Własność Dunford-Pettis

W analizie funkcjonalnej właściwość Dunforda – Pettisa , nazwana na cześć Nelsona Dunforda i BJ Pettisa , jest własnością przestrzeni Banacha stwierdzającą, że wszystkie słabo zwarte operatory z tej przestrzeni do innej przestrzeni Banacha są całkowicie ciągłe. Wiele standardowych przestrzeni Banacha ma tę właściwość, w szczególności przestrzeń C ( K ) funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej i przestrzeń L ¹ ( μ ) funkcji całkowalnych Lebesgue'a na przestrzeni miary . Alexander Grothendieck wprowadził tę koncepcję we wczesnych latach pięćdziesiątych ( Grothendieck 1953 ), po pracach Dunforda i Pettisa, którzy opracowali wcześniejsze wyniki Shizuo Kakutaniego , Kōsaku Yosidy i kilku innych. Ważne wyniki uzyskał ostatnio Jean Bourgain . Niemniej jednak własność Dunforda-Pettisa nie jest w pełni zrozumiała.

Definicja

Przestrzeń Banacha X ma właściwość Dunforda – Pettisa , jeśli każdy ciągły operator słabo zwarty T : X → Y z X do innej przestrzeni Banacha Y przekształca zbiory słabo zwarte w X w zbiory normatywno-zwarte w Y (takie operatory nazywane są całkowicie ciągłymi ). Ważną równoważną definicją jest to, że dla dowolnych słabo zbieżnych ciągów ( x _n ) X i ( f _n ) przestrzeni dualnej X ^∗ , zbiegających się (słabo) do x i f , ciąg f _n ( x _n ) zbiega się do f ( x) .

kontrprzykłady

• _Druga definicja może początkowo wydawać się sprzeczna z intuicją, ale rozważmy ortonormalną bazę en nieskończenie wymiarowej, rozdzielnej przestrzeni Hilberta H . Wtedy mi _n → 0 słabo, ale dla wszystkich n ,

${\ Displaystyle \ langle e_ {n}, e_ {n} \ rangle = 1.}$

Tak więc rozdzielnych nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta nie można mają własność Dunforda-Pettisa.

• Rozważmy jako inny przykład przestrzeń L ^p (−π,π) gdzie 1< p <∞. Sekwencje x _n = e ^inx w L ^p i f _n = e ^inx w L ^q = ( L ^p )* oba zbiegają się słabo do zera. Ale

${\ Displaystyle \ langle f_ {n}, x_ {n} \ rangle = \ int \ ograniczenia _ {- \ pi} ^ {\ pi} 1 \, {\ rm {d}} x = 2 \ pi.}$

• Więcej generalnie żadna nieskończenie wymiarowa refleksyjna przestrzeń Banacha nie może mieć właściwości Dunforda – Pettisa. W szczególności nieskończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta i bardziej ogólnie przestrzenie Lp z 1 < p < ∞ nie posiadają tej właściwości.

Przykłady

• Jeśli X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa , to przestrzeń Banacha C( X ) funkcji ciągłych o jednolitej normie ma własność Dunforda – Pettisa.

•   Bourgain, Jean (1981), „O posiadłości Dunford – Pettis”, Proceedings of the American Mathematical Society , 81 (2): 265–272, doi : 10.2307/2044207 , JSTOR 2044207
• Grothendieck, Alexander (1953), „Sur les apps linéaires faiblement compactes d'espaces du type C (K)”, Canadian Journal of Mathematics , 5 : 129–173, doi : 10.4153/CJM-1953-017-4
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], "Dunford-Pettis property" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Lin, Pei-Kee (2004), Przestrzenie funkcyjne Köthe-Bochnera , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3521-1 , OCLC 226084233
•   Randrianantoanina, Narcisse (1997), „Kilka uwag na temat własności Dunford-Pettis” (PDF) , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 27 (4): 1199–1213, doi : 10.1216 / rmjm / 1181071869 , S2CID 15539667