Twierdzenie Gruszki

W matematycznym przedmiocie teorii grup , twierdzenie Grushko lub twierdzenie Grushko-Neumanna jest twierdzeniem stwierdzającym, że ranga (czyli najmniejsza liczność zespołu prądotwórczego ) swobodnego iloczynu dwóch grup jest równa sumie szeregi dwóch wolnych czynników. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy uzyskane w artykule Gruszki z 1940 r., a następnie niezależnie w artykule Neumanna z 1943 r .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech A i B będą skończenie generowanymi grupami i niech A ∗ B będzie iloczynem swobodnym A i B . Następnie

ranga ( ZA ∗ B ) = ranga ( A ) + ranga ( B ).

Jest oczywiste, że rank( A ∗ B ) ≤ rank( A ) + rank( B ) ponieważ jeśli X jest skończonym zbiorem generującym A i Y jest skończonym zbiorem generującym B , to X ∪ Y jest zbiorem generującym dla A ∗ B i że | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. Odwrotna nierówność, ranga ( A ∗ B ) ≥ ranga ( A ) + ranga( B ), wymaga dowodu.

Grushko, ale nie Neumann, udowodnił dokładniejszą wersję twierdzenia Gruszki pod względem równoważności Nielsena . Stwierdza, że ​​jeśli M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) jest n -krotką elementów zbioru G = A ∗ B taką, że M generuje G , < g ₁ , g ₂ , ..., sol _n > = sol , wtedy M jest odpowiednikiem Nielsena w G do n -krotki formy

M' = ( za ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n - k} ) gdzie { za ₁ , ..., a _k }⊆ A jest zespołem prądotwórczym dla A i gdzie { b ₁ , ..., b _{n − k} }⊆ B jest zespołem prądotwórczym dla B . W szczególności rank( A ) ≤ k , rank( B ) ≤ n - k i ranga ( ZA ) + ranga ( b ) ≤ k + ( n - k ) = n . Jeśli przyjmiemy, M jest minimalną krotką generującą dla G , to znaczy z n = rank( G ), oznacza to, że rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ). Ponieważ przeciwna nierówność to rank( G ) ≤ rank( A ) + rank( B ), jest oczywiste, wynika z tego, że ranga( G ) = ranga ( A ) + ranga ( B ), zgodnie z wymaganiami.

Historia i uogólnienia

Po oryginalnych dowodach Gruszki (1940) i Neumanna (1943) pojawiło się wiele późniejszych alternatywnych dowodów, uproszczeń i uogólnień twierdzenia Gruszki. Zbliżona wersja oryginalnego dowodu Gruszki jest podana w książce Kurosh z 1955 roku .

Podobnie jak oryginalne dowody, dowód Lyndona (1965) opierał się na rozważaniach dotyczących funkcji długości, ale ze znacznymi uproszczeniami. Artykuł Stallingsa z 1965 r . Przedstawił znacznie uproszczony topologiczny dowód twierdzenia Gruszki.

Artykuł Zieschanga z 1970 r. Przedstawił wersję równoważności Nielsena twierdzenia Gruszki (podaną powyżej) i przedstawił kilka uogólnień twierdzenia Gruszki dla połączonych wolnych produktów . Scott (1974) dał kolejny topologiczny dowód twierdzenia Gruszki, zainspirowany metodami topologii 3-rozmaitościowej .

Artykuł Chiswella z 1976 r. Przedstawił stosunkowo prosty dowód twierdzenia Grushko, wzorowany na dowodzie Stallingsa z 1965 r., Który wykorzystywał techniki teorii Bassa-Serre'a . Argument ten bezpośrednio zainspirował maszynerię fałdowania dla działań grupowych na drzewach i wykresów grup oraz jeszcze prostszy dowód twierdzenia Grushko Dicksa (patrz na przykład ).

dostępności Dunwoody'ego dla grup skończenie generowanych i skończenie prezentowanych . Ponieważ rangi wolnych czynników są mniejsze niż rangi swobodnego iloczynu, z twierdzenia Gruszki wynika, że ​​proces iteracyjnego podziału skończenie generowanej grupy G jako iloczynu swobodnego musi kończyć się skończoną liczbą kroków (dokładniej w większość stopni rangi ( G ). Istnieje naturalne podobne pytanie dotyczące iteracyjnego podziału skończenie generowanych grup nad skończonymi podgrupami. Dunwoody udowodnił, że taki proces musi się zawsze kończyć, jeśli grupa G jest skończenie prezentowana, ale może trwać wiecznie, jeśli G jest skończenie generowany, ale nie skończenie prezentowany.

Algebraiczny dowód istotnego uogólnienia twierdzenia Gruszki przy użyciu maszynerii grupoid dał Higgins (1966). Twierdzenie Higginsa zaczyna się od grup G i B ze swobodnymi dekompozycjami G = ∗ _i G _i , B = ∗ _i B _i oraz f : G → B a morfizm taki, że f ( G _i ) = B _i dla wszystkich i . Niech H będzie podgrupą G taką, że f ( H ​​) = B . Wtedy H ma rozkład H = ∗ _i H _i taki, że f ( H _​​ja ) = B _ja dla wszystkich i . Pełne szczegóły dowodu i aplikacji można również znaleźć w .

Twierdzenie o rozkładzie Gruszki

Użyteczną konsekwencją pierwotnego twierdzenia Gruszki jest tak zwane twierdzenie Gruszki o dekompozycji. Twierdzi, że każdą nietrywialną , skończenie generowaną grupę G można rozłożyć na wolny produkt

sol = ZA ₁ ∗ ZA ₂ ∗...∗ ZA _r ∗ fa _s , gdzie s ≥ 0, r ≥ 0,

gdzie każda z grup A _i jest nietrywialna, swobodnie nierozkładalna (to znaczy nie może być rozłożona na wolny produkt) i nie jest nieskończenie cykliczna, oraz gdzie F _s jest grupą swobodną rzędu s ; ponadto dla danego G grupy A ₁ , ..., Ar _są unikalne aż do permutacji ich klas koniugacji w G (a w szczególności sekwencji izomorfizmów typów tych grup jest unikalny aż do permutacji), a liczby s i r są również unikalne.

Dokładniej, jeśli G = B ₁ ∗...∗ B _k ∗ F _t jest kolejnym takim rozkładem, to k = r , s = t , i istnieje permutacja σ∈ S _r taka, że ​​dla każdego i =1,.. ., r podgrupy A _i i B _{σ( i )} są sprzężone w G .

Istnienie powyższego rozkładu, zwanego rozkładem Gruszki G , jest bezpośrednim następstwem pierwotnego twierdzenia Gruszki, podczas gdy twierdzenie o jednoznaczności wymaga dodatkowych argumentów (patrz np.) .

Algorytmiczne obliczenie dekompozycji Gruszki dla określonych klas grup jest trudnym problemem, który przede wszystkim wymaga umiejętności określenia, czy dana grupa jest swobodnie dekomponowalna. Pozytywne wyniki są dostępne dla niektórych klas grup, takich jak bezskrętne grupy hiperboliczne słów , niektóre klasy grup względnie hiperbolicznych , podstawowe grupy skończonych grafów skończenie generowanych grup swobodnych i inne.

Twierdzenie o rozkładzie Grushko jest analogicznym teorią grup twierdzenia Knesera o rozkładzie liczb pierwszych dla 3-rozmaitości , które mówi, że zamknięta 3-rozmaitość może być jednoznacznie rozłożona jako spójna suma nieredukowalnych 3-rozmaitości.

Szkic dowodu z wykorzystaniem teorii Bassa-Serre'a

Poniżej znajduje się szkic dowodu twierdzenia Gruszki opartego na wykorzystaniu technik fałdowania dla grup działających na drzewach (pełne dowody z wykorzystaniem tego argumentu znajdują się w artykule).

Niech S ={ g ₁ ,...., g _n } będzie skończonym zbiorem generującym dla G = A ∗ B o rozmiarze | S |= n = ranga ( G ). Uświadom sobie G jako podstawową grupę grafu grup Y , który jest pojedynczą krawędzią bez pętli z grupami wierzchołków A i B oraz trywialną grupą krawędzi. Niech ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {Y}}}}$ będzie ₀₀ Drzewo obejmujące Bass-Serre dla Y . Niech F = F ( x ₁ ,...., x _n ) będzie grupą swobodną z dowolną bazą x ₁ ,...., x _n i niech φ : F → G będzie homomorfizmem takim, że φ ( x _i ) = sol _ja dla ja =1,..., n . Uświadom sobie F jako _{000000 0} podstawowa grupa grafu Z będąca klinem n okręgów odpowiadających elementom x ₁ ,...., x _n . Myślimy również o Z jako o grafie grup z leżącym u jego podstaw grafem Z oraz trywialnymi grupami wierzchołków i krawędzi. Wtedy uniwersalna okładka $Z$ pokrywające Bass-Serre dla pokrywają się . Rozważmy φ -ekwiwariantną mapę ${\ Displaystyle r_ {0}: {\ tylda {Z}} _ {0} \ do {\ tylda {\ mathbf {Y}}}}$ tak, że wysyła wierzchołki do wierzchołków i krawędzie do krawędzi -ścieżki. Ta mapa nie jest iniekcyjna, a ponieważ zarówno źródłem, jak i celem mapy są drzewa, ta mapa „składa” niektóre pary krawędzi w źródle. Wykres grup Z służy jako wstępne przybliżenie dla Y .

_{0 0} Zaczynamy teraz wykonywać sekwencję „składanych ruchów” na Z (i na jego drzewie pokrywającym Bassa-Serre'a), aby skonstruować ciąg grafów grup Z , Z ₁ , Z ₂ , ...., które tworzą coraz lepsze przybliżenia dla Y. _ Każdy z grafów grup Zj ma trywialne grupy krawędziowe i ma następującą dodatkową strukturę: dla każdej nietrywialnej grupy wierzchołków przypisany jest skończony zbiór generujący tej grupy wierzchołków _. Złożoność c ( Z _ _{0 j} ) Z _j jest sumą rozmiarów zespołów prądotwórczych jego grup wierzchołków i rzędu grupy swobodnej π ₁ ( Z _j ). Dla początkowego wykresu aproksymacji mamy c ( Z )= n .

Ruchy składania, które przenoszą Z _j do Z _{j +1} , mogą być jednego z dwóch typów:

• fałdy, które identyfikują dwie krawędzie podstawowego wykresu ze wspólnym wierzchołkiem początkowym, ale różnymi wierzchołkami końcowymi w jedną krawędź; gdy takie zagięcie jest wykonywane, zespoły generujące grup wierzchołków i krawędzie końcowe są „łączone” razem w zespół generujący nowej grupy wierzchołków; ranga grupy fundamentalnej wykresu bazowego nie zmienia się pod wpływem takiego ruchu.
• fałdy, które identyfikują dwie krawędzie, które miały już wspólne wierzchołki początkowe i wspólne wierzchołki końcowe, w jedną krawędź; taki ruch zmniejsza rangę grupy podstawowej grafu bazowego o 1, a element odpowiadający pętli na zwijanym grafie jest „dodawany” do zbioru generującego jednej z grup wierzchołków.

_, ale zmniejszają liczbę krawędzi w Zj . Dlatego proces składania musi zakończyć się skończoną liczbą kroków z grafem grup Z _k , których nie można już złożyć. Z podstawowych teorii Bassa-Serre'a wynika , że ​​Z _k musi być równe krawędzi grup Y i że Z _k jest wyposażone w skończone zespoły prądotwórcze dla grup wierzchołków A i B ₀ . Suma wielkości tych zespołów prądotwórczych jest złożonością Z _k , która jest zatem mniejsza lub równa c ( Z ) = n . Oznacza to, że suma rang grup wierzchołków A i B wynosi co najwyżej n , czyli rank( A )+rank( B )≤rank( G ), zgodnie z wymaganiami.

Szkic dowodu Stallinga

Dowód twierdzenia Gruszki przeprowadzony przez Stallingsa wynika z następującego lematu.

Lemat

Niech F będzie skończenie generowaną grupą swobodną z n generatorami. Niech G ₁ i G ₂ będą dwiema skończenie przedstawionymi grupami. Załóżmy, że istnieje suriekcyjny homomorfizm ${\ Displaystyle \ phi: F \ rightarrow G_ {1} \ ast G_ {2}}$ . Wtedy istnieją dwie podgrupy F ₁ i F ₂ z F z ${\ Displaystyle \ phi (F_ {1}) = G_ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ phi (F_ {2}) = G_ {2}}$ , tak że ${\ Displaystyle F = F_ {1} \ as F_ {2}.}$

Dowód: Dajemy dowód zakładając, że F nie ma generatora, który jest odwzorowany na tożsamość ${\ Displaystyle G_ {1} \ ast G_ {2}}$ , bo jeśli istnieją takie generatory, można je dodać do dowolnego z $F_ {1}}$ fa $\$ displaystyle

W dowodzie wykorzystano następujące ogólne wyniki.

1. Istnieje jedno- lub dwuwymiarowy zespół CW , Z z podstawową grupą F. Zgodnie z twierdzeniem Van Kampena klin n okręgów jest jedną z takich przestrzeni.

2. Istnieje dwa złożone gdzie ${\ Displaystyle X = X_ {1} \ kubek X_ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ {p \} = X_ {1}\cap X_{2}}$ jest punktem na jednej komórce X takim, że X ₁ i X ₂ są dwoma kompleksami z grupami podstawowymi G ₁ i G ₂ odpowiednio. Zauważ, że z twierdzenia Van Kampena implikuje to, że podstawową grupą X jest ${\ Displaystyle G_ {1} \ ast G_ {2}}$ .

3. Istnieje mapa taka, że ​​indukowana mapa na grupach podstawowych jest taka sama jak $fa$$Displaystyle f _ {\ ast}}$$phi }$

Dla wygody oznaczmy ${\ Displaystyle f ^ {-1} (X_ {1}) =: Z_ {1}}$ i ${\ displaystyle f ^ {- 1} (X_ {2}) =: Z_ {2}}$ . Ponieważ żaden generator F nie odwzorowuje tożsamości, zbiór ${\ Displaystyle Z_ {1} \ cap Z_ {2}}$$z$ bo jeśli tak, będą one odpowiadać okręgom Z , które odwzorowują się na kolei odpowiadają generatorom F , które przechodzą do tożsamości. $_$ składniki _ W przypadku, gdy ${\ Displaystyle Z_ {1} \ cap Z_ {2}}$ ma tylko jeden składnik, zgodnie z twierdzeniem Van Kampena, skończyliśmy, tak jak w tym przypadku: ${\ Displaystyle F = \ Pi _ {1} (Z_ {1}) \ ast \ Pi _ {1} (Z_ {2})}$ .

Ogólny dowód następuje poprzez zredukowanie Z do przestrzeni homotopicznie równoważnej mu, ale z mniejszą liczbą składników w $składowych$ przez ${\ Displaystyle Z_ {1} \ czapka Z_ {2}}$ .

Taka redukcja Z odbywa się poprzez mocowanie krążków wzdłuż wiązań.

Nazywamy mapę wiążącą więzią , jeśli spełnia ona następujące właściwości ${\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow Z}$

1. Jest monochromatyczny, tj. ${\ Displaystyle \ gamma ([0,1]) \ subseteq Z_ {1}}$ lub ${\ Displaystyle \ gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}$

$\cap Z_{2}}$ Jest to remis , $tj.$$różnych$ w składnikach $Z_$ .

$_$ Jest zerowa , _ _ _

Załóżmy, że taka wiążąca więź istnieje. Niech $krawatem$ .

sol ${\ Displaystyle g: [0,1] \ rightarrow D ^ {2}}$ przez ${\ Displaystyle g (t) = e ^ {to}}$ . Ta mapa jest homeomorfizmem na swój obraz. Zdefiniuj przestrzeń jako ${\ displaystyle Z'}$

${\ Displaystyle Z' = Z \ coprod \! D ^ {2} / \! \ sim}$${\ Displaystyle x \! \! \ sim y {\ tekst {iff}} {\ rozpocząć {przypadki} x = y, {\ mbox {lub}} \\x=\gamma (t){\text{ i }}y=g(t){\text{ dla pewnego }}t\in [0,1]{\mbox{ lub }}\\x=g (t){\text{ i }}y=\gamma (t){\text{ dla pewnego }}t\w [0,1]\end{przypadki}}}$ :

Zauważ, że odkształcenie przestrzeni Z ' cofa się do Z Najpierw rozszerzamy f do funkcji ${\ Displaystyle f'': Z \ coprod \ częściowe D ^ {2} / \! \ sim}$ Jak

${\ Displaystyle f'' (x) = {\ rozpocząć {przypadki} f (x), \ x \ w Z \\ p {\ tekst {inaczej.}} \ koniec {przypadków}}}$

Ponieważ jest $homotopiczny$ , dalej $się$ do wnętrza dysku, a zatem do $Z'$ . Niech ${\ Displaystyle Z_ {i} '= f' ^ {- 1} (X_ {i})}$ ja = 1,2 . jako ${\ Displaystyle \ gamma (0)}$ i ${\ Displaystyle \ gamma (1)}$ leżały w różnych składnikach ${\ Displaystyle Z_ {1} \ cap Z_ {2}}$ , $Z$ ma o jeden składnik mniej niż ${2}}$ .

Budowa wiązania

Wiązanie składa się z dwóch etapów.

Krok 1: Konstruowanie zerowego remisu :

Rozważ mapę ${\ Displaystyle \ gamma ': [0,1] \ rightarrow Z}$ z ${\ Displaystyle \ gamma '(0)}$ i ${ \ displaystyle \ gamma '(1)}$ w różnych składnikach ${\ Displaystyle Z_ {1} \ cap Z_ {2}}$ . ponieważ fa $\ Displaystyle f_ {\ ast}}$ jest suriekcją, wychodzi z pętli $opartej$$\!f(\lambda )}$$' ($$Displaystyle$ takiej, że i są homotopicznie równoważne w X . Jeśli zdefiniujemy krzywą jako ${\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow Z}$${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ gamma '\ ast \ lambda (t)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle t \ w [0,1]}$ , a następnie ${\ Displaystyle \! \ gamma}$ to remis zerowy.

Krok 2: Tworzenie monochromatycznego remisu zerowego :

γ ${\ Displaystyle \! \ gamma}$ można zapisać jako $}$$ast \ gamma _ {2} \ ast \ cdots \ ast \ gamma _$$\ Displaystyle Z_ {2}}$$m$ gdzie każdy w lub ${$ taką, że jeśli ${ \displaystyle \gamma _{i}}$ jest w ${\ Displaystyle Z_ {1}}$$i$ to w ${\ Displaystyle Z_ {2}$ odwrotnie $Oznacza$ to również że p w X . Więc,

${\ Displaystyle [e] = [f (\ gamma)] = [f (\ gamma _ { 1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}$

Stąd ${\ Displaystyle [f (\ gamma _ {j})] = [e]}$ dla pewnego j . Jeśli to $.$ , to mamy remis monochromatyczny, zerowy Jeśli nie jest remisem, to punkty końcowe ${\ Displaystyle \! \ gamma _ {j}}$ znajdują się w tej samej składowej ${\ Displaystyle Z_ {1} \ czapka Z_ {2}}$${\ Displaystyle \! \ gamma _ {j}}$ . W $Z_ {1} \ cap Z_ {2}}$ przypadku zastępujemy ścieżką w ${ \$ , powiedzmy ${\ styl wyświetlania \!\gamma _{j}'}$ . Tę ścieżkę można dołączyć do i otrzymamy nowy remis zerowy ${\ Displaystyle \! \ gamma _ {j-1}}$

${\ Displaystyle \ gamma '' = \ gamma _ {1} \ ast \ cdots \ ast \ gamma _ {j-1}' \ast \ gamma _ {j + 1} \ cdots \ gamma _ {m}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \! \ gamma _ {j-1} '= \gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}$ .

Zatem przez indukcję względem m dowodzimy istnienia wiążącej więzi.

Dowód twierdzenia Gruszki

Załóżmy, że $\ Displaystyle \ {g_ {1}, g_ {2},$ generowany przez $2$ . Niech będzie wolną grupą z -generatorami, a mianowicie $\$$displaystyle F}$${\ Displaystyle \ {f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n} \}}$ . $)$ homomorfizm podany przez $}$ { i} ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ .

Zgodnie z lematem istnieją wolne grupy i $\$$displaystyle F_ {2}}$ z $2}}$$\ displaystyle F = F_ {1} \ as F_$ takie, że ${\ Displaystyle h (F_ {1}) = A}$ i ${\ Displaystyle h (F_ {2}) = B}$ . Dlatego ${\ Displaystyle {\ tekst {Ranga}} (A) \ leq {\ tekst {Ranga}} (F_ {1})}$ i ${\ displaystyle {\text{Ranga}}(B)\leq {\text{Ranga}}(F_{2})}$ . Dlatego ${\ Displaystyle {\ tekst {Ranga}} (A) + {\ tekst {Ranga}} (B) \ leq {\ text {Ranga}} (F_ {1}) + {\ text {Ranga}} (F_ { 2})={\text{Ranga }}(F)={\text{Ranga }}(A\ast B).}$

Zobacz też

• Teoria Bassa-Serre'a
• Zestaw generujący grupę