

Prawo wyłączonego środka : Prawo wykluczonego środka między dwoma sprzecznościami powraca, jak powiedziałem, także do Platona, chociaż trzeba przyznać, że Drugi Alcybiades, dialog, w którym jest to najwyraźniej wyrażone, jest fałszywy. Jest to również we fragmentach Pseudo-Archytas, które można znaleźć w Stobæus . [LEKTOR Hamiltona. V. LOGIKA. 65]

Hamilton dalej zauważa, że ​​„Jest to wyraźnie i dobitnie ogłoszone przez Arystotelesa w wielu fragmentach zarówno jego Metafizyki (l. III. (IV.) C.7.), Jak i jego Analityki, zarówno Prior (lic 2), jak i Afterior (1. ic 4). W pierwszym z nich mówi: „Niemożliwe jest, aby istniał jakiś środek między sprzecznymi przeciwieństwami, ale konieczne jest albo potwierdzenie wszystkiego, albo zaprzeczenie wszystkiego” [Hamilton LECT. V. LOGIC. 65]

„ Prawo tożsamości. [Hamilton nazywa to również „zasadą wszelkiej logicznej afirmacji i definicji”] Antonius Andreas : Stwierdziłem, że prawo tożsamości nie zostało wyjaśnione jako zasada współrzędnych aż do stosunkowo niedawnego okresu. Najwcześniejszym autorem, u którego znalazłem to dokonane, jest Antonius Andreas , uczony Szkota, który rozkwitł pod koniec XIII i na początku XIV wieku. Uczony w czwartej księdze swojego Komentarza do Metafizyki Arystotelesa – komentarzu, który jest pełen najbardziej pomysłowych i oryginalnych poglądów – nie tylko zapewnia prawu Tożsamości współrzędną godności z prawem sprzeczności, ale wbrew Arystotelesowi: utrzymuje, że zasada Tożsamości, a nie zasada Sprzeczności, jest absolutnie pierwsza. Formuła, w której Andreas to wyraził, brzmiała Ens est ens . Po tym autorze pytanie dotyczące względnego pierwszeństwa dwóch praw Tożsamości i Sprzeczności stało się bardzo poruszone w szkołach; chociaż znaleźli się też tacy, którzy przyznawali prawu wykluczonego środka tę najwyższą rangę. ” [Z Hamilton LECT. V. LOGIC. 65–66]

Trzy tradycyjne prawa: tożsamość, niesprzeczność, wyłączony środek

Poniżej podano trzy tradycyjne „prawa” słowami Bertranda Russella (1912):

Prawo tożsamości

Prawo tożsamości : „Cokolwiek jest, jest”.

Dla wszystkich a: a = a.

O tym prawie Arystoteles napisał:

Po pierwsze, to przynajmniej jest oczywiście prawdą, że słowo „być” lub „nie być” ma określone znaczenie, tak że nie wszystko będzie „tak, a nie tak”. Ponownie, jeśli „człowiek” ma jedno znaczenie, niech to będzie „zwierzę dwunożne”; mając jedno znaczenie, rozumiem to: — jeśli „człowiek” oznacza „X”, to jeśli A jest człowiekiem, „X” będzie tym, co dla niego oznacza „być człowiekiem”. (Nie ma znaczenia, nawet jeśli ktoś powie, że słowo ma kilka znaczeń, jeśli tylko ich liczba jest ograniczona; ponieważ każdej definicji można przypisać inne słowo. Na przykład moglibyśmy powiedzieć, że „człowiek” nie ma jednego oznaczając tylko kilka, z których jedna miałaby jedną definicję, mianowicie „zwierzę dwunożne”, podczas gdy mogłoby być również kilka innych definicji, gdyby tylko ich liczba była ograniczona, ponieważ każdej z definicji można by przypisać osobną nazwę. Gdyby jednak nie były one ograniczone, ale ktoś powiedziałby, że słowo ma nieskończoną liczbę znaczeń, oczywiście rozumowanie byłoby niemożliwe; ponieważ nie mieć jednego znaczenia, to nie mieć żadnego znaczenia, a jeśli słowa nie mają znaczenia, nasze rozumowanie z wzajemnie, a nawet z nami samymi, zostali unicestwieni; bo nie można myśleć o czymkolwiek, jeśli nie myślimy o jednej rzeczy; ale jeśli to możliwe, można by nadać tej rzeczy jedno imię).

— Arystoteles, Metafizyka , księga IV, część 4 (przekład WD Ross)

Ponad dwa tysiące lat później George Boole nawiązał do tej samej zasady, co Arystoteles, kiedy Boole poczynił następującą obserwację w odniesieniu do natury języka i tych zasad, które muszą być w nich naturalnie zawarte:

Rzeczywiście istnieją pewne ogólne zasady, zakorzenione w samej naturze języka, które określają użycie symboli, które są jedynie elementami języka naukowego. Do pewnego stopnia elementy te są arbitralne. Ich interpretacja jest czysto konwencjonalna: wolno nam używać ich w dowolnym znaczeniu. Ale to pozwolenie jest ograniczone przez dwa nieodzowne warunki, po pierwsze, abyśmy nigdy w tym samym procesie rozumowania nie odchodzili od raz konwencjonalnie ustalonego sensu; po drugie, że prawa, według których prowadzony jest proces, opierają się wyłącznie na wyżej ustalonym znaczeniu lub znaczeniu zastosowanych symboli.

— George Boole, Badanie praw myślenia

Prawo niesprzeczności

Prawo niesprzeczności (alternatywnie „prawo sprzeczności”): „Nic nie może jednocześnie być i nie być”.

Innymi słowy: „dwa lub więcej sprzecznych zdań nie może być jednocześnie prawdziwych w tym samym sensie”: ¬ (A ∧ ¬A).

Słowami Arystotelesa, że ​​„nie można powiedzieć o czymś, że jest i że nie jest pod tym samym względem i jednocześnie”. Jako ilustrację tego prawa napisał:

Niemożliwe jest więc, aby „być człowiekiem” oznaczało właśnie nie być człowiekiem, jeśli „człowiek” nie tylko coś oznacza, ale ma też jedno znaczenie… I nie będzie możliwe być i nie być być tym samym, z wyjątkiem dwuznaczności, tak jak gdyby ktoś, kogo my nazywamy „człowiekiem”, a inni mieli nazywać „nie-człowiekiem”; chodzi jednak nie o to, czy ta sama rzecz może być i nie być człowiekiem z nazwy, ale o to, czy może nim być w rzeczywistości.

— Arystoteles, Metafizyka, księga IV, część 4 (przetłumaczone przez WD Rossa)

Prawo wyłączonego środka

Prawo wyłączonego środka: „Wszystko musi być albo nie być”.

Zgodnie z prawem wyłączonego środka lub wykluczonej trzeciej, dla każdego zdania prawdziwa jest jego pozytywna lub negatywna postać: A ∨ ¬A.

Odnosząc się do prawa wyłączonego środka , Arystoteles pisał:

Ale z drugiej strony nie może być miejsca pośredniego między sprzecznościami, ale o jednym przedmiocie musimy albo potwierdzić, albo zaprzeczyć każdemu orzeczeniu. Staje się to jasne, po pierwsze, jeśli zdefiniujemy, czym jest prawda, a czym fałsz. Mówienie o tym, co jest, że nie jest, lub o tym, co nie jest, że jest, jest fałszem, podczas gdy mówienie o tym, co jest, że jest, i o tym, co nie jest, że nie jest, jest prawdą; tak, że ten, kto mówi o czymś, że to jest, lub że nie jest, powie albo prawdę, albo fałsz.

— Arystoteles, Metafizyka, księga IV, część 7 (przekład WD Ross)

Racjonalne uzasadnienie

Jak wskazują powyższe cytaty z Hamiltona, w szczególności wpis „prawo tożsamości”, uzasadnienie i wyrażenie „praw myślenia” były podatnym gruntem dla filozoficznej debaty od czasów Platona. Dziś debata — o tym, jak „poznajemy” świat rzeczy i nasze myśli — trwa nadal; przykłady uzasadnień znajdują się we wpisach poniżej.

Platon

z dialogów Sokratesa Platona Sokrates opisał trzy zasady wywodzące się z introspekcji :

Po pierwsze, że nic nie może stać się większe lub mniejsze, ani pod względem liczby, ani wielkości, pozostając sobie równym ... Po drugie, że bez dodawania lub odejmowania nie ma żadnego wzrostu ani zmniejszenia czegokolwiek, ale tylko równość ... Po trzecie, że to, co nie było wcześniej, nie może być potem, nie stając się i nie stając się.

— Platon , Teajtet , 155

Logika indyjska

Prawo niesprzeczności występuje w starożytnej logice indyjskiej jako meta-reguła w Shrauta Sutrach , gramatyce Pāṇini i Brahma Sutrach przypisywanych Vyasie . Został on później rozwinięty przez średniowiecznych komentatorów, takich jak Madhvacharya .

Locke'a

John Locke twierdził, że zasady tożsamości i sprzeczności (tj. prawo tożsamości i prawo niesprzeczności) są ideami ogólnymi i pojawiają się ludziom dopiero po znacznej abstrakcyjnej, filozoficznej refleksji. Scharakteryzował zasadę tożsamości jako „Cokolwiek jest, jest”. Stwierdził zasadę sprzeczności jako „Niemożliwe jest, aby ta sama rzecz była i nie była”. Dla Locke'a nie były to zasady wrodzone ani aprioryczne .

Leibniza

Gottfried Leibniz sformułował dwie dodatkowe zasady, z których jedną lub obie można czasami uznać za prawo myślenia:

• zasada wystarczającego powodu
• tożsamość nierozróżnialnych

W myśli Leibniza, a także ogólnie w podejściu racjonalizmu , te dwie ostatnie zasady są uważane za jasne i niepodważalne aksjomaty . Były szeroko rozpoznawane w europejskiej XVII, XVIII i XIX wieku, choć w XIX wieku były przedmiotem szerszej debaty. Jak się okazało w przypadku prawa ciągłości , te dwa prawa dotyczą kwestii, które we współczesnych terminach są przedmiotem wielu dyskusji i analiz (odpowiednio na temat determinizmu i ekstensjonalności ). Zasady Leibniza wywarły szczególny wpływ na myśl niemiecką. We Francji logika Port-Royal była przez nich mniej zachwiana. Hegel pokłócił się z tożsamością rzeczy nieodróżnialnych w swojej Science of Logic (1812–1816).

Schopenhauera

Cztery prawa

„Pierwotne prawa myślenia lub warunki tego, co można pomyśleć, to cztery: – 1. Prawo tożsamości [A to A]. 2. Prawo sprzeczności. 3. Prawo wykluczenia lub wykluczonego środka. 4. Prawo wystarczającego powodu”. (Thomas Hughes, The Ideal Theory of Berkeley and the Real World , część II, rozdział XV, przypis, s. 38 )

Arthur Schopenhauer omówił prawa myślenia i próbował wykazać, że są one podstawą rozumu. Wymienił je w następujący sposób w swoim O poczwórnym korzeniu zasady wystarczającego powodu , §33:

1. Podmiot jest równy sumie swoich predykatów, czyli a = a.
2. Żaden predykat nie może być jednocześnie przypisany i odrzucony podmiotowi lub a ≠ ~a.
3. Z każdych dwóch przeciwstawnych predykatów jeden musi należeć do każdego podmiotu.
4. Prawda jest odniesieniem się sądu do czegoś poza nim jako dostatecznego powodu lub podstawy.

Również:

Prawa myślenia można najzrozumialej wyrazić w następujący sposób:

1. Wszystko, co jest, istnieje.
2. Nic nie może jednocześnie być i nie być.
3. Każda rzecz jest albo nie jest.
4. Ze wszystkiego, co jest, można znaleźć przyczynę, dla której jest.

Trzeba by wtedy dodać tylko to, że raz na zawsze w logice pytanie dotyczy tego, co jest myślące , a więc pojęć, a nie rzeczy rzeczywistych.

— Schopenhauer, Pozostałości rękopisu , t. 4, „Pandectae II”, §163

Aby pokazać, że są one podstawą rozumu , podał następujące wyjaśnienie:

Poprzez refleksję, którą mógłbym nazwać samobadaniem zdolności rozumowania, wiemy, że te sądy są wyrazem warunków wszelkiej myśli, a zatem mają je za podstawę. W ten sposób, podejmując daremne próby myślenia wbrew tym prawom, władza rozumu uznaje je za warunki możliwości wszelkiej myśli. Stwierdzamy wtedy, że myślenie w opozycji do nich jest tak samo niemożliwe, jak poruszanie kończynami w kierunku przeciwnym do ich stawów. Gdyby podmiot mógł poznać siebie, my natychmiast poznalibyśmy te prawa , a nie najpierw poprzez eksperymenty na przedmiotach, czyli reprezentacjach (obrazach mentalnych).

— Schopenhauer, O poczwórnym korzeniu zasady wystarczającego powodu , §33

Cztery prawa Schopenhauera można schematycznie przedstawić w następujący sposób:

1. A jest A.
2. A nie jest nie-A.
3. X jest albo A, albo nie-A.
4. Jeśli A, to B (A implikuje B).

Dwa prawa

Później, w 1844 roku, Schopenhauer twierdził, że cztery prawa myślenia można zredukować do dwóch. W dziewiątym rozdziale drugiego tomu Świat jako wola i przedstawienie pisał:

Wydaje mi się, że doktrynę praw myślenia można by uprościć, gdybyśmy ustanowili tylko dwa, prawo wyłączonego środka i prawo racji dostatecznej. Ten pierwszy w ten sposób: „Każdy predykat można potwierdzić lub odrzucić w odniesieniu do każdego podmiotu”. Tutaj zawiera się już w „albo, albo”, że jedno i drugie nie może wystąpić jednocześnie, a zatem właśnie to, co wyrażają prawa tożsamości i sprzeczności. W ten sposób zostałyby one dodane jako następstwo tej zasady, która naprawdę mówi, że każde dwie sfery pojęciowe muszą być uważane albo jako połączone, albo jako oddzielone, ale nigdy jako obydwie jednocześnie; i dlatego, nawet jeśli słowa są połączone razem, które wyrażają to ostatnie, słowa te potwierdzają proces myślowy, którego nie można przeprowadzić. Świadomość tej niewykonalności jest poczuciem sprzeczności. Drugie prawo myślenia, zasada racji dostatecznej, potwierdzałoby, że powyższe przypisywanie lub obalanie musi być określone przez coś innego niż sam sąd, co może być postrzeganiem (czystym lub empirycznym) lub po prostu innym sądem. Tę inną i odmienną rzecz nazywa się wówczas podstawą lub przyczyną sądu. O ile sąd spełnia pierwsze prawo myślenia, jest do pomyślenia; o ile spełnia drugi, jest prawdziwy, a przynajmniej w przypadku, gdy podstawą sądu jest tylko inny sąd, jest logicznie lub formalnie prawdziwy.

Boole (1854): Ze swoich „praw umysłu” Boole wywodzi „Prawo sprzeczności” Arystotelesa

Tytuł traktatu o logice George'a Boole'a z 1854 r., An Investigation on the Laws of Thought , wskazuje alternatywną ścieżkę. Prawa są teraz włączone do algebraicznej reprezentacji jego „praw umysłu”, doskonalonej przez lata we współczesnej algebrze Boole'a .

Uzasadnienie: Jak należy rozróżnić „prawa umysłu”.

Boole rozpoczyna swój rozdział I „Natura i projekt tej pracy” od omówienia, jaka cecha ogólnie odróżnia „prawa umysłu” od „praw natury”:

„Ogólne prawa Natury nie są w większości bezpośrednimi przedmiotami percepcji. Są to albo indukcyjne wnioski z dużej liczby faktów, powszechna prawda, w której się wyrażają, albo, przynajmniej w swoim pochodzeniu, fizyczne hipotezy charakter przyczynowy. ... Są one we wszystkich przypadkach iw najściślejszym tego słowa znaczeniu wnioskami prawdopodobnymi, coraz bardziej zbliżającymi się do pewności, w miarę jak otrzymują coraz więcej potwierdzeń doświadczenia. . . . ”.

Kontrastuje z tym to, co nazywa „prawami umysłu”: Boole twierdzi, że są one znane w pierwszej kolejności, bez potrzeby powtarzania:

„Z drugiej strony, znajomość praw umysłu nie wymaga jako podstawy żadnego obszernego zbioru obserwacji. Ogólna prawda jest widoczna w konkretnym przypadku i nie jest potwierdzona przez powtarzanie przypadków. ... widzimy nie tylko w konkretnym przykładzie ogólną prawdę, ale widzimy ją także jako pewną prawdę – prawdę, do której nasze zaufanie nie będzie wzrastać wraz ze wzrostem doświadczenia jej praktycznej weryfikacji”. (Boole 1854: 4)

Znaki Boole'a i ich prawa

Boole zaczyna od pojęcia „znaków” reprezentujących „klasy”, „operacje” i „tożsamość”:

„Wszystkie znaki języka, jako narzędzia rozumowania, mogą być prowadzone przez system znaków składający się z następujących elementów: 1.

Symbole dosłowne, takie jak x, y itd., reprezentujące rzeczy jako podmioty naszych koncepcji,

2. Znaki działania, jak +, −, x oznacza te operacje umysłu, za pomocą których koncepcje rzeczy łączą się lub rozwiązują, tworząc nowe koncepcje obejmujące te same elementy, „

3. Znak tożsamości, =.

I te symbole logiki podlegają w swoim użyciu określonym prawom, częściowo zgodnym, a częściowo odmiennym od praw odpowiednich symboli w nauce algebry. (Boole 1854:27)

Następnie Boole wyjaśnia, co reprezentuje „symbol dosłowny”, np. x, y, z,… - nazwa zastosowana do zbioru instancji w „klasach”. Na przykład „ptak” reprezentuje całą klasę upierzonych skrzydlatych stworzeń stałocieplnych. Dla swoich celów rozszerza pojęcie klasy, aby reprezentowało przynależność do „jednego” lub „niczego” lub „wszechświata”, tj. ogółu wszystkich jednostek:

„Zgódźmy się więc na reprezentowanie klasy jednostek, do której odnosi się dana nazwa lub opis, za pomocą jednej litery, jako z. ... Przez klasę rozumie się zwykle zbiór jednostek, z których każda ma określoną nazwę lub opis mogą być zastosowane; ale w tej pracy znaczenie tego terminu zostanie rozszerzone tak, aby obejmowało przypadek, w którym istnieje tylko jedna osoba, odpowiadająca wymaganej nazwie lub opisowi, jak również przypadki oznaczone terminami „ nic” i „wszechświat”, które jako „klasy” należy rozumieć jako obejmujące odpowiednio „żadne byty”, „wszystkie byty”. (Boole 1854:28)

Następnie określa, co oznacza ciąg symboli, np. xy [nowoczesne logiczne &, spójnik]:

„Pozwólmy dalej uzgodnić, że przez kombinację xy będzie reprezentowana ta klasa rzeczy, do której mają zastosowanie jednocześnie nazwy lub opisy reprezentowane przez x i y. Tak więc, jeśli samo x oznacza „rzeczy białe”, a y oznacza „owca”, niech xy oznacza „białą owcę”; „(Boole 1854:28)

Biorąc pod uwagę te definicje, wymienia teraz swoje prawa wraz z ich uzasadnieniem oraz przykładami (pochodzącymi z Boole'a):

• (1) xy = yx [prawo przemienności]

„x reprezentuje„ ujścia rzek ”, a y „rzeki”, wyrażenia xy i yx będą niezależnie reprezentować „rzeki, które są ujściami rzek”, lub „ujścia rzek, które są rzekami”” (2

• ) ) xx = x, naprzemiennie x ² = x [Absolutna identyczność znaczenia, „podstawowe prawo myślenia” Boole'a, por. str. 49] „

Tak więc »dobrzy, dobrzy« ludzie są równoważni »dobrym« ludziom”.

Logiczne LUB : Boole definiuje „zbieranie części w całość lub rozdzielanie całości na części” (Boole 1854:32). Tutaj spójnik „i” jest używany rozłącznie, podobnie jak „lub”; przedstawia prawo przemienności (3) i prawo dystrybucji (4) dla pojęcia „zbierania”. Pojęcie oddzielenia części od całości symbolizuje operacją „-”; definiuje dla tego pojęcia prawo przemienności (5) i rozdzielności (6):

• (3) y + x = x + y [prawo przemienności]

„Tak więc wyrażenie„ mężczyźni i kobiety ”jest… równoważne wyrażeniu„ kobiety i mężczyźni ”. Niech x reprezentuje „mężczyzn”, y, „kobiety”, a + niech oznacza „i” i „lub”…”

• (4) z(x + y) = zx + zy [prawo rozdzielności]

z = europejskie, ( x = „mężczyźni, y = kobiety): Europejczycy i Europejczycy = Europejki i Europejki

• (5) x − y = −y + x [prawo komutacji: oddzielenie części od całości]

„Wszyscy mężczyźni (x) z wyjątkiem Azjatów (y)" jest reprezentowane przez x - y. „Wszystkie stany (x) z wyjątkiem stanów monarchicznych (y)” są reprezentowane przez x - y

• (6) z(x − y) = zx − zy [prawo rozdzielności]

Wreszcie pojęcie „tożsamości” symbolizowane przez „=”. Pozwala to na dwa aksjomaty: (aksjomat 1): równe dodane do równych daje równe, (aksjomat 2): równe odjęte od równych daje równe.

• (7) Tożsamość („jest”, „są”), np. x = y + z, „gwiazdy” = „słońce” i „planety”

Nic „0” i Wszechświat „1” : zauważa, że ​​jedyne dwie liczby, które spełniają xx = x, to 0 i 1. Następnie zauważa, że ​​0 reprezentuje „Nic”, podczas gdy „1” reprezentuje „Wszechświat” (dyskursu).

Logiczne NOT : Boole definiuje coś przeciwnego (NO logiczne) w następujący sposób (jego Twierdzenie III):

„Jeśli x reprezentuje jakąkolwiek klasę przedmiotów, to 1 - x reprezentuje przeciwną lub uzupełniającą klasę przedmiotów, tj. klasę obejmującą wszystkie przedmioty, które nie są objęte klasą x” (Boole 1854: 48) Jeśli x = „ludzie

” wówczas „1 − x” reprezentuje „wszechświat” bez „ludzi”, tj. „nie-ludzi”.

Pojęcie konkretu w przeciwieństwie do uniwersalności : Aby przedstawić pojęcie „niektórych ludzi”, Boole pisze małą literę „v” przed symbolem predykatu „vx” niektórzy mężczyźni.

Exclusive- i inclusive-OR : Boole nie używa tych współczesnych nazw, ale definiuje je odpowiednio w następujący sposób x(1-y) + y(1-x) i x + y(1-x); zgadzają się one ze wzorami wyprowadzonymi za pomocą współczesnej algebry Boole'a.

Boole wyprowadza prawo sprzeczności

Uzbrojony w swój „system” wyprowadza „zasadę [nie]sprzeczności”, zaczynając od swojego prawa tożsamości: x ² = x. Odejmuje x od obu stron (jego aksjomat 2), uzyskując x ² - x = 0. Następnie rozkłada x na czynniki: x(x - 1) = 0. Na przykład, jeśli x = „mężczyźni”, to 1 - x reprezentuje NIE-mężczyźni. Mamy więc przykład „Prawa sprzeczności”:

„Stąd: x(1 - x) będzie reprezentować klasę, której członkami są jednocześnie „ludzie” i „nie ludzie”, a równanie [x(1 - x)=0] wyraża w ten sposób zasadę, że klasa, której członkowie są jednocześnie ludźmi i nie są ludźmi, nie istnieje. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby ta sama jednostka była jednocześnie człowiekiem i nie była człowiekiem. ... to jest identycznie owa „zasada sprzeczności „który Arystoteles opisał jako podstawowy aksjomat całej filozofii. ... to, co powszechnie uważano za podstawowy aksjomat metafizyki, jest jedynie konsekwencją prawa myślenia, matematycznego w swojej formie”. (więcej wyjaśnień na temat tej „dychotomii” dotyczy Boole 1854: 49ff)

Boole definiuje pojęcie „domeny (wszechświata) dyskursu”

Pojęcie to można znaleźć w „Prawach myśli” Boole'a, np. 1854:28, gdzie symbol „1” (liczba całkowita 1) jest używany do reprezentowania „Wszechświata”, a „0” do reprezentowania „Nic”, a znacznie bardziej szczegółowo później (strony 42ff):

„Otóż, bez względu na to, jaki byłby zasięg pola, w którym znajdują się wszystkie przedmioty naszego dyskursu, pole to można właściwie nazwać wszechświatem dyskursu. ... Co więcej, ten wszechświat dyskursu jest w najściślejszym sensie ostatecznym podmiotem dyskursu”.

W swoim rozdziale „Rachunek predykatów” Kleene zauważa, że ​​​​specyfikacja „domeny” dyskursu „nie jest trywialnym założeniem, ponieważ nie zawsze jest jasno spełniona w zwykłym dyskursie… podobnie w matematyce logika może stać się dość śliska, gdy żadna D [domena] nie została określona wprost ani pośrednio, lub specyfikacja D [domeny] jest zbyt niejasna (Kleene 1967: 84).

Hamilton (1837–38 wykłady z logiki, opublikowane 1860): czwarte „Prawo rozumu i konsekwencji”

Jak wspomniano powyżej, Hamilton określa cztery prawa - trzy tradycyjne oraz czwarte „Prawo rozumu i konsekwencji” - w następujący sposób:

„XIII. Podstawowe prawa myślenia lub warunki tego, co można pomyśleć, jak powszechnie przyjmuje się, to cztery: – 1. Prawo tożsamości; 2. Prawo sprzeczności; 3. Prawo wykluczenia lub wykluczonego środka; i , 4. Prawo rozumu i konsekwencji, czyli rozumu wystarczającego .

Uzasadnienie: „Logika jest nauką o prawach myśli jako myśli”

Hamilton uważa, że ​​myśl ma dwie formy: „konieczną” i „przygodną” (Hamilton 1860: 17). Jeśli chodzi o formę „niezbędną”, określa jej badanie jako „logikę”: „Logika jest nauką o niezbędnych formach myślenia” (Hamilton 1860: 17). Aby zdefiniować „niezbędne”, twierdzi, że implikuje to następujące cztery „cechy”:

(1) „zdeterminowany lub wymuszony przez samą naturę myślącego podmiotu… jest subiektywnie, a nie obiektywnie zdeterminowany;

(2) „oryginalny i nie nabyty;

(3) „uniwersalny; to znaczy, nie może być tak, że w niektórych przypadkach wymaga, aw innych nie.

(4) „musi to być prawo; ponieważ prawem jest to, które ma zastosowanie we wszystkich przypadkach bez wyjątku i od którego odstępstwo jest zawsze i wszędzie niemożliwe lub przynajmniej niedozwolone. ... Ten ostatni warunek, podobnie, umożliwia nam najdokładniejsze sformułowanie przedmiotu-materii logiki, mówiąc, że logika jest nauką o prawach myślenia jako myśli, albo nauką o formalnych prawach myślenia, albo nauką o prawach Forma Myśli, gdyż wszystko to są jedynie różnymi wyrazami tej samej rzeczy”.

Czwarte prawo Hamiltona: „Nie wnioskować o niczym bez podstawy i powodu”

Oto czwarte prawo Hamiltona z jego LECT. V. LOGIKA. 60–61:

„Przejdę teraz do czwartego prawa

” . Par. XVII. Prawo rozumu wystarczającego lub rozumu i konsekwencji :

„XVII. Myślenie o przedmiocie, tak jak faktycznie charakteryzuje się pozytywnymi lub negatywnymi atrybutami, nie jest pozostawione kaprysowi Zrozumienia - zdolności myślenia; ale ta zdolność musi być konieczna do tego lub owego określonego aktu myślenia przez poznanie czegoś innego i niezależnego od samego procesu myślenia. Ten stan naszego rozumienia wyraża prawo, jak się je nazywa, rozumu wystarczającego ( principium rationis sufficientis ); ale bardziej właściwie nazywa się je prawem rozumu i konsekwencji ( principium Rationis et Consecutionis ). Ta wiedza, dzięki której umysł musi twierdzić lub zakładać coś innego, nazywa się rozumem logicznym ugruntowanym lub poprzedzającym ; że coś innego, co umysł musi potwierdzić lub założyć, nazywa się logicznym następnikiem ; a związek między przyczyną a następnikiem nazywa się logicznym powiązaniem lub konsekwencją . Prawo to wyraża się w formule – Nie wnioskować o niczym bez podstawy lub powodu. ¹

Relacje między rozumem a następstwem : Relacje między rozumem a następstwem, gdy są ujęte w czystej myśli, są następujące:

1. Gdy rozum jest podany jawnie lub implicite, to musi istnieć następnik; i vice versa , gdy dany jest następnik, musi też istnieć racja.

¹ Zobacz Schulze, Logik , §19 i Krug, Logik , §20, – ED.

2. Gdzie nie ma powodu, nie może być skutku; i odwrotnie , gdzie nie ma następnika (dorozumianego lub jawnego), nie może być powodu. Oznacza to, że pojęcia rozumu i konsekwencji, jako wzajemnie względne, pociągają za sobą i zakładają się wzajemnie.

Logiczne znaczenie tego prawa : Logiczne znaczenie prawa Rozumu i Konsekwencji polega na tym, że dzięki niemu myśl składa się z szeregu aktów, które są ze sobą nierozerwalnie połączone; każdy z konieczności wnioskuje o drugim. W ten sposób rozróżnienie i przeciwstawienie materii możliwej, rzeczywistej i koniecznej, które zostało wprowadzone do logiki, jest doktryną całkowicie obcą tej nauce.

Weltona

W XIX wieku arystotelesowskie prawa myślenia, a czasem także leibnizowskie prawa myślenia, były standardowym materiałem w podręcznikach logiki, a J. Welton opisał je w ten sposób:

Prawa myślenia, regulujące zasady myślenia lub postulaty wiedzy są tymi fundamentalnymi, koniecznymi, formalnymi i a priori prawami mentalnymi, w zgodzie z którymi musi być prowadzona wszelka ważna myśl. Są one a priori, to znaczy wynikają bezpośrednio z procesów rozumowania działających na faktach rzeczywistego świata. Są formalne; ponieważ jako niezbędne prawa wszelkiego myślenia nie mogą one jednocześnie ustalać określonych właściwości jakiejś szczególnej klasy rzeczy, ponieważ jest rzeczą opcjonalną, czy myślimy o tej klasie rzeczy, czy nie. Są one konieczne, ponieważ nikt nigdy nie robi, ani nie może wyobrazić sobie ich odwrócenia, ani naprawdę ich pogwałcenia, ponieważ nikt nigdy nie akceptuje sprzeczności, która jako taka pojawia się w jego umyśle.

— Welton, Podręcznik logiki , 1891, tom. ja, str. 30.

Russella (1903–1927)

Kontynuacja „Zasad matematyki” Bertranda Russella z 1903 r. Stała się trzytomowym dziełem zatytułowanym Principia Mathematica (zwanym dalej PM ), napisanym wspólnie z Alfredem North Whiteheadem . Natychmiast po tym, jak on i Whitehead opublikowali PM, napisał swoje „Problemy filozofii” z 1912 roku. Jego „Problemy” odzwierciedlają „główne idee logiki Russella”.

Zasady matematyki (1903)

W swoich „Zasadach” z 1903 r. Russell definiuje logikę symboliczną lub formalną (używa tych terminów synonimicznie) jako „badanie różnych ogólnych typów dedukcji” (Russell 1903: 11). Twierdzi, że „logika symboliczna zasadniczo zajmuje się wnioskowaniem w ogóle” (Russell 1903:12), a przypis wskazuje, że nie rozróżnia wnioskowania od dedukcji ; ponadto uważa indukcję „być albo zamaskowaną dedukcją, albo zwykłą metodą dokonywania wiarygodnych domysłów” (Russell 1903: 11). Ta opinia zmieni się do 1912 roku, kiedy uzna swoją „zasadę indukcji” za równą różnym „zasadom logicznym”, które obejmują „Prawa myślenia”.

W swojej części I „Indefinables of Mathematics” Rozdział II „Logika symboliczna” Część A „Rachunek zdań” Russell redukuje dedukcję („rachunek zdań”) do 2 „niedefiniowalnych” i 10 aksjomatów:

17. W rachunku zdań nie wymagamy zatem żadnego niedefiniowalnego, z wyjątkiem dwóch rodzajów implikacji [prostej, czyli „materialnej” i „formalnej”] – pamiętając jednak, że implikacja formalna jest pojęciem złożonym, którego analiza pozostaje do Jeśli chodzi o nasze dwa niedefiniowalne, wymagamy pewnych niemożliwych do udowodnienia twierdzeń, których dotychczas nie udało mi się zredukować do mniej dziesięciu (Russell 1903:15).

Z nich twierdzi , że jest w stanie wyprowadzić prawo wyłączonego środka i prawo sprzeczności , ale nie wykazuje swoich pochodnych (Russell 1903: 17). Następnie on i Whitehead udoskonalili te „prymitywne zasady” i aksjomaty w dziewięć znalezionych w PM , a tutaj Russell faktycznie przedstawia te dwa wyprowadzenia odpowiednio przy ❋1,71 i ❋3,24.

Problemy filozofii (1912)

Do roku 1912 Russell w swoich „Problemach” zwraca szczególną uwagę na „indukcję” (rozumowanie indukcyjne) oraz „dedukcję” (wnioskowanie), z których oba stanowią zaledwie dwa przykłady „oczywistych zasad logicznych”, które obejmują „ Prawa Myśl."

Zasada indukcji : Russell poświęca rozdział swojej „zasadzie indukcji”. Opisuje to jako nadchodzące w dwóch częściach: po pierwsze, jako powtarzające się gromadzenie dowodów (bez znanych niepowodzeń skojarzeń), a zatem rosnące prawdopodobieństwo, że zawsze, gdy zdarzy się A, nastąpi B; po drugie, w nowym przypadku, gdy rzeczywiście zdarzy się A, rzeczywiście nastąpi B: tj. „wystarczająca liczba przypadków skojarzenia sprawi, że prawdopodobieństwo nowego skojarzenia stanie się prawie pewne i zbliży się do pewności bez ograniczeń”.

Następnie zbiera wszystkie przypadki (przykłady) zasady indukcji (np. przypadek 1: A ₁ = „wschodzące słońce”, B ₁ = „wschodnie niebo”; przypadek 2: A ₂ = „zachodzące słońce”, B ₂ = „niebo zachodnie”; przypadek 3: itd.) na „ogólne” prawo indukcji, które wyraża następująco:

„(a) Im większa liczba przypadków, w których rzecz rodzaju A została powiązana z rzeczą rodzaju B, tym bardziej prawdopodobne jest (jeśli znane są przypadki niepowodzenia skojarzenia), że A jest zawsze skojarzone z B;

„(b) W tych samych okolicznościach wystarczająca liczba przypadków skojarzenia A z B uczyni prawie pewnym, że A jest zawsze związane z B, i sprawi, że to ogólne prawo zbliży się do pewności bez ograniczeń”.

Argumentuje, że tej zasady indukcji nie można ani obalić, ani udowodnić doświadczeniem, a niepowodzenie obalenia występuje, ponieważ prawo dotyczy raczej prawdopodobieństwa sukcesu niż pewności; niepowodzenie dowodu występujące z powodu niezbadanych przypadków, które dopiero mają się wydarzyć, tj. wystąpią (lub nie) w przyszłości. „Dlatego musimy albo zaakceptować zasadę indukcyjną na podstawie jej wewnętrznych dowodów, albo zrezygnować z wszelkiego uzasadnienia naszych oczekiwań co do przyszłości”.

W swoim następnym rozdziale („O naszej znajomości ogólnych zasad”) Russell przedstawia inne zasady, które mają tę samą właściwość: „których nie można udowodnić ani obalić doświadczeniem, ale są one używane w argumentach, które zaczynają się od tego, czego się doświadcza”. Twierdzi, że „mają one nawet większe dowody niż zasada indukcji… wiedza o nich ma taki sam stopień pewności, jak wiedza o istnieniu danych zmysłowych. Stanowią one sposób wyciągania wniosków z tego, co jest podane w uczucie".

Zasada wnioskowania : następnie Russell podaje przykład, który nazywa zasadą „logiczną”. Dwukrotnie wcześniej potwierdził tę zasadę, najpierw jako czwarty aksjomat w swoim 1903, a następnie jako swoją pierwszą „prymitywną propozycję” PM : „❋1.1 Wszystko, co implikuje prawdziwe twierdzenie elementarne, jest prawdziwe”. Teraz powtarza to w swoim 1912 w wyrafinowanej formie: „Tak więc nasza zasada mówi, że jeśli to implikuje tamto, a to jest prawdą, to tamto jest prawdą. wszystko, co wynika z prawdziwego twierdzenia, jest prawdziwe”. Zasada ta kładzie duży nacisk, stwierdzając, że „ta zasada jest naprawdę zaangażowana - przynajmniej jej konkretne przykłady są zaangażowane - we wszystkie demonstracje”.

Nie nazywa swojej zasady wnioskowania modus ponens , ale jej formalnym, symbolicznym wyrazem w PM (wyd. 2 1927) jest modus ponens ; współczesna logika nazywa to „zasadą” w przeciwieństwie do „prawa”. W poniższym cytacie symbol „⊦” jest „znakiem potwierdzenia” ( por :92); „⊦” oznacza „to prawda, że”, dlatego „⊦p”, gdzie „p” to „słońce wschodzi”, oznacza „to prawda, że ​​​​słońce wschodzi”, naprzemiennie „Stwierdzenie„ Słońce wschodzi ”jest PRAWDA". Symbol „implikacji” „⊃” jest powszechnie odczytywany jako „jeśli p to q” lub „p implikuje q” (por . :7). W tym pojęciu „implikacji” osadzone są dwie „prymitywne idee”, „funkcja sprzeczna” (symbolizowana przez NOT, „~”) i „suma logiczna lub alternatywna” (symbolizowana przez OR, „⋁”); pojawiają się one jako „twierdzenia prymitywne” ❋1,7 i ❋1,71 w PM (PM s. 97). Za pomocą tych dwóch „twierdzeń prymitywnych” Russell definiuje „p ⊃ q” tak, aby miało formalną równoważność logiczną „NIE-p OR q” symbolizowaną przez „~ p ⋁ q”:

Wnioskowanie . Proces wnioskowania jest następujący: stwierdza się zdanie „p”, następnie stwierdza się zdanie „p implikuje q”, a następnie stwierdza się zdanie „q”. Zaufanie do wnioskowania jest przekonaniem że jeśli dwa poprzednie twierdzenia nie są błędne, to ostatnie twierdzenie nie jest błędne. Odpowiednio, ilekroć w symbolach, gdzie p i q mają oczywiście specjalne określenie „⊦p”

i „⊦(p ⊃ q)”

” wystąpiły, to „⊦q” wystąpi, jeśli chce się to zapisać. Procesu wnioskowania nie można sprowadzić do symboli. Jego jedynym zapisem jest wystąpienie „⊦q”. ... Wnioskowanie jest porzucenie prawdziwej przesłanki; jest to rozwiązanie implikacji”.

Innymi słowy, w długim „ciągu” wnioskowania, po każdym wnioskowaniu możemy odłączyć „następnik” „⊦q” od ciągu symboli „⊦p, ⊦(p⊃q)” i nie przenosić tych symboli dalej w coraz dłuższy ciąg symboli.

Trzy tradycyjne „prawa” (zasady) myślenia : Russell przechodzi do innych zasad, z których powyższa zasada logiczna jest „tylko jedną”. Twierdzi, że „niektóre z nich muszą zostać przyznane, zanim jakikolwiek argument lub dowód stanie się możliwy. Kiedy niektóre z nich zostaną przyznane, inne można udowodnić”. Spośród tych różnych „praw” twierdzi, że „bez bardzo dobrego powodu trzy z tych zasad zostały wyróżnione przez tradycję pod nazwą„ praw myślenia ”. Wymienia je w następujący sposób:

„(1) Prawo tożsamości : „Cokolwiek jest, jest”.

(2) Prawo sprzeczności : „Nic nie może jednocześnie być i nie być”.

(3) Prawo wyłączonego środka : „Wszystko musi być albo nie być”.

Uzasadnienie : Russell uważa, że ​​„nazwa„ prawa myślenia ”jest… myląca, ponieważ ważny jest nie fakt, że myślimy zgodnie z tymi prawami, ale fakt, że rzeczy zachowują się zgodnie z nimi; innymi słowy fakt, że myśląc zgodnie z nimi, myślimy prawdziwie ”. Uznaje to jednak za „poważne pytanie” i rozwija je w dwóch kolejnych rozdziałach, w których zaczyna od zbadania pojęcia wiedzy „a priori” (wrodzonej, wbudowanej), a ostatecznie dochodzi do akceptacji platońskiego „świata”. uniwersaliów”. W swoich badaniach powraca od czasu do czasu do trzech tradycyjnych praw myślenia, wyróżniając w szczególności prawo sprzeczności: „Konkluzja, że ​​prawo sprzeczności jest prawem myśl jest jednak błędna… [raczej] prawo sprzeczności dotyczy rzeczy, a nie tylko myśli… fakt dotyczący rzeczy na świecie”.

Jego argumentacja zaczyna się od stwierdzenia, że ​​trzy tradycyjne prawa myślenia są „próbkami oczywistych zasad”. Dla Russella kwestia „oczywistości” jedynie wprowadza szersze pytanie, w jaki sposób czerpiemy naszą wiedzę o świecie. Cytuje „historyczną kontrowersję… między dwiema szkołami zwanymi odpowiednio„ empirystami ”[ Locke , Berkeley i Hume ] i„ racjonalistami ”[ Kartezjusz i Leibniz ]” (ci filozofowie są jego przykładami). Russell twierdzi, że racjonaliści „utrzymywali, że oprócz tego, co wiemy z doświadczenia, istnieją pewne„ idee wrodzone ”i„ zasady wrodzone ”, które znamy niezależnie od doświadczenia”; wyeliminować możliwość posiadania przez dzieci wrodzonej wiedzy o „prawach myślenia”, Russell zmienia nazwę tego rodzaju wiedzy a priori . I chociaż Russell zgadza się z empirystami, że „nie można poznać istnienia niczego poza pomocą doświadczenia”, on zgadza się również z racjonalistami, że pewna wiedza jest a priori , a konkretnie „twierdzenia logiki i czystej matematyki, a także fundamentalne twierdzenia etyki”.

To pytanie, jak taka wiedza a priori może istnieć, kieruje Russella do zbadania filozofii Immanuela Kanta , którą po dokładnym rozważeniu odrzuca w następujący sposób:

„… istnieje jeden główny zarzut, który wydaje się fatalny w stosunku do jakiejkolwiek próby rozwiązania problemu wiedzy a priori za pomocą jego metody. Należy wziąć pod uwagę naszą pewność, że fakty muszą zawsze być zgodne z logiką i arytmetyką. .. Tak więc rozwiązanie Kanta nadmiernie ogranicza zakres twierdzeń a priori , a ponadto zawodzi w próbie wyjaśnienia ich pewności”.

Jego zastrzeżenia wobec Kanta prowadzą następnie Russella do zaakceptowania „teorii idei” Platona , „moim zdaniem… jednej z najbardziej udanych dotychczas podjętych prób”; twierdzi, że „… musimy zbadać naszą wiedzę o uniwersaliach… gdzie stwierdzimy, że [ta uwaga] rozwiązuje problem wiedzy a priori ”.

Principia Mathematica (Część I: 1910 pierwsze wydanie, 1927 drugie wydanie)

Niestety, „Problemy” Russella nie zawierają przykładu „minimalnego zestawu” zasad, które miałyby zastosowanie do ludzkiego rozumowania, zarówno indukcyjnego, jak i dedukcyjnego. Ale PM przynajmniej zapewnia zestaw przykładów (ale nie minimum; patrz post poniżej), który jest wystarczający do wnioskowania dedukcyjnego za pomocą rachunku zdań (w przeciwieństwie do wnioskowania za pomocą bardziej skomplikowanego rachunku predykatów ) — w sumie 8 zasad na początku „Części I: Logika matematyczna”. Każdy ze wzorów :❋1,2 do :❋1,6 jest tautologią (prawdziwą niezależnie od wartości logicznej p, q, r…). To, czego brakuje w PM , to formalna zasada substytucji; w swojej rozprawie doktorskiej z 1921 r. Emil Post naprawia ten brak (patrz post poniżej). W dalszej części formuły są zapisane w bardziej nowoczesnym formacie niż ten używany w PM ; nazwiska podane są na PW ).

❋1.1 Wszystko, co wynika z prawdziwego twierdzenia elementarnego, jest prawdziwe.

❋1.2 Zasada tautologii: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 Zasada dodawania [logicznego]: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 Zasada permutacji: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 Zasada asocjacji : p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ zbędne ]

❋1.6 Zasada [logicznego] sumowania: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [ logiczne NOT]: Jeśli p jest zdaniem elementarnym, ~p jest zdaniem elementarnym.

❋1,71 [logiczne włącznie OR]: Jeśli p i q są zdaniami elementarnymi, to (p ⋁ q) jest zdaniem elementarnym.

Russell podsumowuje te zasady stwierdzeniem: „To uzupełnia listę zdań pierwotnych wymaganych w teorii dedukcji w zastosowaniu do zdań elementarnych” (PM s. 97).

Wychodząc z tych ośmiu tautologii i cichego użycia „reguły” substytucji, PM wyprowadza następnie ponad sto różnych formuł, wśród których są Prawo Wyłączonego Środka ❋1,71 i Prawo Sprzeczności ❋3,24 (to ostatnie wymaga zdefiniowania logicznego AND symbolizowanego przez współczesny ⋀: (p ⋀ q) = _def ~(~p ⋁ ~q).( PM używa symbolu „kropki” _▪ dla logicznego AND)).

Ladd-Franklin (1914): „zasada wykluczenia” i „zasada wyczerpania”

Mniej więcej w tym samym czasie (1912), kiedy Russell i Whitehead kończyli ostatni tom swoich Principia Mathematica i publikowali „Problemy filozofii” Russella, co najmniej dwóch logików (Louis Couturat, Christine Ladd-Franklin) twierdziło , że dwie „prawa” (zasady) sprzeczności” i „wyłączony środek” są niezbędne do określenia „sprzeczności”; Ladd-Franklin przemianował te zasady na zasady wykluczenia i wyczerpania . Poniższy przypis pojawia się jako przypis na stronie 23 Couturat 1914:

„Jak słusznie zauważyła pani LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artykuł „Laws of Thought”), zasada sprzeczności nie wystarcza do zdefiniowania sprzeczności; należy dodać zasadę wyłączonego środka, która w równym stopniu zasługuje na nazwa zasady sprzeczności.Dlatego pani LADD-FRANKLIN proponuje nazwać je odpowiednio zasadą wykluczenia i zasadą wyczerpania, ponieważ zgodnie z pierwszym dwa przeciwstawne terminy wykluczają się (jeden drugiego); a zgodnie z drugim są wyczerpujące (wszechświata dyskursu).”

Innymi słowy, tworzenie „sprzeczności” reprezentuje dychotomię , tj. „podział” uniwersum dyskursu na dwie klasy (zbiory), które mają następujące dwie właściwości: (i) wzajemnie się wykluczają i (ii) (łącznie ) wyczerpujący. Innymi słowy, żadna rzecz (wyciągnięta z uniwersum dyskursu) nie może jednocześnie należeć do obu klas (prawo niesprzeczności), ale [i] każda pojedyncza rzecz (we wszechświecie dyskursu) musi należeć do jednej lub drugiej klasy (prawo wyłączonego środka).

Post (1921): Rachunek zdań jest spójny i kompletny

W ramach swojej rozprawy doktorskiej „Wstęp do ogólnej teorii zdań elementarnych” Emil Post udowodnił, że „system zdań elementarnych Principia [PM]”, tj . . Definicja „spójności” jest następująca: za pomocą dedukcyjnego „systemu” będącego pod ręką (jego ustalonych aksjomatów, praw, reguł) niemożliwe jest wyprowadzenie (wyświetlenie) zarówno formuły S, jak i jej sprzeczności ~S (tj. negacja) (Nagel i Newman 1958:50). Aby to formalnie zademonstrować, Post musiał dodać prymitywne twierdzenie do 8 prymitywnych twierdzeń PM, „regułę”, która określała pojęcie „substytucji”, którego brakowało w oryginalnym PM z 1910 roku.

Biorąc pod uwagę mały zestaw „twierdzeń pierwotnych” PM i dowód ich spójności, Post udowadnia następnie, że ten system („rachunek zdań” PM) jest kompletny , co oznacza, że ​​w „systemie” można wygenerować każdą możliwą tablicę prawdy :

„...każdy system prawdy ma reprezentację w systemie Principia, podczas gdy każdy kompletny system, to znaczy taki, który ma wszystkie możliwe tablice prawdy, jest mu równoważny. ... Widzimy zatem, że kompletne systemy są równoważne systemowi Principia nie tylko w rozwoju tablicy prawdy, ale także postulacyjnie. Ponieważ inne systemy są w pewnym sensie zdegenerowanymi formami kompletnych systemów, możemy stwierdzić, że nie wprowadza się żadnych nowych systemów logicznych.

Minimalny zestaw aksjomatów? Sprawa ich niezależności

Następnie jest kwestia „niezależności” aksjomatów. W swoim komentarzu przed Post 1921 van Heijenoort stwierdza, że ​​Paul Bernays rozwiązał sprawę w 1918 r. (ale opublikował w 1926 r.) – można udowodnić wzór ❋1.5 Zasada asocjacji: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) z pozostałą czwórką. Jeśli chodzi o to, jaki system „twierdzeń pierwotnych” jest minimalny, van Heijenoort stwierdza, że ​​​​sprawa została „zbadana przez Żylińskiego (1925), samego Posta (1941) i Wernicka (1942)”, ale van Heijenoort nie odpowiada na pytanie.

Teoria modelu a teoria dowodu: dowód Posta

Kleene (1967:33) zauważa, że ​​„logikę” można „ufundować” na dwa sposoby, po pierwsze jako „teorię modelową” lub po drugie przez formalny „dowód” lub „teorię aksjomatyczną”; „dwa sformułowania, teoria modeli i teoria dowodów, dają równoważne wyniki” (Kleene 1967: 33). Ten podstawowy wybór i ich równoważność dotyczy również logiki predykatów (Kleene 1967: 318).

We wstępie do Post 1921 van Heijenoort zauważa, że ​​zarówno „tabela prawdy, jak i podejście aksjomatyczne są jasno przedstawione”. Kwestia dowodu zgodności w obie strony (za pomocą teorii modelu, aksjomatycznej teorii dowodu) pojawia się w bardziej odpowiedniej wersji dowodu spójności Posta, którą można znaleźć u Nagela i Newmana 1958 w ich rozdziale V „An Example of a Udany absolutny dowód spójności”. W głównej części tekstu używają modelu, aby uzyskać dowód spójności (stwierdzają również, że system jest kompletny, ale nie oferują dowodu) (Nagel i Newman 1958: 45–56). Ale ich tekst obiecuje czytelnikowi dowód, który jest raczej aksjomatyczny niż polegający na modelu, aw Dodatku dostarczają ten dowód oparty na pojęciach podziału formuł na dwie klasy K ₁ i K ₂ , które wzajemnie się wykluczają i są wyczerpujące (Nagel i Newman 1958: 109–113).

Gödel (1930): Rachunek predykatów pierwszego rzędu jest kompletny

(Ograniczony) „rachunek predykatów pierwszego rzędu” to „system logiki”, który dodaje do logiki zdań (por. Post powyżej) pojęcie „podmiot-predykat”, tj. podmiot x jest rysowany z dziedziny (wszechświata) dyskursu i predykatu jest funkcją logiczną f(x): x jako podmiot i f(x) jako predykat (Kleene 1967:74). Chociaż dowód Gödla obejmuje to samo pojęcie „zupełności”, co dowód Posta, dowód Gödla jest znacznie trudniejszy; poniżej znajduje się omówienie zbioru aksjomatów.

Kompletność

Kurt Gödel w swojej rozprawie doktorskiej z 1930 r. „Kompletność aksjomatów rachunku funkcjonalnego logiki” udowodnił, że w tym „rachunku” (tzn. sprowadza się do tego samego: każda ważna formuła jest możliwa do udowodnienia, a zatem logika jest zupełna. Oto definicja Gödla dotycząca tego, czy „ograniczony rachunek funkcjonalny” jest „kompletny”:

„... czy rzeczywiście wystarczy do wyprowadzenia każdego twierdzenia logiczno-matematycznego, czy też być może jest do pomyślenia, że ​​istnieją zdania prawdziwe (które można udowodnić za pomocą innych zasad), których nie można wyprowadzić w systemie pod namysł."

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Ten konkretny rachunek predykatów jest „ograniczony do pierwszego rzędu”. Do rachunku zdań dodaje dwa specjalne symbole, które symbolizują uogólnienia „ dla wszystkich ” oraz „istnieje (co najmniej jeden)”, które rozciągają się na dziedzinę dyskursu . Rachunek wymaga tylko pierwszego pojęcia „dla wszystkich”, ale zazwyczaj obejmuje oba: (1) pojęcie „dla wszystkich x” lub „dla każdego x” jest symbolizowane w literaturze tak różnie, jak ( x ), ∀ x , Π x itd. ., oraz pojęcie (2) „istnieje (przynajmniej jedno x)” symbolizowane rozmaicie jako Ex, ∃x.

Ograniczenie polega na tym, że uogólnienie „dla wszystkich” dotyczy tylko zmiennych ( obiektów x, y, z itp. Pobranych z domeny dyskursu), a nie funkcji, innymi słowy rachunek pozwoli ∀xf (x) („ dla wszystkich stworzeń x, x jest ptakiem”), ale nie ∀f∀x(f(x)) [ale jeśli do rachunku dodamy „równość”, pozwoli to ∀f:f(x); patrz poniżej pod Tarskim ]. Przykład:

Niech predykat „funkcja” f(x) będzie „x jest ssakiem”, a dziedziną podmiotu (lub uniwersum dyskursu ) (por. Kleene 1967:84) będzie kategoria „nietoperze”:

Formuła ∀xf(x) daje wartość logiczną „prawda” (czytaj: „Dla wszystkich przypadków x obiektów „nietoperze”, „x to ssak” jest prawdą, tj. „Wszystkie nietoperze to ssaki”);

Ale jeśli instancje x są rysowane z dziedziny „skrzydlate stworzenia”, to ∀xf(x) daje wartość logiczną „fałsz” (tj. wartość logiczna „fałsz”; „Latające owady to ssaki” to fałsz);

Jednak w szerokiej domenie dyskursu „wszelkie stworzenia skrzydlate” (np. „ptaki” + „latające owady” + „latające wiewiórki” + „nietoperze”) możemy twierdzenie ∃xf(x) (czytaj: „Istnieje co najmniej jedno skrzydlate stworzenie, które jest ssakiem”; daje wartość logiczną „prawda”, ponieważ obiekty x mogą pochodzić z kategorii „nietoperze” i być może „latające wiewiórki (w zależności od tego, jak zdefiniujemy „skrzydlaty”). Ale formuła daje „fałsz”, gdy domena dyskursu jest ograniczona do „latających owadów” lub „ptaków” lub obu „owadów” i „ptaków”.

Kleene zauważa, że ​​„rachunek predykatów (bez równości lub z równością) w pełni realizuje (dla teorii pierwszego rzędu) to, co zostało pomyślane jako rola logiki” (Kleene 1967: 322).

Nowy aksjomat: dictum Arystotelesa – „maksyma wszystkich i nic”

Ta pierwsza połowa tego aksjomatu - „maksyma wszystkich” pojawi się jako pierwszy z dwóch dodatkowych aksjomatów w zbiorze aksjomatów Gödla. „Dyskus Arystotelesa” ( dictum de omni et nullo ) jest czasami nazywany „maksymą wszystkich i nikogo”, ale w rzeczywistości składa się z dwóch „maksym”, które stwierdzają: „To, co jest prawdą o wszystkich (członkach domeny), jest prawdą o niektórych (członkowie domeny)” oraz „Co nie jest prawdą o wszystkich (członkach domeny) nie jest prawdą o żadnym (członkach domeny)”.

„Dyskusja” pojawia się w Boole 1854 w kilku miejscach:

„Może być pytaniem, czy ta formuła rozumowania, zwana dictum Arystotelesa, de Omni et nullo , wyraża podstawowe prawo ludzkiego rozumowania, czy nie; ale nie ma wątpliwości, że wyraża ona ogólną prawdę w logice” ( 1854:4)

Ale później wydaje się, że się temu sprzeciwia:

„[Niektóre zasady] ogólnej zasady o charakterze aksjomatycznym, takie jak „dictum Arystotelesa”: „Cokolwiek jest potwierdzone lub zaprzeczone w rodzaju, może w tym samym sensie zostać potwierdzone lub zaprzeczone w odniesieniu do dowolnego gatunku objętego tym rodzajem. ... albo przedstawiają bezpośrednio, ale w abstrakcyjnej formie, argument, który mają wyjaśnić, i stwierdzając w ten sposób ten argument, potwierdzają jego ważność, albo zawierają w swoim wyrażeniu terminy techniczne, które po zdefiniowaniu prowadzą nas ponownie do tego samego punktu, mianowicie abstrakcyjne stwierdzenie rzekomych dopuszczalnych form wnioskowania ”.

Ale pierwszą połowę tego „dictum” ( dictum de omni ) podejmują Russell i Whitehead w PM oraz Hilbert w jego wersji (1927) „logiki predykatów pierwszego rzędu”; jego (system) zawiera zasadę, którą Hilbert nazywa „dictum Arystotelesa”

(x)f(x) → f(y)

Ten aksjomat pojawia się również we współczesnym zbiorze aksjomatów oferowanych przez Kleene (Kleene 1967: 387), jako jego „∀-schemat”, jeden z dwóch aksjomatów (nazywa je „postulatami”) wymaganych dla rachunku predykatów; drugi to „∃-schemat” f(y) ⊃ ∃xf(x), który uzasadnia z konkretnego f(y) istnienie co najmniej jednego podmiotu x, który spełnia predykat f(x); oba wymagają przynależności do określonej domeny (wszechświata) dyskursu.

Ograniczony rachunek predykatów Gödla

Aby uzupełnić cztery (od pięciu; patrz Post ) aksjomaty rachunku zdań, Gödel 1930 dodaje dictum de omni jako pierwszy z dwóch dodatkowych aksjomatów. Zarówno to „dictum”, jak i drugi aksjomat, jak twierdzi w przypisie, wywodzą się z Principia Mathematica . Rzeczywiście, PM obejmuje zarówno jako

❋10,1 ⊦ ∀xf(x) ⊃ f(y) [„To, co jest prawdziwe we wszystkich przypadkach, jest prawdziwe w każdym przypadku” („Dyta Arystotelesa”, przepisane na bardziej nowoczesne symbole)] ❋10,2 ⊦∀x(

p ⋁ f (x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf (x)) [przepisane na bardziej nowoczesne symbole]

Ten ostatni twierdzi, że suma logiczna (tj. ⋁, OR) zdania prostego p i predykatu ∀xf(x) implikuje sumę logiczną każdego z nich z osobna. Ale PM wywodzi oba z sześciu prymitywnych twierdzeń ❋9, które w drugiej edycji PM są odrzucane i zastępowane czterema nowymi „Pp” (prymitywnymi zasadami) ❋8 (patrz w szczególności ❋8.2, a Hilbert wyprowadza pierwszy z jego „logicznego ε-aksjomatu” w jego 1927 i nie wspomina o drugim. Jak Hilbert i Gödel doszli do przyjęcia tych dwóch jako aksjomatów, jest niejasne.

Wymagane są również dwie dodatkowe „reguły” oderwania („modus ponens”) mające zastosowanie do predykatów.

Tarski (1946): Prawo Leibniza

Alfred Tarski w swoim „Wstępie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych” z 1946 r. (Wydanie drugie) cytuje szereg, jak uważa, „uniwersalnych praw” rachunku zdań, trzy „reguły” wnioskowania i jedno podstawowe prawo tożsamość (z której wywodzi cztery kolejne prawa). Tradycyjne „prawa myślenia” są zawarte w jego długiej liście „praw” i „zasad”. Jego leczenie jest, jak sugeruje tytuł jego książki, ograniczone do „Metodologii nauk dedukcyjnych”.

Uzasadnienie : We wstępie (wydanie drugie) zauważa, że ​​to, co rozpoczęło się od zastosowania logiki do matematyki, zostało rozszerzone na „całą ludzką wiedzę”:

„[Chcę przedstawić] jasną ideę tego potężnego nurtu współczesnej myśli, który koncentruje się na nowoczesnej logice. Ten nurt powstał pierwotnie z nieco ograniczonego zadania stabilizacji podstaw matematyki. W swojej obecnej fazie ma jednak wiele szersze cele. Ponieważ dąży do stworzenia jednolitego aparatu pojęciowego, który dostarczyłby wspólnej podstawy dla całej ludzkiej wiedzy”.

Prawo tożsamości (prawo Leibniza, równość)

Aby dodać pojęcie „równości” do „rachunku zdań” (tego nowego pojęcia nie należy mylić z równoważnością logiczną symbolizowaną przez ↔, ⇄, „wtedy i tylko wtedy, gdy (iff)”, „dwuwarunkowy” itp.) Tarski ( por. s. 54-57) symbolizuje to, co nazywa „prawem Leibniza” symbolem „=”. Rozszerza to domenę (wszechświat) dyskursu i typy funkcji na liczby i formuły matematyczne (Kleene 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).

W skrócie: biorąc pod uwagę, że „x ma wszystkie właściwości, które ma y”, możemy napisać „x = y”, a ta formuła będzie miała wartość logiczną „prawda” lub „fałsz”. Tarski określa to prawo Leibniza w następujący sposób:

• I. Prawo Leibniza: x = y wtedy i tylko wtedy, gdy x ma wszystkie właściwości, które ma y, a y ma wszystkie właściwości, które ma x.

Następnie wywodzi kilka innych „praw” z tego prawa:

• II. Prawo zwrotności: Wszystko jest sobie równe: x = x. [Potwierdzone o godz. ❋13.15]
• III. Prawo symetrii: jeśli x = y, to y = x. [Potwierdzone o godz. ❋13.16]
• IV. Prawo przechodniości: jeśli x = y i y = z, to x = z. [Udowodnione o godz. ❋13.17]
• V. Jeśli x = z i y = z, to x = y. [Udowodnione po południu ❋13.172]

Principia Mathematica definiuje pojęcie równości w następujący sposób (we współczesnych symbolach); zauważ, że uogólnienie „dla wszystkich” rozciąga się na funkcje predykatów f( ):

❋13.01. x = y = _def ∀ f: (f (x) → f (y)) („Definicja ta stwierdza, że ​​​​x i y należy nazwać identycznymi, gdy każda funkcja predykatu spełniona przez x jest spełniona przez y”

Hilbert 1927:467 dodaje tylko dwa aksjomaty równości, pierwszy to x = x, drugi to (x = y) → ((f(x) → f(y)); brakuje „dla wszystkich f” (lub dorozumiany). Gödel 1930 definiuje równość podobnie jak PM :❋13.01. Kleene 1967 przyjmuje dwa z Hilberta 1927 plus jeszcze dwa (Kleene 1967:387).

George Spencer-Brown (1969): Prawa formy

George Spencer-Brown w swoim „ Laws of Form ” (LoF) z 1969 r. zaczyna od przyjęcia za pewnik, że „nie możemy wskazać bez dokonania rozróżnienia”. Zakłada to zatem prawo wyłączonego środka. Następnie przechodzi do zdefiniowania dwóch aksjomatów, które opisują, jak działają rozróżnienia („granica”) i wskazania („wezwanie”):

• Aksjomat 1. Prawo wezwania: Wartość powtórnego wezwania jest wartością wezwania.
• Aksjomat 2. Prawo przekraczania: Wartość ponownego (granicy) przekroczenia nie jest wartością przekroczenia.

Te aksjomaty wykazują podobieństwo odpowiednio do „prawa tożsamości” i „prawa niesprzeczności”. Jednak prawo tożsamości jest udowodnione jako twierdzenie (Twierdzenie 4.5 w „ Prawach formy ”) w ramach LoF. Ogólnie rzecz biorąc, LoF można reinterpretować jako logikę pierwszego rzędu , logikę zdań i logikę drugiego rzędu, przypisując określone interpretacje symbolom i wartościom LoF.

Współczesne wydarzenia

Wszystkie powyższe „systemy logiki” są uważane za „klasyczne”, co oznacza, że ​​​​twierdzenia i wyrażenia predykatowe są dwuwartościowe, z wartością prawdy „prawda” lub „fałsz”, ale nie z obydwoma (Kleene 1967: 8 i 83). Chociaż logika intuicjonistyczna należy do kategorii „klasycznej”, sprzeciwia się rozszerzeniu operatora „dla wszystkich” na prawo wyłączonego środka; dopuszcza przypadki „Prawa”, ale nie jego uogólnienie na nieskończoną dziedzinę dyskursu.

Logika intuicjonistyczna

„ Logika intuicjonistyczna ”, czasami bardziej ogólnie nazywana logiką konstruktywną , jest parakompletną logiką symboliczną , która różni się od logiki klasycznej tym, że zastępuje tradycyjne pojęcie prawdy pojęciem konstruktywnej możliwości udowodnienia .

Uogólnione prawo wyłączonego środka nie jest częścią realizacji logiki intuicjonistycznej , ale nie jest też negowane. Logika intuicjonistyczna po prostu zabrania używania operacji jako części tego, co definiuje jako „ dowód konstruktywny ”, co nie jest tym samym, co wykazanie jej nieważności (jest to porównywalne do użycia określonego stylu budowlanego, w którym wkręty są zabronione i tylko gwoździe są dozwolone; nie musi to koniecznie obalać ani nawet kwestionować istnienia lub przydatności śrub, a jedynie pokazuje, co można zbudować bez nich).

Logika parakonsystencji

„ Logika parakonsystentna ” odnosi się do tak zwanych systemów logicznych tolerujących sprzeczności, w których sprzeczność niekoniecznie prowadzi do trywializmu . Innymi słowy, zasada eksplozji nie obowiązuje w takiej logice. Niektórzy (mianowicie dialeteiści) argumentują, że logika dialetyczna zaprzecza prawu niesprzeczności . Są motywowani pewnymi paradoksami, które wydają się implikować granicę prawa niesprzeczności, a mianowicie paradoksem kłamcy . Aby uniknąć trywialnego systemu logicznego i nadal dopuszczać, aby pewne sprzeczności były prawdziwe, dialeteiści zastosują pewnego rodzaju logikę parakonsystencji.

Logika trójwartościowa

TBD cf Logika trójwartościowa spróbuj tego Trójskładnikowa arytmetyka i logika – Semantic Scholar

Modalne rachunki zdaniowe

(por. Kleene 1967:49): Te „ rachunki ” obejmują symbole ⎕A, co oznacza „A jest konieczne” i ◊A oznacza „A jest możliwe”. Kleene stwierdza, że:

„Pojęcia te wkraczają w dziedziny myślenia, w których rozumie się dwa różne rodzaje„ prawdy ”, jeden bardziej uniwersalny lub przekonujący niż drugi… Zoolog mógłby stwierdzić, że niemożliwe jest, aby salamandry lub jakiekolwiek inne żywe stworzenia mogły przetrwać ogień; ale możliwe (choć nieprawdziwe), że istnieją jednorożce, i możliwe (choć nieprawdopodobne), że istnieją odrażające bałwany.

Logika rozmyta

„ Logika rozmyta ” jest formą logiki wielowartościowej ; zajmuje się rozumowaniem , które jest raczej przybliżone niż ustalone i dokładne.

Zobacz też

• Algebra pojęć

• Arystoteles , „Kategorie”, Harold P. Cooke (tłum.), s. 1–109 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann , Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Arystoteles, „O interpretacji”, Harold P. Cooke (tłum.), s. 111–179 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Arystoteles, „ Przeor Analytics ”, Hugh Tredennick (tłum.), s. 181–531 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Boole, George , An Investigation of the Laws of Thought, na których opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa , Macmillan , 1854. Przedruk z poprawkami, Dover Publications , Nowy Jork, NY, 1958.
• Louis Couturat , przetłumaczone przez Lydię Gillingham Robinson, 1914, The Algebra of Logic , The Open Court Publishing Company, Chicago i Londyn. Pobrane przez googlebooki.
•   Gödel 1944 Logika matematyczna Russella w Kurt Gödel: Collected Works Tom II , Oxford University Press, Nowy Jork, NY, ISBN 978-0-19-514721-6
• Sir William Hamilton, 9. Baronet , (Henry L. Mansel i John Veitch , red.), 1860 Wykłady z metafizyki i logiki, w dwóch tomach. Tom. II. Logika , Boston: Gould i Lincoln. Pobrane przez googlebooki.
•   Stephen Cole Kleene , 1967, Mathematical Logic przedruk 2002, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN 0-486-42533-9 (pbk.)
• Ernest Nagel , James R. Newman , 1958, Dowód Gödla , New York University Press, LCCCN: 58-5610.
•   Bertrand Russell , Problemy filozofii (1912), Oxford University Press, Nowy Jork, 1997, ISBN 0-19-511552-X .
•   Arthur Schopenhauer , Świat jako wola i reprezentacja , tom 2, Dover Publications , Mineola, Nowy Jork, 1966, ISBN 0-486-21762-0
•   Alfred Tarski , 1946 (wydanie drugie), wznowiono 1995, Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych przetłumaczone przez Olafa Helmera, Dover Publications, Inc., Nowy Jork, ISBN 0-486-28462-X (pbk.)
•   Jean van Heijenoort , 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 978-0-674-32449-7 (pbk)

• Emil Post , 1921, Wprowadzenie do ogólnej teorii zdań elementarnych z komentarzem van Heijenoorta, strony 264ff
• David Hilbert , 1927, Podstawy matematyki z komentarzem van Heijenoorta, strony 464ff
• Kurt Gödel , 1930a, Kompletność aksjomatów rachunku funkcjonalnego logiki z komentarzem van Heijenoorta, strony 592ff.

• Alfred North Whitehead , Bertrand Russell . Principia Mathematica , 3 tomy, Cambridge University Press, 1910, 1912 i 1913. Wydanie drugie, 1925 (tom 1), 1927 (tom 2, 3). Skrócone jako Principia Mathematica do * 56 (wydanie drugie) , Cambridge University Press, 1962, brak LCCCN lub ISBN

Linki zewnętrzne

• James Danaher, „ Prawa myśli ” , Filozof , tom LXXXXII nr 1
• Peter Suber, „ Brak sprzeczności i wykluczony środek ” , Earlham College