Transformacje Laguerre'a

Transformacje Laguerre'a lub homografie osiowe są analogią transformacji Möbiusa na liczbach podwójnych . Podczas badania tych przekształceń liczby podwójne są często interpretowane jako reprezentujące zorientowane linie na płaszczyźnie. Transformacje Laguerre'a odwzorowują linie na linie i obejmują w szczególności wszystkie izometrie płaszczyzny .

Ściśle mówiąc, te przekształcenia działają na linii rzutowej liczb podwójnych , która przylega do liczb podwójnych w zbiorze punktów w nieskończoności. Topologicznie ta linia rzutowa jest równoważna cylindrowi. Punkty na tym cylindrze znajdują się w naturalnej korespondencji jeden do jednego z zorientowanymi liniami na płaszczyźnie.

Definicja

Transformacja Laguerre'a jest liniową transformacją ułamkową ${\ Displaystyle Z \ mapsto {\ Frac {az + b} {cz + d}}}$ gdzie ${\ Displaystyle a, b, c, d} to$ $z$ liczby podwójne, na linii rzutowej liczby podwójnej i jest dzielnikiem zera z $\$ .

Liczba podwójna to hiperzłożona liczba postaci gdzie ${\ Displaystyle x + y \ varepsilon}$ gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$ ale ${\ Displaystyle \ varepsilon \ neq 0 }$ . Można to porównać do $i ^ {2} =$ zespolonych , które mają postać $Displaystyle$ .

Punkty linii rzutowej podwójnej liczby można zdefiniować równoważnie na dwa sposoby:

Zwykły zestaw liczb podwójnych, ale z dodatkowymi „punktami w nieskończoności”. Formalnie zbiór jest ${\ Displaystyle \ {x + y \ varepsilon \ mid x \ in \ mathbb {R}, y\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\frac {1}{x\varepsilon }}\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$ . Punkty w nieskończoności można wyrazić jako $\$ $varepsilon}}}$ gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. $.$ wartości odpowiadają różnym punktom w nieskończoności $,$ ponieważ $nieskończone$ jako liczba nieskończenie mała , a zatem są
Jednorodne współrzędne [ x : y ] z liczbami podwójnymi x i y takimi, że ideałem , który generują, jest cały pierścień liczb podwójnych. Pierścień ogląda się przez wstrzyknięcie x -> [ x : 1]. Linia rzutowa zawiera punkty [1:yε].

Współrzędne linii

Zobacz także Współrzędne linii #Z liczbami zespolonymi

Linia, która tworzy kąt z $osią$ i której punkt przecięcia ${\ displaystyle \ theta}$ osią x jest oznaczony , jest reprezentowana przez liczbę podwójną θ

{\ Displaystyle z = \ tan (\ theta / 2) (1+ \ varepsilon s).}

Powyższe nie ma sensu, gdy linia jest równoległa do osi x. W takim przypadku, jeśli ${\ Displaystyle \ theta = \ pi}$ , to ustaw gdzie $}}}$ $\ varepsilon$ to punkt przecięcia linii z osią y . To może nie wydawać się poprawne, ponieważ jeden dzieli się przez dzielnik zera, ale jest to ważny punkt na rzutowej linii podwójnej. θ $\ teta = 2 \ pi}$ następnie ustaw ${\ Displaystyle Z = {\ Frac {1} {2}} \ varepsilon R}$ .

Na koniec zauważ, że te współrzędne reprezentują zorientowane linie. Linia zorientowana to zwykła linia, do której dołączona jest jedna z dwóch możliwych orientacji. Można to zobaczyć na podstawie faktu, że jeśli zostanie zwiększona o $displaystyle \ pi},$ $\$ to wynikowy reprezentatywna liczba podwójna nie jest taka sama.

Reprezentacje macierzowe

Współrzędne powyższej linii można wyrazić jako współrzędne jednorodne ${\ Displaystyle z = \ lewo [\ sin \ lewo ({\ frac {\ theta + \ varepsilon R} {2}} \ prawej): \ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta + \ varepsilon R} {2}} \ prawej) \ prawej]} gdzie R {\$ displaystyle $}$ jest odległością prostopadłą linii od początku. Ta reprezentacja ma wiele zalet: Jedną z zalet jest to, że nie ma potrzeby dzielenia się na różne przypadki, takie jak równoległe do osi - $nierównoległe$ . Inną zaletą jest to, że te jednorodne współrzędne można interpretować jako wektory , co pozwala nam pomnożyć je przez macierze.

Każdą transformację Laguerre'a można przedstawić jako macierz 2x2 , której wpisy są liczbami podwójnymi. z ${\ Frac {pz + q} {rz + s}}}$ to ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix }p&q\\r&s\end{pmacierz}}}$ (ale zauważ, że każda nie-nilpotentna wielokrotność skalarna tej macierzy reprezentuje tę samą transformację Laguerre'a). Dodatkowo, o ile wyznacznik macierzy o podwójnych liczbach 2x2 nie jest nilpotentny , to reprezentuje transformację Laguerre'a.

$)$ że powyżej reprezentujemy jednorodny wektor jako wektor kolumnowy w oczywisty sposób, a nie

Punkty, zorientowane linie i zorientowane okręgi

Transformacje Laguerre'a nie działają na punkty. Dzieje się tak, ponieważ jeśli trzy zorientowane linie przechodzą przez ten sam punkt, ich obrazy w transformacji Laguerre'a nie muszą się spotykać w jednym punkcie.

Transformacje Laguerre'a można postrzegać jako działające zarówno na zorientowanych okręgach, jak i zorientowanych liniach. Zorientowany okrąg to zwykły okrąg z dołączoną do niego wartością binarną, która wynosi albo ${\ displaystyle 1}$ , albo ${\ displaystyle -1}$ . Jedynym wyjątkiem jest okrąg o promieniu zero, którego orientacja jest równa ${\ displaystyle 0}$ . Punkt definiuje się jako zorientowany okrąg o promieniu zero. Jeśli zorientowany okrąg ma orientację równą $zegara$ to mówi się, że okrąg jest „ przeciwny do ruchu wskazówek „ zorientowany; jeśli ma orientację równą, $”$ jest zorientowany „ zgodnie z ruchem wskazówek zegara . Promień zorientowanego okręgu jest definiowany jako promień leżącego poniżej niezorientowanego okręgu pomnożony przez $\ displaystyle r}$ orientacja.

Obraz zorientowanego koła w transformacji Laguerre'a jest kolejnym zorientowanym kołem. Jeśli dwie zorientowane figury - okręgi lub linie - są do siebie styczne, to ich obrazy w transformacji Laguerre'a również są styczne. Dwa zorientowane okręgi są zdefiniowane jako styczne, jeśli leżące u ich podstaw okręgi są styczne, a ich orientacje są równe w punkcie styku. Podobnie definiuje się styczność między liniami i okręgami. Transformacja Laguerre'a może odwzorować punkt na zorientowany okrąg, który nie jest już punktem.

Zorientowany okrąg nigdy nie może być odwzorowany na zorientowaną linię. Podobnie zorientowanej linii nigdy nie można odwzorować na zorientowany okrąg. Jest to przeciwieństwo geometrii Mobiusa , w której linie i okręgi mogą być mapowane na siebie, ale żadne z nich nie może być mapowane na punkty. Zarówno geometria Mobiusa, jak i geometria Laguerre'a są podgeometriami geometrii kuli Liego , w których punkty i zorientowane linie mogą być mapowane na siebie, ale styczność pozostaje zachowana.

Macierzowe reprezentacje zorientowanych okręgów (które zawierają punkty, ale nie linie) są dokładnie odwracalnymi $liczb$ - hermitowskich . $H = {\ rozpocząć {pmatrix} \ varepsilon a&b + c \ varepsilon \\ -b + c \ varepsilon$ za (gdzie wszystkie zmienne są rzeczywiste i ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ). Zbiór zorientowanych linii stycznych do zorientowanego okręgu jest określony przez ${\ Displaystyle \ {v \ in \ mathbb {DP} ^ {1} \ mid v ^ {*} Hv = 0 \}}$ gdzie oznacza rzutową linię nad liczbami podwójnymi $D}}$ $p. 1 {\$ . Stosując transformację Laguerre'a reprezentowaną przez ${\ Displaystyle M}$ do zorientowanego koła reprezentowanego przez ${\ Displaystyle H}$ daje zorientowany okrąg reprezentowany przez ${\ Displaystyle (M ^ {- 1}) ^ {*} HM ^ {-1}}$ . Promień zorientowanego koła jest równy połowie śladu . Orientacja jest wtedy znakiem śladu.

Profil

Two circles with opposite orientations undergoing axial dilatation

Ryc. 1: Dwa koła początkowo o przeciwnych orientacjach, które ulegają osiowemu rozszerzeniu

Zwróć uwagę, że animowane rysunki poniżej pokazują niektóre zorientowane linie, ale bez wizualnego wskazania orientacji linii (więc dwie linie, które różnią się tylko orientacją, są wyświetlane w ten sam sposób); zorientowane okręgi są pokazane jako zestaw zorientowanych stycznych, co daje określony efekt wizualny.

Poniższe informacje można znaleźć w Liczby zespolone w geometrii Isaaka Yagloma oraz artykuł Gutina zatytułowany Uogólnienia dekompozycji wartości osobliwej na macierze o podwójnych numerach .

Macierze unitarne

Odwzorowania postaci ${\ Displaystyle Z \ mapsto {\ Frac {pz-q} {{\ bar {q}} z + {\ bar {p}}}}}$ wyrazić sztywne ruchy ciała (czasami nazywane bezpośrednimi izometriami euklidesowymi ). Macierzowe reprezentacje tych przekształceń obejmują podalgebrę izomorficzną względem płaskich kwaternionów .

Odwzorowanie przedstawia odbicie wokół osi x. ${\ displaystyle z \ mapsto -z} .$

Transformacja wyraża odbicie wokół osi y. ${\ displaystyle z \ mapsto 1/z} .$

Zauważ, że jeśli jest macierzową reprezentacją dowolnej $displaystyle$ powyższych trzech przekształceń, ale znormalizowaną tak, aby mieć wyznacznik , to $U$ $U}$ spełnia ${\ Displaystyle UU ^ {*} = U ^ {*} U = I}$ gdzie ${\ Displaystyle U ^ {*}}$ oznacza ${\ Displaystyle {\ overline {U}} ^ {T }}$ . Będziemy je nazywać unitarnymi . Zauważ jednak, że są one jednolite w sensie liczb podwójnych, a nie liczb zespolonych. Macierze unitarne dokładnie wyrażają izometrie euklidesowe .

Macierze dylatacji osiowej

Dylatacja osiowa o $jednostki$ jest przekształceniem postaci ${z + (\ varepsilon t/2) }{(-\varepsilon t/2)z+1}}}$ . Dylatacja osiowa o $zwiększa$ promień wszystkich zorientowanych okręgów o ${\ displaystyle t}$ jednostek, zachowując ich centra. Jeśli okrąg ma orientację ujemną, wówczas jego promień jest uważany za ujemny, a zatem dla niektórych dodatnich wartości $okrąg$ się kurczy. Dylatacja osiowa jest przedstawiona na rycinie 1, na której dwa koła o przeciwnych orientacjach ulegają temu samemu rozszerzeniu osiowemu.

$z}$ $liniach$ dylatacja osiowa o $dowolną$ linię $na$ taką , że i $displaystyle$ są równoległe, a prostopadła odległość między i wynosi $}$ $z$ z $displaystyle z}$ . Linie, które są równoległe, ale mają przeciwne orientacje, poruszają się w przeciwnych kierunkach.

Rzeczywiste macierze diagonalne

}

{\

: Siatka przechodzących linii dla

displaystyle

się między

1}

a .

\

które początkowo różnią się

Displaystyle

orientacją transformację różnych

1}

i

{\ Displaystyle 10}

.

Transformacja $}$ wartości zachowuje punkt przecięcia linii z osią x, zmieniając jej kąt do osi x. z ↦ k z {\ $kz$ Zobacz rysunek 2, aby zaobserwować wpływ na siatkę linii (w tym oś x w środku) i rysunek 3, aby zaobserwować wpływ na dwa okręgi, które początkowo różnią się tylko orientacją (aby zobaczyć, że wynik jest wrażliwy na orientację).

Ogólny rozkład

$^$ to wszystko razem, ogólną transformację Laguerre'a w postaci macierzy można wyrazić jako gdzie $U$ S V $}$ $displaystyle S}$ $}$ jest macierzą albo w postaci ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \ koniec {pmatrix}}}$ lub ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & - b \ varepsilon \\ b \ varepsilon & a \ koniec {pmatrix}}}$ gdzie ${\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b}$ są liczbami rzeczywistymi. Macierze i $wyrażają$ izometrie . $_$ _ Macierz $przekształcenie$ postaci $albo$ rozszerzenie Podobieństwo do Dekompozycja wartości osobliwej powinna być jasna.

$jest$ : W przypadku, gdy $dylatacją$ osiową, współczynnik ustawić na macierz tożsamości. Wynika z faktu, że jeśli $jednostkowy$ i dylatacją osiową, to można zauważyć, że $S$ ${\ Displaystyle SV = {\ rozpocząć {przypadki} VS, & \ det (V) = + 1 \\ VS ^ {T}, & \ det (V) = -1 \ koniec {przypadków}}}$ , gdzie oznacza transpozycję $^ {T}}$ ${ \$ displaystyle . Więc ${\ Displaystyle USV ^ {*} = {\ rozpocząć {przypadki} (UV ^ {*}) S, & \ det (V) = + 1 \\ (UV ^ {*} )S^{T},&\det(V)=-1\end{przypadki}}}$ .

Inne systemy liczbowe i postulat równoległości

Liczby zespolone i geometria eliptyczna

Powstaje pytanie: co się stanie, jeśli rola powyższych liczb podwójnych zostanie zmieniona na liczby zespolone? W takim przypadku liczby zespolone reprezentują zorientowane linie na płaszczyźnie eliptycznej (płaszczyźnie, na której znajduje się geometria eliptyczna). Kontrastuje to z liczbami podwójnymi, które reprezentują zorientowane linie na płaszczyźnie euklidesowej. Płaszczyzna eliptyczna jest zasadniczo kulą (ale tam, gdzie punkty antypodalne ), a linie są zatem kołami wielkimi . Możemy wybrać dowolne koło wielkie jako równik . Orientowane koło wielkie, które przecina równik na długości geograficznej $s}$ $displaystyle$ i tworzy kąt równikiem w punkcie przecięcia, może być reprezentowany przez liczbę zespoloną ${\ Displaystyle \ tan (\ teta / 2) (\ cos (s) + i \ sin (s))}$ . W przypadku, gdy ${\ Displaystyle \ theta = \ pi}$ $displaystyle$ , ale zorientowana w przeciwnym kierunku niż wtedy ) zorientowana linia jest reprezentowana jako $\ infty}$ . Podobnie jak w przypadku liczb podwójnych , macierze unitarne pełnią funkcję izometrii płaszczyzny eliptycznej . Zbiór „eliptycznych transformacji Laguerre'a” (które są analogami transformacji Laguerre'a w tym ustawieniu) można rozłożyć za pomocą rozkładu na wartości osobliwe złożonych macierzy, w podobny sposób, jak rozkładaliśmy transformacje Euklidesa Laguerre'a, używając odpowiednika Dekompozycji na wartości osobliwe dla macierzy dwuliczbowych .

Liczby rozdzielno-zespolone i geometria hiperboliczna

Przykład sekwencji hiperbolicznych transformacji Laguerre'a, które odwzorowują okrąg na horocykl na hipercykl i zbiegają się w kierunku linii. Wykorzystuje to podzielone liczby zespolone.

Jeśli rola liczb podwójnych lub liczb zespolonych zostanie zmieniona na rozdzielone liczby zespolone , wówczas podobny formalizm można opracować do reprezentowania zorientowanych linii na płaszczyźnie hiperbolicznej zamiast na płaszczyznach euklidesowych lub eliptycznych: można zapisać podzieloną liczbę zespoloną w postaci ${\ Displaystyle (a, -b ^ {- 1})},$ ponieważ dana algebra jest izomorficzna z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb { R} }$ . (Zauważ jednak, że jako a *-algebra , w przeciwieństwie do zwykłej algebry , rozszczepione liczby zespolone nie są rozkładane w ten sposób). Terminy ${\ Displaystyle$ b $}$ w ${\ Displaystyle (a, - b ^ {- 1})}$ reprezentują punkty na granicy płaszczyzny hiperbolicznej; są to odpowiednio punkty początkowe i końcowe zorientowanej linii. Ponieważ granica płaszczyzny hiperbolicznej jest homeomorficzna z linią rzutową ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {1}}$ , potrzebujemy ${\ Displaystyle a}$ i ${\ Displaystyle b}$ należeć do linii rzutowej ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ { 1}}$ zamiast linii afinicznej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ . Rzeczywiście, sugeruje to, że ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R}) \ mathbb {P} ^ {1} \ cong \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {1} \ oplus \ mathbb {R} \ matematykabb {P} ^{1}}$ .

Analogiem macierzy unitarnych nad liczbami zespolonymi są izometrie płaszczyzny hiperbolicznej . Pokazuje to Yaglom. Ponadto zbiór liniowych przekształceń ułamkowych można rozłożyć w sposób przypominający rozkład na wartości osobliwe, ale który również ujednolica go z rozkładem Jordana .

Streszczenie

Mamy zatem zgodność między trzema planarnymi systemami liczbowymi (zespolonymi, podwójnymi i rozszczepionymi liczbami zespolonymi) a trzema geometriami nieeuklidesowymi . Systemem liczbowym odpowiadającym geometrii euklidesowej są liczby podwójne .

W wyższych wymiarach

euklidesowy

n-wymiarowa przestrzeń Laguerre'a jest izomorficzna z n+1 przestrzenią Minkowskiego . Aby powiązać punkt w przestrzeni Minkowskiego ${\ Displaystyle P = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}, r)}$ do zorientowanej hipersfery przeciąć stożek światła wyśrodkowany w punkcie $displaystyle t$ $0}$ hiperpłaszczyzna. Grupa przekształceń Laguerre'a jest wtedy izomorficzna z grupą Poincarégo ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n, 1} \ rtimes \ operatorname {O} (n, 1) }$ . Te przekształcenia są dokładnie tymi, które zachowują rodzaj kwadratu odległości między zorientowanymi okręgami, zwany iloczynem Darboux . Bezpośrednie transformacje Laguerre'a są zdefiniowane jako podgrupa ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n, 1} \ rtimes \ operatorname {O} ^ {+} (n, 1)}$ . W 2 wymiarach bezpośrednie transformacje Laguerre'a można przedstawić za pomocą podwójnych macierzy liczbowych 2x2. $podwójnych$ tworzące algebrę reprezentacje algebraiczne są możliwe w wyższych wymiarach.

Jeśli osadzimy przestrzeń Minkowskiego ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n, 1}}$ w przestrzeni rzutowej ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n + 1}}$ przy zachowaniu grupa przekształceń jest taka sama, to punkty w nieskończoności są zorientowanymi mieszkaniami. Nazywamy je „płaskimi”, ponieważ ich kształt jest płaski. W dwóch wymiarach są to zorientowane linie.

Nawiasem mówiąc, istnieją dwie nierównoważne definicje transformacji Laguerre'a: albo jako transformacja sfery Liego , która zachowuje zorientowane mieszkania, albo jako transformacja sfery Liego, która zachowuje iloczyn Darboux. W tym artykule używamy tej drugiej konwencji. Należy zauważyć, że nawet w dwóch wymiarach pierwsza grupa transformacji jest bardziej ogólna niż druga: jednorodność odwzorowuje linie zorientowane na linie zorientowane, ale generalnie nie zachowuje iloczynu Darboux. Można to wykazać za pomocą jednorodności wyśrodkowanej w ${\ Displaystyle (0,0)}$ przez ${\ displaystyle t}$ . Rozważmy teraz działanie tej transformacji na dwóch okręgach: jeden jest po prostu punktem $drugi$ jest okręgiem $wyśrodkowanym$ w $styl wyświetlania (0,0)}$ ${$ . Te dwa kręgi mają iloczyn Darboux równy ${\ displaystyle -1}$ . Ich obrazy pod jednorodnością mają iloczyn Darboux równy ${\ Displaystyle -t ^ {2}}$ . Daje to zatem transformację Laguerre'a tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle t ^ {2} = 1}$ .

Eliptyczny

Hiperboliczny

Interpretacja konformalna

W tej sekcji interpretujemy transformacje Laguerre'a inaczej niż w pozostałej części artykułu. Działając na współrzędnych linii, transformacje Laguerre'a nie są rozumiane jako zgodne w opisanym tutaj sensie. Jest to wyraźnie pokazane na rysunku 2.

Transformacje Laguerre'a zachowują kąty, gdy zostanie zidentyfikowany właściwy kąt dla płaszczyzny podwójnej liczby. Gdy promień y = mx , x ≥ 0 i dodatnia oś x są bokami kąta, nachylenie m jest wielkością tego kąta.

Ta liczba m odpowiada polu trójkąta prostokątnego o podstawie w przedziale [0, √2]. Linia {1 + a ε: a ∈ ℝ}, z mnożeniem liczby podwójnej, tworzy podgrupę jednostkowych liczb podwójnych, przy czym każdy element jest odwzorowaniem ścinania podczas działania na płaszczyźnie liczb podwójnych. Inne kąty w płaszczyźnie są generowane przez takie działanie, a ponieważ mapowanie ścinania zachowuje obszar, rozmiar tych kątów jest taki sam jak oryginalny.

Zauważ, że odwrócenie z do 1/ z pozostawia niezmienną wielkość kąta. Ponieważ ogólna transformacja Laguerre'a jest generowana przez translacje, dylatacje, ścinanie i inwersje, a wszystkie z nich pozostawiają niezmiennik kąta, ogólna transformacja Laguerre'a jest konformalna w sensie tych kątów.

Zobacz też

^ ^a ^b ^c ^d ^e Yaglom, Isaak Moiseevitch (1968). Liczby zespolone w geometrii . Prasa akademicka. Pierwotnie opublikowany jako Kompleksnye Chisla i Ikh Primenenie v Geometrii (po rosyjsku). Moskwa: Fizmatgiz. 1963
^ ^ab ^Bolt , Michael; Ferdynand, Tymoteusz; Kavlie, Landon (2009). „Najbardziej ogólne przekształcenia planarne, które odwzorowują parabole na parabole” . Zaangażuj: A Journal of Mathematics . 2 (1): 79–88. doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 .
^ Fillmore, Jay P.; Springer, Arthur (1995-03-01). „Nowe twierdzenia euklidesowe z wykorzystaniem przekształceń Laguerre'a - pewna geometria przestrzeni Minkowskiego (2 + 1)”. Dziennik geometrii . 52 (1): 74–90. doi : 10.1007/BF01406828 . ISSN 1420-8997 . S2CID 122511184 .
^ Barrett, David E.; Bolt, Michael (czerwiec 2010). „Długość łuku Laguerre'a z funkcji odległości” . Asian Journal of Mathematics . 14 (2): 213–234. doi : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN 1093-6106 .
^ ^ab ^Gutin , Ran (2021-03-23). „Uogólnienia rozkładu na wartości osobliwe na macierze o podwójnych numerach” . Algebra liniowa i wieloliniowa : 1–8. doi : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN 0308-1087 .
^ Gutin, Ran (17.05.2021). „Rozkłady macierzy na liczbach zespolonych z podziałem”. arXiv : 2105.08047 [ matematyka. RA ].

Linki zewnętrzne

„Okręgi zorientowane i relatywistyczna geometria 3D” Podstawowy film wprowadzający pojęcia z geometrii Laguerre'a. Film jest przedstawiony z perspektywy racjonalnej trygonometrii

[yaglom-1] Yaglom, Isaak Moiseevitch (1968). Liczby zespolone w geometrii . Prasa akademicka. Pierwotnie opublikowany jako Kompleksnye Chisla i Ikh Primenenie v Geometrii (po rosyjsku). Moskwa: Fizmatgiz. 1963

[BFK-2] Bolt , Michael; Ferdynand, Tymoteusz; Kavlie, Landon (2009). „Najbardziej ogólne przekształcenia planarne, które odwzorowują parabole na parabole” . Zaangażuj: A Journal of Mathematics . 2 (1): 79–88. doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 .

[3] Fillmore, Jay P.; Springer, Arthur (1995-03-01). „Nowe twierdzenia euklidesowe z wykorzystaniem przekształceń Laguerre'a - pewna geometria przestrzeni Minkowskiego (2 + 1)”. Dziennik geometrii . 52 (1): 74–90. doi : 10.1007/BF01406828 . ISSN 1420-8997 . S2CID 122511184 .

[4] Barrett, David E.; Bolt, Michael (czerwiec 2010). „Długość łuku Laguerre'a z funkcji odległości” . Asian Journal of Mathematics . 14 (2): 213–234. doi : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN 1093-6106 .

[:1-5] Gutin , Ran (2021-03-23). „Uogólnienia rozkładu na wartości osobliwe na macierze o podwójnych numerach” . Algebra liniowa i wieloliniowa : 1–8. doi : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN 0308-1087 .

[6] Gutin, Ran (17.05.2021). „Rozkłady macierzy na liczbach zespolonych z podziałem”. arXiv : 2105.08047 [ matematyka. RA ].