Równanie replikatora

W matematyce równanie replikatora jest deterministyczną , monotoniczną , nieliniową i nieinnowacyjną dynamiką gry stosowaną w ewolucyjnej teorii gier . Równanie replikatora różni się od innych równań używanych do modelowania replikacji, takich jak quasi-gatunku , tym, że pozwala funkcji przystosowania uwzględnić rozkład typów populacji zamiast ustalać stałą przystosowania określonego typu. Ta ważna właściwość pozwala równaniu replikatora uchwycić istotę selekcji . W przeciwieństwie do równania quasigatunku, równanie replikatora nie uwzględnia mutacji , a zatem nie jest w stanie wprowadzać innowacji nowych typów ani czystych strategii.

Równanie

Najbardziej ogólną ciągłą postać równania replikatora podaje równanie różniczkowe :

${\ Displaystyle {\ kropka {x_ {i}}} = x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}( X)}}$

gdzie to odsetek typu $displaystyle i$$w$$, x_ {n})}$ populacji $x_$ jest wektorem rozkładu typów w populacji, jest to przydatność typu $displaystyle$ która jest zależna od $f_ {i} (x)}$ na populację) i $jest średnim$$.$ średnia ważona przystosowania ) Ponieważ elementy wektora populacji $jedności$ , równanie jest zdefiniowane na n-wymiarowym sympleksie .

Równanie replikatora zakłada równomierny rozkład populacji; to znaczy, że nie uwzględnia struktury populacji w przystosowaniu. Krajobraz sprawności uwzględnia rozkład typów populacji, w przeciwieństwie do innych podobnych równań, takich jak równanie quasigatunków.

W zastosowaniu populacje są na ogół skończone, co czyni wersję dyskretną bardziej realistyczną. Analiza jest trudniejsza i wymaga większych obliczeń w przypadku formuły dyskretnej, dlatego często stosuje się formę ciągłą, chociaż w wyniku tego wygładzania tracone są znaczące właściwości. Należy zauważyć, że postać ciągłą można uzyskać z postaci dyskretnej w ograniczającym .

Aby uprościć analizę, często zakłada się, że dopasowanie zależy liniowo od rozkładu populacji, co pozwala na zapisanie równania replikatora w postaci:

${\ Displaystyle {\ kropka {x_ {i}} = x_ {i} \ lewo (\ lewo (Topór \ prawo) _ {i} -x^{T}Topór\prawo)}$

gdzie $_$ wypłat zawiera wszystkie informacje o przystosowaniu populacji: oczekiwaną wypłatę można zapisać jako ${i}}$ \ displaystyle \ lewo (Ax \ prawo) populacji jako całości można zapisać jako ${\ displaystyle x ^ {T} Ax}$ . Można wykazać, że zmiana stosunku dwóch proporcji w czasie wynosi: ${\ displaystyle x_ {i}/x_ {j}}$

$${\ Displaystyle {d \ ponad {dt}} \ lewo ({x_ {i} \ ponad {x_ {j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}$$

Innymi słowy, zmiana proporcji wynika wyłącznie z różnicy w przystosowaniu pomiędzy typami.

Wyprowadzenie dynamiki deterministycznej i stochastycznej replikatorów

Załóżmy $wynosi$$że$ liczba osobników typu $że$ całkowita liczba osobników Określ proporcje każdego typu jako ${\ displaystyle x_ {i} = N_ {i}/N}$ . Załóżmy, że zmianą każdego typu rządzi geometryczny ruch Browna :

$${\ Displaystyle dN_ {i} = f_ {i} N_ {i} dt + \ sigma _ {i} N_ {i} dW_ {i}}$$

gdzie $fa$ powiązana z typem. ${\ displaystyle i}$ . Średnia przydatność typów . ${\ displaystyle \ phi = x ^ {T} f}$ . Zakłada się, że procesy Wienera są nieskorelowane. Dla ${\ Displaystyle x_ {i} (N_ {1},..., N_ {m})}$ Lemat Itô następnie daje nam:

$${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} dx_ {i} (N_ {1},..., N_ {m}) i = {\ częściowe x_{i} \over {\częściowe N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\częściowe N_{j}\częściowe N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\częściowe x_{i} \over {\częściowe N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{ \partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}}$$

Pochodne cząstkowe to wówczas:

$${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {\ częściowe x_ {i} \ ponad {\ częściowe N_ {j}}} i = {1 \ ponad {N}} \ delta _ {ij} - {x_ {i} \ ponad {N}}\\{\częściowe ^{2}x_{i} \over {\częściowe N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}}$$

gdzie $_$ funkcją . _ Z relacji tych wynika, że:

$${\ Displaystyle dx_ {i} = {dN_ { i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2} }}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}}$$

Każdy ze składników tego równania można obliczyć jako:

$${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {dN_ {i} \ ponad {N}} i = f_ {i} x_ {i} dt + \ sigma _ {i} x_ {i} dW_ {i} \\ -x_ { i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{ j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2} dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\ sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}}$$

Następnie stochastyczne równanie dynamiki replikatora dla każdego typu jest dane wzorem:

$${\ Displaystyle dx_ {i} = x_ {i} \ lewo (f_ {i} - \ phi - \ sigma _ {i} ^ {2} x_ {i} + \ suma _ {j} \ sigma _ {j} ^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j }dW_{j}\right)}$$

Zakładając, że $jest$ deterministyczne równanie dynamiki replikatora

Analiza

Główny artykuł: Stan stabilny ewolucyjnie

Analiza różni się w przypadku przypadków ciągłych i dyskretnych: w pierwszym przypadku stosuje się metody oparte na równaniach różniczkowych, w drugim metody mają raczej charakter stochastyczny. Ponieważ równanie replikatora jest nieliniowe, trudno jest uzyskać dokładne rozwiązanie (nawet w prostych wersjach postaci ciągłej), dlatego równanie jest zwykle analizowane pod kątem stabilności. Równanie replikatora (w postaci ciągłej i dyskretnej) spełnia ludowe twierdzenie ewolucyjnej teorii gier, które charakteryzuje stabilność równowag równania. Rozwiązanie równania często daje zbiór stanów stabilnych ewolucyjnie populacji.

W ogólnych przypadkach niezdegenerowanych może istnieć co najwyżej jeden wewnętrzny stabilny ewolucyjny stan (ESS), chociaż na granicy sympleksu może istnieć wiele równowag. Wszystkie twarze sympleksu są niezmienne w przód, co odpowiada brakowi innowacji w równaniu replikatora: gdy strategia wygaśnie, nie ma możliwości jej ożywienia.

Rozwiązania portretu fazowego dla równania replikatora ciągłego dopasowania liniowego zostały sklasyfikowane w przypadkach dwu- i trójwymiarowych. Klasyfikacja jest trudniejsza w wyższych wymiarach, ponieważ liczba odrębnych portretów szybko rośnie.

Zależności od innych równań

Ciągłe równanie replikatora na $typach$$wymiarach$ uogólnionemu Lotki – Volterry w Przekształcenia dokonuje się poprzez zmianę zmiennych:

${\ Displaystyle x_ {i} = {\ Frac {y_ {i}} {1+ \ suma _ {j =1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1}$

${\ Displaystyle x_ {n} = {\ Frac {1} {1+ \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} {y_ {j}}}},}$

gdzie $.$ zmienną Lotki – Ciągła dynamika replikatora jest również równoważna równaniu Price'a .

Dyskretne równanie replikatora

Kiedy rozważa się nieustrukturyzowaną, nieskończoną populację z nienakładającymi się na siebie pokoleniami, należy pracować z dyskretnymi postaciami równania replikatora. Matematycznie dwie proste wersje fenomenologiczne ---

${\ Displaystyle x'_ {i} = x_ {i} + x_ {i} \ lewo [\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}$

${\ Displaystyle x'_ {i} = x_ {i} \ lewo [{\ Frac {\ lewo (Topór \ prawo) _ {i}} {x ^ {T} Topór }}\right]\,({\rm {typ ~II),}}}$

---są zgodne z darwinowską zasadą doboru naturalnego lub jakimkolwiek analogicznym zjawiskiem ewolucyjnym. Tutaj liczba pierwsza oznacza następny krok czasowy. Jednakże dyskretny charakter równań nakłada ograniczenia na elementy macierzy wypłat. Co ciekawe, w prostym przypadku gier na dwóch graczy, na dwie strategie, mapa replikatora typu I jest w stanie pokazać bifurkację podwajania okresu prowadzącą do chaosu , a także daje wskazówkę, jak uogólnić koncepcję ewolucyjnie stabilnego stanu , aby uwzględnić okresowe rozwiązania mapy.

Uogólnienia

Uogólnieniem równania replikatora uwzględniającego mutację jest równanie replikator-mutator, które w wersji ciągłej przyjmuje następującą postać:

${\ Displaystyle {\ kropka {x_ {i}}} = \ suma _ {j = 1} ^ {n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

$gdzie$ macierz podaje $dla$ przejścia mutacji $_$ typu $jest$ przydatność t $jest$$sprawnością$ populacji . Równanie to jest jednoczesnym uogólnieniem równania replikatora i quasigatunków równanie i jest wykorzystywane w matematycznej analizie języka.

Dyskretna wersja równania replikator-mutator może mieć dwa proste typy, zgodnie z dwoma mapami replikatorów zapisanymi powyżej:

$\ Displaystyle x'_ {i} = x_ {i} + \ suma _ {j =1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

I

$\ Displaystyle x'_ {i} = x_ {i} + {\ Frac {\ suma _ { j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},}$

odpowiednio.

Równanie replikatora lub równanie replikator-mutator można rozszerzyć, aby uwzględnić efekt opóźnienia, który albo odpowiada opóźnionej informacji o stanie populacji, albo realizacji efektu interakcji między graczami. Równanie replikatora można również łatwo uogólnić na gry asymetryczne . W teorii grafów ewolucyjnych zastosowano niedawne uogólnienie obejmujące strukturę populacji .

Dalsza lektura

• Cressman, R. (2003). Ewolucyjna dynamika i rozbudowane gry w formie MIT Press.
• Taylor, PD; Jonker, L. (1978). „Ewolucyjne stabilne strategie i dynamika gry”. Matematyczne nauki biologiczne , 40 : 145-156.
• Sandholm, William H. (2010). Gry populacyjne i dynamika ewolucyjna . Nauka ekonomiczna i ewolucja społeczna, MIT Press.

Linki zewnętrzne

• Izquierdo, SS i Izquierdo LR (2011). Oprogramowanie online: dynamika replikatora-mutatora z trzema strategiami