Równanie przepływu wód podziemnych

Stosowane w hydrogeologii równanie przepływu wód podziemnych jest zależnością matematyczną używaną do opisu przepływu wód podziemnych przez warstwę wodonośną . Przejściowy przepływ wód podziemnych jest opisany równaniem dyfuzji , podobnym do tego stosowanego w wymianie ciepła do opisu przepływu ciepła w ciele stałym ( przewodnictwo cieplne ). Przepływ w stanie ustalonym wód podziemnych jest opisany postacią równania Laplace'a , które jest postacią przepływu potencjału i ma analogi w wielu dziedzinach.

Równanie przepływu wód gruntowych jest często wyprowadzane dla małej reprezentatywnej objętości elementarnej (REV), gdzie zakłada się, że właściwości ośrodka są faktycznie stałe. Dokonuje się bilansu masowego wody wpływającej i wypływającej z tej małej objętości, przy czym wyrazy strumienia w zależności wyraża się w wysokości słupa wody za pomocą równania konstytutywnego zwanego prawem Darcy'ego , które wymaga, aby przepływ był laminarny. Inne podejścia opierają się na modelach opartych na agentach, aby uwzględnić wpływ złożonych warstw wodonośnych, takich jak kras lub popękane skały (tj. wulkaniczne)

Bilans masy

Należy przeprowadzić bilans masowy i zastosować go wraz z prawem Darcy'ego , aby dojść do równania przejściowego przepływu wód gruntowych. Bilans ten jest analogiczny do bilansu energetycznego stosowanego w przenoszeniu ciepła w celu uzyskania równania ciepła . Jest to po prostu stwierdzenie rachunkowe, że dla danej objętości kontrolnej, poza źródłami lub pochłaniaczami, masa nie może zostać stworzona ani zniszczona. Z zasady zachowania masy wynika, że ​​dla danego przyrostu czasu ( Δt ), różnica między masą wpływającą przez granice, masą wypływającą przez granice i źródłami w objętości jest zmianą w magazynowaniu.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta M_ {stor}} {\ Delta t}} = { \frac {M_{in}}{\Delta t}}-{\frac {M_{out}}{\Delta t}}-{\frac {M_{gen}}{\Delta t}}}$

Równanie dyfuzji (przepływ przejściowy)

Masę można przedstawić jako gęstość pomnożoną przez objętość , aw większości warunków wodę można uznać za nieściśliwą (gęstość nie zależy od ciśnienia). Strumienie masy przekraczające granice stają się następnie strumieniami objętości (zgodnie z prawem Darcy'ego ). Wykorzystując szereg Taylora do przedstawienia warunków strumienia wlotowego i wylotowego przez granice objętości kontrolnej oraz twierdzenie o dywergencji do przekształcenia strumienia przez granicę w strumień w całej objętości, ostateczna postać równania przepływu wód podziemnych (w funkcji różniczkowej formularz) to:

${\ Displaystyle S_ {s} {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = - \ nabla \ cdot qG.}$

Jest to znane w innych dziedzinach jako równanie dyfuzji lub równanie ciepła, jest to paraboliczne równanie różniczkowe cząstkowe (PDE). To matematyczne stwierdzenie wskazuje, że zmiana wysokości hydraulicznej w czasie (lewa strona) jest równa ujemnej rozbieżności strumienia ( q ) i wyrazów źródłowych ( G ). To równanie ma zarówno wysokość, jak i strumień jako niewiadome, ale prawo Darcy'ego wiąże strumień z wysokościami hydraulicznymi, więc zastąpienie go strumieniem ( q ) prowadzi do

${\ Displaystyle S_ {s} {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = - \ nabla \ cdot (-K \ nabla h) -G.}$

Teraz, jeśli przewodnictwo hydrauliczne ( K ) jest przestrzennie jednorodne i izotropowe (raczej niż tensor ), można je wyjąć z pochodnej przestrzennej, upraszczając je do Laplace'a , to tworzy równanie

${\ Displaystyle S_ {s} {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = K \ nabla ^ {2} hG.}$

Dzielenie przez określony magazyn ( S _s ) stawia dyfuzyjność hydrauliczną ( α = K/S _s lub równoważnie, α = T/S ) po prawej stronie. Dyfuzyjność hydrauliczna jest proporcjonalna do prędkości, z jaką skończony impuls ciśnienia rozchodzi się w układzie (duże wartości α prowadzą do szybkiej propagacji sygnałów). Równanie przepływu wód gruntowych staje się wówczas równe

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = \ alfa \ nabla ^ {2} hG.}$

Gdzie termin ujścia/źródła, G , ma teraz te same jednostki, ale jest podzielony przez odpowiedni termin przechowywania (zgodnie z definicją podstawienia dyfuzyjności hydraulicznej).

Współrzędne prostokątne kartezjańskie

Trójwymiarowa siatka różnic skończonych używana w MODFLOW

Szczególnie przy użyciu modeli różnic skończonych z siatką prostokątną ( np. MODFLOW , opracowanych przez USGS ), mamy do czynienia ze współrzędnymi kartezjańskimi . W tych współrzędnych ogólny Laplaca staje się (dla przepływu trójwymiarowego) specyficznie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = \ alfa \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {2} h} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ frac { \częściowy ^{2}h}{\częściowy y^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}h}{\częściowy z^{2}}}\right]-G.}$

Kod MODFLOW dyskretyzuje i symuluje ortogonalną trójwymiarową postać równania przepływu wód podziemnych. Ma jednak opcję uruchomienia w trybie „quasi-3D”, jeśli użytkownik sobie tego życzy; w tym przypadku model dotyczy uśrednionych pionowo T i S , a nie k i S _s . W trybie quasi-3D przepływ jest obliczany między poziomymi warstwami 2D przy użyciu koncepcji wycieku.

Kołowe współrzędne cylindryczne

współrzędne cylindryczne 3D (zwykle tam, gdzie studnia pompująca jest źródłem liniowym znajdującym się na początku — równolegle do osi z — powodując zbieżny przepływ promieniowy). W tych warunkach powyższe równanie staje się ( r oznacza odległość promieniową, a θ oznacza kąt),

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = \ alfa \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {2} h} {\ częściowe r ^ {2}}} + {\ frac { 1}{r}}{\frac {\częściowy h}{\częściowy r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\częściowy ^{2}h}{\częściowy \theta ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}h}{\częściowy z^{2}}}\right]-G.}$

Założenia

To równanie przedstawia przepływ do studni pompowej (zlewozmywaka o sile G ), znajdującej się na początku. Zarówno to równanie, jak i powyższa wersja kartezjańska są podstawowym równaniem przepływu wód gruntowych, ale osiągnięcie tego punktu wymaga znacznych uproszczeń. Niektóre z głównych założeń, które znalazły się w obu tych równaniach, to:

• materiał warstwy wodonośnej jest nieściśliwy (brak zmian w matrycy w wyniku zmian ciśnienia — czyli osiadania),
• woda ma stałą gęstość (nieściśliwą),
• wszelkie zewnętrzne obciążenia warstwy wodonośnej (np. nadkład , ciśnienie atmosferyczne ) są stałe,
• dla problemu promieniowego 1D studnia pompująca w pełni penetruje nieszczelną warstwę wodonośną,
• woda gruntowa płynie powoli ( liczba Reynoldsa mniejsza od jedności), oraz
• przewodność hydrauliczna ( K ) jest skalarem izotropowym .

Pomimo tych dużych założeń, równanie przepływu wód podziemnych dobrze przedstawia rozkład głowic w warstwach wodonośnych z powodu przejściowego rozmieszczenia źródeł i zlewów.

Równanie Laplace'a (przepływ w stanie ustalonym)

Jeśli warstwa wodonośna ma warunki brzegowe doładowania, można osiągnąć stan ustalony (lub w wielu przypadkach można go użyć jako przybliżenie), a równanie dyfuzji (powyżej) upraszcza się do równania Laplace'a .

${\ Displaystyle 0 = \ alfa \ nabla ^ {2} h}$

To równanie stwierdza, że ​​​​wysokość hydrauliczna jest funkcją harmoniczną i ma wiele analogów w innych dziedzinach. Równanie Laplace'a można rozwiązać za pomocą technik, stosując podobne założenia podane powyżej, ale z dodatkowymi wymaganiami pola przepływu w stanie ustalonym.

Powszechną metodą rozwiązywania tych równań w inżynierii lądowej i mechanice gruntów jest wykorzystanie graficznej techniki rysowania siatek przepływowych ; gdzie linie konturowe głowicy hydraulicznej i funkcja strumienia tworzą krzywoliniową siatkę , umożliwiając w przybliżeniu rozwiązywanie złożonych geometrii.

Przepływ w stanie ustalonym do studni pompującej (który tak naprawdę nigdy nie występuje, ale czasami jest użytecznym przybliżeniem) jest powszechnie nazywany rozwiązaniem Thiema .

Dwuwymiarowy przepływ wód gruntowych

Powyższe równania przepływu wód gruntowych obowiązują dla przepływu trójwymiarowego. W nieograniczonych warstwach wodonośnych rozwiązanie równania w postaci 3D jest skomplikowane przez obecność warunku brzegowego swobodnego zwierciadła wody powierzchniowej : oprócz rozwiązania przestrzennego rozkładu głowic, położenie tej powierzchni jest również nieznane. Jest to problem nieliniowy, mimo że rządzące równanie jest liniowe.

Alternatywne sformułowanie równania przepływu wód gruntowych można uzyskać, odwołując się do założenia Dupuita-Forchheimera , w którym zakłada się, że głowice nie zmieniają się w kierunku pionowym (tj. ${\ Displaystyle \ częściowe h / \ częściowe z=0}$ ). Poziomy bilans wodny stosuje się do długiej pionowej kolumny o obszarze $wodonośnej$ do powierzchni nienasyconej Odległość ta nazywana jest grubością nasyconą, b . W zamkniętej warstwie wodonośnej grubość nasycenia jest określona przez wysokość warstwy wodonośnej, H , a wysokość ciśnienia jest wszędzie różna od zera. W nieograniczonej warstwie wodonośnej grubość nasycenia jest definiowana jako pionowa odległość między powierzchnią lustra wody a podstawą warstwy wodonośnej. Jeśli $wodonośnej znajduje się$ zerowym układzie odniesienia, to nieograniczona nasycona grubość jest równa głowicy, tj h

$, że$ zarówno hydrauliczna na całej nasyconej grubości warstwy wodonośnej ( i ${\ Displaystyle \ częściowe K/\ częściowe z = 0}$ ), możemy wyrazić prawo Darcy'ego w kategoriach zintegrowanych zrzutów wód podziemnych , Q _x i Q _y :

${\ Displaystyle Q_ {x} = \ int _ {0} ^ {b} q_ {x} dz = - Kb {\ Frac {\ częściowe h {\ częściowe x}}}$

${\ Displaystyle Q_ {y} = \ int _ {0} ^ {b} q_ {y} dz = - Kb {\ frac {\ częściowe h} {\ częściowe y}}}$

Wstawiając je do naszego wyrażenia bilansu masowego , otrzymujemy ogólne równanie 2D rządzące przepływem nieściśliwych nasyconych wód gruntowych:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy nb} {\ częściowy t}} = \ nabla \ cdot (Kb \ nabla h) + N.}$

Gdzie n jest porowatością warstwy wodonośnej . Termin źródłowy, N (długość w czasie), reprezentuje dodawanie wody w kierunku pionowym (np. ponowne ładowanie). Włączając prawidłowe definicje grubości nasyconej, określonego przechowywania i określonej wydajności , możemy przekształcić to w dwa unikalne równania rządzące warunkami ograniczonymi i nieograniczonymi:

${\ Displaystyle S {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = \ nabla \ cdot (Kb \ nabla h) + N.}$

(ograniczony), gdzie S=S _s b to spiętrzenie warstwy wodonośnej i

${\ Displaystyle S_ {y} {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} = \ nabla \ cdot (Kh \ nabla h) + N.}$

(nieograniczony), gdzie S _y jest specyficzną wydajnością warstwy wodonośnej.

Należy zauważyć, że równanie różniczkowe cząstkowe w przypadku nieograniczonym jest nieliniowe, podczas gdy w przypadku ograniczonym jest liniowe. W przypadku nieograniczonego przepływu w stanie ustalonym tę nieliniowość można usunąć, wyrażając PDE w postaci wysokości podnoszenia do kwadratu:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (K \ nabla h ^ {2}) = -2N.}$

Lub, dla jednorodnych warstw wodonośnych,

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} h ^ {2} = - {\ Frac {2N} {K}}.}$

Takie sformułowanie pozwala na zastosowanie standardowych metod rozwiązywania liniowych PDE w przypadku przepływu nieograniczonego. W przypadku heterogenicznych warstw wodonośnych bez zasilania, przepływu potencjalnego można zastosować w przypadkach mieszanych ograniczonych/nieograniczonych.

Zobacz też

• Metoda elementów analitycznych
  • Metoda numeryczna stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych
• Założenie Dupuita-Forchheimera
  • Uproszczenie równania przepływu wód podziemnych w odniesieniu do przepływu pionowego
• Bilans energetyczny wód podziemnych
  • Równania przepływu wód podziemnych na podstawie bilansu energetycznego
• Równanie Richardsa

Dalsza lektura

• HF Wang i MP Anderson Wprowadzenie do modelowania wód gruntowych: metody różnic skończonych i elementów skończonych
  • Doskonała lektura dla początkujących dotycząca modelowania wód gruntowych. Obejmuje wszystkie podstawowe pojęcia z prostymi przykładami w języku FORTRAN 77 .
•   Zamrożenie, R. Allan; Wiśnia, John A. (1979). Wody gruntowe . Sala Prentice'a. ISBN 978-0133653120 .

Linki zewnętrzne

• Oprogramowanie USGS dotyczące wód gruntowych — bezpłatne oprogramowanie do modelowania wód gruntowych, takie jak MODFLOW
• Hydrologia wód podziemnych ( MIT OpenCourseware )