Transformacja wielomianowa

W matematyce transformacja wielomianu polega na obliczeniu wielomianu, którego pierwiastki są daną funkcją pierwiastków wielomianu. Transformacje wielomianowe, takie jak transformacje Tschirnhausa, są często używane do uproszczenia rozwiązywania równań algebraicznych .

Proste przykłady

Tłumaczenia korzeni

Pozwalać

{\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \cdots +a_{n}}

być wielomianem i

{\ Displaystyle \ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}}

być jego złożonymi korzeniami (niekoniecznie odrębnymi).

Dla dowolnej stałej $c$ , wielomian, którego pierwiastki to

{\ Displaystyle \ alfa _ {1} + c, \ ldots, \ alfa _ {n} + c}

Jest

{\ Displaystyle Q (y) = P (yc) = a_ {0} (yc) ^ {n} + a_ {1} (yc) ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n}.}

Jeśli współczynniki $P$ są liczbami $stała$ , a jest liczbą wymierną , współczynniki $Q$ całkowitymi, ale wielomian $c n Q$ ma współczynniki całkowite i ma takie same pierwiastki jak $Q$ .

Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy ${\ Displaystyle c = {\ Frac {a_ {1}} {na_ {0}}}.}$ Wynikowy wielomian $Q$ nie ma żadnego wyrazu w $y n - 1$ .

Odwrotność korzeni

Pozwalać

{\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \cdots +a_{n}}

być wielomianem. Wielomian, którego pierwiastki są odwrotnością pierwiastków $P$ jako pierwiastków, jest jego odwrotnością wielomianu

{\ Displaystyle Q (y) = y ^ {n} P \ lewo ({\ Frac {1} {y}} \ prawej) = a_ {n} y ^ {n} + a_ {n-1} y ^ { n-1}+\cdots +a_{0}.}

Skalowanie korzeni

Pozwalać

{\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \cdots +a_{n}}

będzie wielomianem, a $c$ będzie niezerową stałą. Wielomian, którego pierwiastki są iloczynem $c$ pierwiastków $P$ , to

{\ Displaystyle Q (y) = c ^ {n} P \ lewo ({\ Frac {y} {c}} \ prawej) = a_ {0} y ^ {n} + a_ {1} cy ^ {n- 1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}

Współczynnik $c n$ pojawia się tutaj, ponieważ jeśli $c$ i współczynniki $P$ są liczbami całkowitymi lub należą do jakiejś dziedziny całkowej , to samo dotyczy współczynników $Q$ .

$}$ szczególnym przypadku, w którym współczynniki ${0}$ są wielokrotnościami $,$ a jest wielomianem monicznym , do = $za {\$ displaystyle c którego współczynniki należą do dowolnej domeny całkowej zawierającej $c$ i współczynniki $P$ . Ta transformacja wielomianowa jest często używana do zredukowania pytań dotyczących liczb algebraicznych do pytań dotyczących algebraicznych liczb całkowitych .

tego z tłumaczeniem pierwiastków o $, pozwala zredukować dowolne$ pierwiastków wielomianu, takiego znalezienie , do podobnego pytania dotyczącego prostszego wielomianu, który jest moniczny i nie ma wyrazu stopnia $n - 1$ . Aby zapoznać się z tego przykładami, zobacz Funkcja sześcienna § Redukcja do obniżonej funkcji sześciennej lub Quartic § Konwersja do obniżonej kwarcowej .

Transformacja przez funkcję wymierną

Wszystkie poprzednie przykłady to przekształcenia wielomianowe przez funkcję wymierną , zwane także przekształceniami Tschirnhausa . Pozwalać

{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {g (x)} {h (x)}}}

być funkcją wymierną, gdzie $g$ i $h$ są względnie pierwszymi wielomianami. Wielomianowa transformacja wielomianu $P$ przez $f$ jest wielomianem $Q$ (określonym do iloczynu przez niezerową stałą), którego pierwiastki są obrazami przez $f$ pierwiastków $P$ .

Taka transformacja wielomianowa może być obliczona jako wypadkowa . W rzeczywistości pierwiastkami żądanego wielomianu $Q$ są dokładnie liczby zespolone $y$ takie, że istnieje liczba zespolona $x$ taka, że ma się jednocześnie (jeśli współczynniki $P, g$ i $h$ nie są liczbami rzeczywistymi ani zespolonymi, „liczba zespolona” należy zastąpić „elementem ciała algebraicznie domkniętego zawierającego współczynniki wielomianów wejściowych” )

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (x) i = 0 \\ y \, h (x) -g (x) i = 0 \,. \ koniec {wyrównane}}}

To jest dokładnie właściwość definiująca wypadkową

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Res} _ {x} (y \, h (x) -g (x), P (x)).}

Na ogół trudno to obliczyć ręcznie. Ponieważ jednak większość systemów algebry komputerowej ma wbudowaną funkcję obliczania wypadkowych, obliczenie jej za pomocą komputera jest proste .

Nieruchomości

Jeśli wielomian $P$ jest nierozkładalny , to albo wynikowy wielomian $Q$ jest nierozkładalny, albo jest potęgą nierozkładalnego wielomianu. Niech ${\ displaystyle \ alpha}$ będzie pierwiastkiem z $P$ i rozważmy $L$ , rozszerzenie pola wygenerowane przez ${\ displaystyle \ alpha}$ . Pierwszy przypadek oznacza, że jest prymitywnym elementem $L.$ fa $\ Displaystyle f (\ alfa)}$ , który ma $Q$ jako minimalny wielomian . W tym drugim przypadku należy do podobszaru $L,$ $a$ jego minimalnym wielomianem jest nieredukowalny wielomian, $Q$ jako

Transformacja do rozwiązywania równań

Transformacje wielomianowe zostały zastosowane do uproszczenia równań wielomianowych do rozwiązania, tam gdzie to możliwe, przez rodniki. Kartezjusz wprowadził transformację wielomianu stopnia $d$ , która eliminuje wyraz stopnia $d - 1$ poprzez translację pierwiastków. Taki wielomian jest określany jako przygnębiony . To już wystarczy, aby rozwiązać kwadrat przez pierwiastki kwadratowe. W przypadku sześciennych przekształcenia Tschirnhausa zastępują zmienną funkcją kwadratową, umożliwiając w ten sposób wyeliminowanie dwóch wyrazów, a zatem można ich użyć do wyeliminowania wyrazu liniowego w obniżonym sześciennym w celu uzyskania rozwiązania sześciennego przez kombinację pierwiastków kwadratowych i sześciennych. Transformacja Bring-Jerrarda, która jest kwartalna w zmiennej, wprowadza kwintykę do postaci normalnej Bring-Jerrarda o stopniach 5, 1 i 0.

Adamczik, Wiktor S.; Jeffrey, David J. (2003). „Przekształcenia wielomianowe Tschirnhausa, Bringa i Jerrarda” (PDF) . SIGSAM Bull . 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 26.02.2009.