Twierdzenie o łagodności

W matematyce twierdzenie o oswojeniu mówi, że każda kompletna hiperboliczna 3-rozmaitość z skończenie generowaną grupą podstawową jest topologicznie oswojona , innymi słowy homeomorficzna do wnętrza zwartej 3 -rozmaitości.

Twierdzenie o łagodności zostało wymyślone przez Mardena (1974) . Udowodnili to Agol (2004) oraz niezależnie Danny Calegari i David Gabai . Jest to jedna z podstawowych właściwości geometrycznie nieskończonych hiperbolicznych 3-rozmaitości, wraz z twierdzeniem o gęstości dla grup Kleinowskich i końcowym twierdzeniem o laminowaniu . Implikuje również hipotezę miary Ahlforsa .

Historia

Topologiczna łagodność może być postrzegana jako właściwość końców rozmaitości , a mianowicie posiadanie lokalnej struktury produktowej. Analogiczne stwierdzenie jest dobrze znane w dwóch wymiarach, czyli dla powierzchni . Jednak, jak pokazuje przykład rogatej kuli Aleksandra , wśród 3-rozmaitości występują dzikie osadzenia, więc ta właściwość nie jest automatyczna.

Hipoteza została podniesiona w formie pytania przez Alberta Mardena , który udowodnił, że każda geometrycznie skończona hiperboliczna 3-rozmaitość jest topologicznie oswojona. Hipoteza ta była również nazywana hipotezą Mardena lub hipotezą oswojonych końców .

Zanim przypuszczenie zostało rozstrzygnięte, następował stały postęp w zrozumieniu oswojenia. Częściowe wyniki uzyskali Thurston , Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky, Ohshika. ^{[ potrzebne źródło ]} Ważny warunek wystarczający dla ujarzmienia w zakresie rozszczepienia grupy podstawowej uzyskał Bonahon . ^{[ potrzebne źródło ]}

Przypuszczenie zostało udowodnione w 2004 roku przez Iana Agola i niezależnie przez Danny'ego Calegari i Davida Gabai. Dowód Agola opiera się na wykorzystaniu rozmaitości o zaciśniętej ujemnej krzywiźnie i na sztuczce Canary'ego polegającej na „rozbijaniu dysku”, która pozwala zastąpić koniec ściśliwy końcem nieściśliwym, dla którego hipoteza została już udowodniona. Dowód Calegari-Gabai koncentruje się na istnieniu pewnych zamkniętych, nie dodatnio zakrzywionych powierzchni, które nazywają „skurczonymi”.

Zobacz też

Agol, Ian (2004), Poskromienie hiperbolicznych 3-rozmaitości , arXiv : math.GT/0405568 .
Calegari, Danny ; Gabai, David (2006), „Zawijanie i oswajanie hiperbolicznych 3-rozmaitości”, Journal of the American Mathematical Society , 19 (2): 385–446, arXiv : math / 0407161 , doi : 10.1090 / S0894-0347-05 -00513-8 , MR 2188131 .
Gabai, David (2009), "Geometria hiperboliczna i topologia 3-rozmaitościowa" , w: Mrówka, Tomasz S .; Ozsváth, Peter S. (red.), Topologia niskowymiarowa , IAS / Park City Math. Ser., tom. 15, Providence, RI: American Mathematical Society, s. 73–103, MR 2503493
Mackenzie, Dana (2004), „Oswajanie hiperbolicznej dżungli przez przycinanie jej niesfornych krawędzi”, Science , 306 (5705): 2182–2183, doi : 10.1126/science.306.5705.2182 , PMID 15618501 .
Marden, Albert (1974), „Geometria skończenie generowanych grup kleinowskich”, Annals of Mathematics , Second Series, 99 : 383–462, doi : 10.2307/1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 0349992 , Zbl 0282.30 014
Marden, Albert (2007), Outer Circles: Wprowadzenie do hiperbolicznych 3-rozmaitości , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7 , MR 2355387 .