Przypuszczenie Brumera-Starka

Brumera -Starka jest przypuszczeniem w algebraicznej teorii liczb , dającym zgrubne uogólnienie zarówno analitycznego wzoru na liczbę klas dla funkcji zeta Dedekinda , jak i twierdzenia Stickelbergera o rozkładaniu na czynniki sum Gaussa . Jej nazwa pochodzi od Armanda Brumera i Harolda Starka .

Powstaje jako szczególny przypadek (abelowy i pierwszego rzędu) hipotezy Starka , kiedy miejsce , które całkowicie się rozdziela w przedłużeniu, jest skończone. Istnieje bardzo niewiele przypadków, w których wiadomo, że przypuszczenie jest ważne. Jego znaczenie wynika na przykład z jego związku z dwunastym problemem Hilberta .

Stwierdzenie przypuszczenia

Niech $K / k$ będzie abelowym rozszerzeniem pól globalnych i niech $S$ będzie zbiorem miejsc $k$ zawierających miejsca Archimedesa i ideały pierwsze , które rozgałęziają się w $K / k$ . S $-$ prymitywną równoważną funkcję L Artina $θ (s)$ otrzymuje się ze zwykłej równoważnej funkcji L Artina przez usunięcie czynników Eulera odpowiadających liczbom pierwszym w $S$ z funkcji L Artina , z których zbudowana jest funkcja równoważna. Jest to funkcja na liczbach zespolonych przyjmująca wartości w pierścieniu grupy zespolonej $C [G]$ , gdzie $G$ jest grupą Galois $K / k$ . Jest analityczny na całej płaszczyźnie, z wyjątkiem pojedynczego prostego bieguna przy $s = 1$ .

Niech $μ K$ będzie grupą pierwiastków jedności w $K$ . Grupa $G$ działa na $μ K$ ; niech $A$ będzie anihilatorem μ $_K$ jako modułem $Z [G]$ . _ Ważne twierdzenie, po raz pierwszy udowodnione przez CL Siegela , a później niezależnie przez Takuro Shintaniego , stwierdza, że $θ (0)$ jest faktycznie w $Q [G]$ . Głębsze twierdzenie, udowodnione niezależnie przez Pierre'a Deligne'a i Kena Ribeta , Daniela Barsky'ego i Pierrette Cassou-Noguès, stwierdza, że $Aθ (0)$ jest w $Z [G]$ . W szczególności $Wθ (0)$ jest w $Z [G]$ , gdzie $W$ jest licznością $μ K$ .

Idealną grupą klasową K jest moduł $G.$ $_$ Z powyższej dyskusji możemy pozwolić $Wθ (0)$ na to działać. Przypuszczenie Brumera-Starka mówi, co następuje:

Przypuszczenie Brumera-Starka. Dla każdego niezerowego ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ułamkowego K istnieje „antyjednostka” $ε$ taka , że $za$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {W \ teta (0)} = (\ varepsilon).}$
Rozszerzenie ${\ Displaystyle K \ lewo (\ varepsilon ^ {\ Frac {1} {W}} \ prawej) / k}$ jest abelowe.

Pierwsza część tej hipotezy pochodzi od Armanda Brumera, a Harold Stark pierwotnie zasugerował, że drugi warunek może być spełniony. Przypuszczenie zostało po raz pierwszy sformułowane w formie opublikowanej przez Johna Tate'a .

Termin „antyjednostka” odnosi się do warunku, że $| ε | ν$ musi wynosić 1 dla każdego miejsca Archimedesa $ν$ .

Postęp

Wiadomo, że hipoteza Brumera Starka jest prawdziwa dla rozszerzeń $K / k$ gdzie

$K / Q$ jest cyklotomiczne: wynika to z twierdzenia Stickelbergera
$K$ jest abelowe względem $Q$
$K / k$ jest rozszerzeniem kwadratowym
$K / k$ jest rozszerzeniem dwukwadratowym

Samit Dasgupta i Mahesh Kakde opublikowali artykuł na temat przypuszczenia w Annals of Mathematics .

Analog pola funkcyjnego

, że analogiczne stwierdzenie w przypadku pola funkcji jest prawdziwe, ponieważ zostało udowodnione przez Johna Tate'a i Pierre'a Deligne'a , z innym dowodem Davida Hayesa.