nierówność CHSH

„CHSH” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z poleceniem systemu Unix, zobacz chsh .

W fizyce nierówność CHSH może być wykorzystana w dowodzie twierdzenia Bella , które mówi, że pewne konsekwencje splątania w mechanice kwantowej nie mogą być odtworzone przez teorie lokalnych zmiennych ukrytych . Eksperymentalna weryfikacja łamania nierówności jest postrzegana jako potwierdzenie , że przyrody nie da się opisać takimi teoriami. CHSH oznacza Johna Clausera , Michaela Horne'a , Abnera Shimony'ego i Richarda Holta, którzy opisali to w często cytowanej pracy opublikowanej w 1969 roku. Wyprowadzili oni nierówność CHSH, która, podobnie jak oryginalna nierówność Johna Stewarta Bella , jest ograniczeniem na statystycznym występowaniu „zbiegów okoliczności” w teście Bella , który jest koniecznie prawdziwy, jeśli istnieją ukryte lokalne zmienne ukryte, założenie to jest czasami nazywane lokalnym realizmem . W praktyce nierówność jest rutynowo łamana przez współczesne eksperymenty mechaniki kwantowej.

Oświadczenie

Zwykła postać nierówności CHSH to

$${\ Displaystyle | S | \ równoważnik 2,}$$

 

 

 

 

()

Gdzie

$${\ Displaystyle S = E (a, b) -E \ lewo (a, b' \ prawo) + E \ lewo (a', b \ prawo) + E \ lewo (a', b' \ prawo).}$$

 

 

 

 

()

a i a ′ to ustawienia detektora po stronie A, b i b ′ po stronie B, przy czym cztery kombinacje są testowane w oddzielnych podeksperymentach. Terminy E ( a , b ) itd. to korelacje kwantowe par cząstek, gdzie korelacja kwantowa jest zdefiniowana jako oczekiwana wartość iloczynu „wyników” eksperymentu, tj. średnia statystyczna A ( a )· B ( b ), gdzie A i B są oddzielnymi wynikami, stosując kodowanie +1 dla kanału „+” i −1 dla kanału „−”. Wyprowadzenie Clausera i in. z 1969 r. Było zorientowane na użycie detektorów „dwukanałowych” i rzeczywiście jest to dla nich powszechnie używane, ale zgodnie z ich metodą jedynymi możliwymi wynikami były +1 i -1. Aby dostosować się do rzeczywistych sytuacji, co w tamtym czasie oznaczało użycie światła spolaryzowanego i jednokanałowych polaryzatorów, musieli interpretować „-” jako oznaczające „brak detekcji w kanale „+”, czyli albo „-” lub nic. W oryginalnym artykule nie dyskutowali, w jaki sposób nierówność dwukanałowa mogłaby zostać zastosowana w rzeczywistych eksperymentach z prawdziwymi niedoskonałymi detektorami, chociaż później udowodniono, że sama nierówność jest równie ważna. Wystąpienie wyników zerowych oznacza jednak, że nie jest już tak oczywiste, w jaki sposób wartości E mają być szacowane na podstawie danych eksperymentalnych.

Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej przewiduje maksymalną wartość S 2 √ 2 ( granica Tsirelsona ), która jest większa niż 2, a zatem łamania CHSH są przewidywane przez teorię mechaniki kwantowej.

Eksperymenty

Wiele testów Bella przeprowadzonych po drugim eksperymencie Alaina Aspecta w 1982 roku wykorzystywało nierówność CHSH, szacując warunki za pomocą (3) i zakładając uczciwe pobieranie próbek. Zgłoszono kilka dramatycznych naruszeń nierówności.

Schemat „dwukanałowego” testu Bella Źródło S wytwarza pary fotonów wysyłanych w przeciwnych kierunkach. Każdy foton napotyka dwukanałowy polaryzator, którego orientację może ustawić eksperymentator. Pojawiające się sygnały z każdego kanału są wykrywane, a koincydencje liczone przez monitor koincydencji CM.

W praktyce większość rzeczywistych eksperymentów wykorzystywała światło, a nie elektrony, które pierwotnie miał na myśli Bell. W najbardziej znanych eksperymentach interesującą właściwością jest kierunek polaryzacji, chociaż można zastosować inne właściwości. Diagram przedstawia typowy eksperyment optyczny. Rejestrowane są koincydencje (jednoczesne wykrycia), a wyniki są kategoryzowane jako „++”, „+−”, „−+” lub „−−” i kumulowane są odpowiednie zliczenia.

$Przeprowadzane$ odpowiadające czterem terminom testowej S (powyżej) Ustawienia a = 0° , a ′ = 45° , b = 22,5° i b ′ = 67,5° są zazwyczaj wybierane w praktyce — „kąty testowe dzwonka” — to te, dla których formuła mechaniki kwantowej daje największą naruszenie nierówności.

Dla każdej wybranej wartości a i b liczby zbiegów okoliczności w każdej kategorii ${\ Displaystyle \ lewo \ {N_ {++}, N_ {-- },N_{+-},N_{-+}\right\}}$ są rejestrowane. Eksperymentalne oszacowanie dla ${\ Displaystyle E (a, b)}$ jest następnie obliczane jako: mi ( za , b ) {\ Displaystyle E (a, b)}

$${\ Displaystyle E = {\ Frac {N_ {++} -N_ {+ -}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}}$$

 

 

 

 

()

oszacowaniu wszystkich E można znaleźć oszacowanie eksperymentalne S (Równanie 2 ). Jeśli jest liczbowo większa niż 2, naruszyła nierówność CHSH i deklaruje się, że eksperyment potwierdził przewidywania mechaniki kwantowej i wykluczył wszystkie teorie lokalnych zmiennych ukrytych.

Artykuł CHSH wymienia wiele warunków wstępnych (lub „rozsądnych i / lub przypuszczalnych założeń”), aby wyprowadzić uproszczone twierdzenie i wzór. Na przykład, aby metoda była poprawna, należy założyć, że wykryte pary są rzetelną próbką emitowanych. W rzeczywistych eksperymentach detektory nigdy nie są w 100% wydajne, więc wykrywana jest tylko próbka emitowanych par. Subtelnym, powiązanym wymogiem jest to, aby ukryte zmienne nie wpływały ani nie określały prawdopodobieństwa wykrycia w sposób, który prowadziłby do różnych próbek w każdej części eksperymentu.

Różne laboratoria zostały splątane i naruszyły nierówność CHSH za pomocą par fotonów , par jonów berylu , par jonów iterbu , par atomów rubidu , całych par chmur rubid-atom, wolnych miejsc azotu w diamentach i kubitów fazy Josephsona .

Pochodzenie

Oryginalne wyprowadzenie z 1969 r. nie zostanie tutaj podane, ponieważ nie jest łatwe do naśladowania i obejmuje założenie, że wszystkie wyniki wynoszą +1 lub -1, nigdy zero. Wyprowadzenie Bella z 1971 r. Jest bardziej ogólne. Skutecznie przyjmuje „obiektywną teorię lokalną”, używaną później przez Clausera i Horne'a. Zakłada się, że wszelkie ukryte zmienne związane z samymi detektorami są niezależne po obu stronach i można je od początku uśrednić. Inne interesujące wyprowadzenie podano w artykule Clausera i Horne'a z 1974 r., W których wychodzą od nierówności CH74.

Z obu późniejszych wyprowadzeń wynikałoby, że jedynymi założeniami naprawdę potrzebnymi dla samej nierówności (w przeciwieństwie do metody estymacji statystyki testowej) są takie, że rozkład możliwych stanów źródła pozostaje stały, a detektory na dwóch strony działają niezależnie.

Wyprowadzenie Bella z 1971 r

Poniższy tekst oparty jest na stronie 37 książki Bell's Speakable and Unspeakable , przy czym główna zmiana polega na użyciu symbolu „ E ” zamiast „ P ” dla oczekiwanej wartości korelacji kwantowej. Pozwala to uniknąć sugestii, że korelacja kwantowa sama w sobie jest prawdopodobieństwem.

Zaczynamy od standardowego założenia o niezależności obu stron, pozwalającego na uzyskanie łącznych prawdopodobieństw par wyników poprzez pomnożenie oddzielnych prawdopodobieństw dla dowolnej wybranej wartości „ukrytej zmiennej” λ. Zakłada się, że λ pochodzi ze stałego rozkładu możliwych stanów źródła, przy czym prawdopodobieństwo, że źródło znajduje się w stanie λ dla dowolnej konkretnej próby, jest określone przez funkcję gęstości ρ(λ), której całka po całkowitym ukryciu przestrzeń zmienna to 1. Zakładamy zatem, że możemy napisać:

$${\ Displaystyle E (a, b) = \ int {\ podkreślenie {A}} (a, \lambda ){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)\rho (\lambda)d\lambda}$$

gdzie A i B to wyniki. Ponieważ możliwe wartości A i B to −1, 0 i +1, wynika z tego, że:

$${\ Displaystyle \ lewo | {\ podkreślenie {A}} \ prawo | \ równoważnik 1 \ quad \ lewo | {\ podkreślenie {B}} \ prawo | \ równoważnik 1}$$

 

 

 

 

()

Wtedy, jeśli a , a ′, b i b ′ są alternatywnymi ustawieniami detektorów,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i E (a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\podkreślenie {A}}(a,\lambda ){\podkreślenie {B}}(b ,\lambda )-{\podkreślenie {A}}(a,\lambda){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\ ={}&\int \left[{\podkreślenie {A}}(a,\lambda ){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)-{\podkreślenie {A}}(a,\lambda){ \underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda){\podkreślenie {B}}(b,\lambda){\podkreślenie {A }}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\podkreślenie {A}}(a,\lambda){\podkreślenie { B}}(b,\lambda ){\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\podkreślenie {A}}(a,\lambda){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)\left[1\pm {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\ podkreślenie {A}}(a,\lambda ){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{wyrównane}}}$$

Biorąc wartości bezwzględne obu stron i stosując nierówność trójkąta po prawej stronie, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ lewo | E (a, b) -E \ lewo (a, b' \ prawo) \ prawo | \ równoważnik \ lewo | \ int {\ podkreślenie {A}} (a, \ lambda) {\ podkreślenie {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \ right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\podkreślenie {A}}(a,\lambda ){\podkreślenie {B}}\left(b',\ lambda \right)\left[1\pm {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda) d\lambda \prawo|}$

Korzystamy z faktu, że ${\ Displaystyle \ lewo [1 \ pm {\ podkreślenie {A}} \ lewo (a' ,\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$ i ${\ Displaystyle \ lewo [1 \ pm {\ podkreślenie {A}} \ lewo (a ', \ lambda \ prawo) {\ podkreślenie {B}} (b, \ lambda) \ prawo ]\rho (\lambda )}$ są nieujemne, aby przepisać prawą stronę tego jako

$${\ Displaystyle \ int \ lewo | {\ podkreślenie {A}} (a, \ lambda) {\ podkreślenie {B}} (b, \ lambda) \ prawo | \ lewo | \ lewo [1 \ pm {\ podkreślenie { A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\podkreślenie {A}}(a,\lambda ){\podkreślenie {B}}(b',\lambda)\right|\left|\left[1\pm {\podkreślenie {A}}\ left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)\right]\rho (\lambda)d\lambda \right|}$$

Przez ( 4 ), to musi być mniejsze lub równe

$${\ Displaystyle \ int \ lewo [1 \ pm {\ podkreślenie {A}} \ lewo (a ', \ lambda \ prawo) {\ podkreślenie {B}} \ lewo (b', \ lambda \ prawo )\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}(b, \lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$

co, wykorzystując fakt, że całka ρ ( λ ) wynosi 1, jest równe

$${\ Displaystyle 2 \ pm \ lewo [\ int {\ podkreślenie {A}} \ lewo (a '\ lambda \ prawo) {\ podkreślenie {B}} \ lewo (b', \ lambda \ prawo) \ rho ( \lambda )d\lambda +\int {\podkreślenie {A}}\left(a',\lambda \right){\podkreślenie {B}}(b,\lambda)\rho (\lambda)d\lambda \ Prawidłowy]}$$

co jest równe ${\ Displaystyle 2 \ pm \ lewo [E \ lewo (a ', b' \ prawo) + E \ lewo ( a',b\prawo)\prawo]}$ .

Łącząc to z lewą stroną, mamy:

$${\ Displaystyle \ lewo | E (a, b) -E \ lewo (a, b' \ prawo) \ prawo | \; \leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$

${\ Displaystyle 2 + \ lewo [E \ lewo (a '$ mi i ${\ Displaystyle 2- \ lewo [ E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ . To jest:

$${\ Displaystyle \ lewo | E (a, b) -E \ lewo (a, b' \ prawo) \ prawo | \; \ równoważnik \; 2- \ lewo | E \ lewo (a', b' \ prawo) +E\lewo(a',b\prawo)\prawo|}$$

z którego uzyskujemy

$${\ Displaystyle 2 \; \ geq \; \ lewo | E (a, b) -E \ lewo (a, b' \ prawo) \ prawo | + \ lewo | E \ lewo (a', b' \ prawo) +E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a', b'\prawo)+E\lewo(a',b\prawo)\prawo|}$$

(ponownie przez nierówność trójkąta ), czyli nierówność CHSH.

Wyprowadzenie z nierówności Clausera i Horne'a z 1974 r

W swoim artykule z 1974 roku Clauser i Horne pokazują, że nierówność CHSH można wyprowadzić z nierówności CH74. Jak nam mówią, w eksperymencie dwukanałowym test jednokanałowy CH74 nadal ma zastosowanie i dostarcza czterech zestawów nierówności rządzących prawdopodobieństwem p zbiegów okoliczności.

Opierając się na niejednorodnej wersji nierówności, możemy napisać:

$${\ Displaystyle -1 \; \ równoważnik \; p_ {jk} (a, b) -p_ {jk} (a, b') + p_ {jk} (a', b) +p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\równoważnik \;0}$$

gdzie j i k oznaczają „+” lub „-”, wskazując, które detektory są brane pod uwagę.

Aby otrzymać statystykę testową CHSH S (), wystarczy pomnożyć nierówności, dla których j jest różne od k , przez −1 i dodać je do nierówności, dla których j i k są takie same.

Optymalne naruszenie przez ogólny stan kwantowy

W praktyce eksperymentalnej dwie cząstki nie są idealną parą EPR . Istnieje warunek konieczny i wystarczający, aby dwukubitowa $macierz$ gęstości naruszała CHSH wyrażoną przez maksymalny osiągalny wielomian S _max określony w równaniu. 2 . Jest to ważne w dystrybucji klucza kwantowego opartej na splątaniu , gdzie szybkość tajnego klucza zależy od stopnia korelacji pomiarów.

Wprowadźmy rzeczywistą macierz 3 × 3 z elementami $jot$$operatorname$ , gdzie ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2 },\sigma _{3}}$ to macierze Pauliego . Następnie znajdujemy system własny rzeczywistej macierzy symetrycznej ${\ Displaystyle U _ {\ rho} = T _ {\ rho} ^ {\ tekst {T}} T_ {\ rho}$ }

$${\ Displaystyle U _ {\ rho} {\ boldsymbol {e}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ boldsymbol {e}} _ {i}, \ quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,}$$

gdzie indeksy są posortowane według ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ geq \ lambda _ {2} \ geq \ lambda _ {3}}$ . Następnie maksymalny wielomian CHSH jest określony przez dwie największe wartości własne,

$${\ Displaystyle S _ {\ text {max}} (\ rho) = 2 {\ sqrt {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}.}$$

Optymalne podstawy pomiarowe

$konfiguracja$ podstaw pomiarowych a, a', b, b' dla danej , która daje S _max z co najmniej jednym wolnym parametrem

Pomiar rzutowy, który daje +1 lub -1 dla dwóch stanów ortogonalnych $|$${\ Displaystyle \ operatorname {A} =|\ alfa \ rangle \ langle \ alfa |-|\ alfa ^ {\ sprawca} \ rangle \ langle \ alfa ^ {\ sprawca} |}$ wyrazić . Wybór tej podstawy pomiaru można sparametryzować rzeczywistym wektorem jednostkowym ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {a}} \ w \ mathbb {R} ^ {3}, | {\ boldsymbol {a}} | = 1} i wektor Pauliego σ {\ Displaystyle {\$ boldsymbol { $}$$sigma$$_$ wyrażając _ Wtedy oczekiwana korelacja w podstawach a, b wynosi

$${\ Displaystyle E (a, b) = \ nazwa operatora {Tr} [\ rho ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}) \ otimes ({\ boldsymbol {b}} \ cdot { \boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}} ^{\text{T}}T_ {\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$

Wartości liczbowe wektorów bazowych, jeśli zostaną znalezione, można bezpośrednio przełożyć na konfigurację pomiarów rzutowych.

Optymalny zestaw podstaw dla stanu $2$${\ boldsymbol {e}} _ {1,2}}$ biorąc dwie największe wartości własne i odpowiadające $Displaystyle$${$ U $\ Displaystyle U _ {\ rho}}$ i znalezienie pomocniczych wektorów jednostkowych

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {c}} i = {\ boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{ 1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{wyrównane}}}$$

gdzie jest $parametrem$ . Obliczamy również kąt ostry

$${\ Displaystyle \ theta = \ operatorname {arctan} {\ sqrt {\ Frac {\ lambda _ {2} + \ lambda _ {1}\tan ^{2}{\varphi}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$

aby otrzymać zasady, które maksymalizują równanie. 2 ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {a}} & = T _ {\ rho} {\ boldsymbol {c}} '/| T_ {\ rho} {\ boldsymbol {c}} '|, \\ {\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={ \boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\ boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{wyrównane}}}$$

dystrybucji klucza kwantowego opartej $na$ splątaniu istnieje inna podstawa pomiaru używana do przekazywania tajnego klucza ( zakładając, że Alicja używa strony A) Podstawy muszą wtedy $($ kwantową bitową stopę błędów czyli prawdopodobieństwo uzyskania różnych wyników pomiarów + 1 na jednej cząstce i -1 na drugiej). Odpowiednie podstawy to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {a}} _ {0} & = T _ {\ rho} {\ boldsymbol {e}} _ {1}/| T_ {\ rho} {\ boldsymbol {e }}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$

Wielomian CHSH S również musi zostać zmaksymalizowany, co wraz z powyższymi podstawami tworzy ograniczenie ${\ displaystyle \ varphi = \ pi / 4}$ .

Gra CHSH

Gra CHSH to eksperyment myślowy z udziałem dwóch stron oddalonych od siebie na dużą odległość (wystarczającą, by uniemożliwić klasyczną komunikację z prędkością światła), z których każda ma dostęp do połowy splątanej pary dwóch kubitów. Analiza tej gry pokazuje, że żadna klasyczna teoria lokalnych zmiennych ukrytych nie może wyjaśnić korelacji, które mogą wynikać z splątania. Ponieważ ta gra jest rzeczywiście fizycznie możliwa do zrealizowania, daje to mocny dowód na to, że fizyka klasyczna zasadniczo nie jest w stanie wyjaśnić pewnych zjawisk kwantowych, przynajmniej w „lokalny” sposób.

W grze CHSH jest dwóch współpracujących graczy, Alicja i Bob, oraz sędzia, Charlie. $_$ będą _ $Na$ gry $Charlie$ losowo a ${\ displaystyle y}$ do Boba. Alicja i Bob muszą wtedy odpowiedzieć Charliemu odpowiednio bitami za $\ displaystyle a, b \ in \ {0,1 \}}$ . Teraz, gdy Alicja i Bob wyślą swoje odpowiedzi do Charliego, Charlie sprawdza, czy za ${\ Displaystyle a \ oplus b = x \ ziemia y$ . Jeśli ta równość jest zachowana, Alicja i Bob wygrywają, a jeśli nie, to przegrywają.

Wymagane jest również, aby odpowiedzi Alicji i Boba mogły zależeć tylko od bitów, które widzą: więc odpowiedź Alicji $dla$ tylko od $podobnie$ Boba. Oznacza to, że Alice i Bob nie mogą bezpośrednio komunikować się ze sobą w sprawie wartości bitów wysłanych do nich przez Charliego. Jednak Alicja i Bob mogą zdecydować o wspólnej strategii przed rozpoczęciem gry.

W poniższych sekcjach pokazano, że jeśli Alicja i Bob używają tylko klasycznych strategii wykorzystujących ich lokalne informacje (i potencjalnie kilka losowych rzutów monetą), nie mogą wygrać z prawdopodobieństwem wyższym niż 75%. Jeśli jednak Alicja i Bob mogą dzielić pojedynczą splątaną parę kubitów, istnieje strategia, która pozwala Alicji i Bobowi odnieść sukces z prawdopodobieństwem ~ 85%.

Optymalna strategia klasyczna

Najpierw ustalamy, że każda deterministyczna strategia klasyczna ma prawdopodobieństwo sukcesu co najwyżej 75% (gdzie prawdopodobieństwo jest przejmowane przez równomiernie losowy wybór Charliego ${\ displaystyle x, y}$ ). Przez strategię deterministyczną rozumiemy parę funkcji ${\ Displaystyle f_ {A}, f_ {B}: \ {0,1 \} \ mapsto \ { 0,1 \}}$ , gdzie jest funkcją określającą odpowiedź Alicji w zależności od wiadomości, którą otrzymuje od Charliego, a $jest$ określającą $\ displaystyle f_ {B}}$ Odpowiedź Boba na podstawie tego, co otrzymuje. Aby udowodnić, że jakakolwiek deterministyczna strategia zawodzi w co najmniej 25% przypadków, możemy po prostu rozważyć wszystkie możliwe pary strategii dla Alicji i Boba, których jest co najwyżej 8 (dla każdej ze stron istnieją 4 funkcje ${\ Displaystyle \ {0,1 \} \ mapsto \ {0,1 \}})$ . Można zweryfikować, że dla każdej z tych 8 strategii zawsze istnieje co najmniej jedna z czterech możliwych par wejściowych ${\ Displaystyle (x, y) \ w \ {0,1 \}^{2}}$ , co powoduje niepowodzenie strategii. Na przykład w strategii, w której obaj gracze zawsze odpowiadają $x=y=1$, so using this strategy their win probability is exactly 75%.

Rozważmy teraz przypadek losowych strategii klasycznych, w których Alicja i Bob mają dostęp do skorelowanych liczb losowych. Można je wytworzyć, kilkakrotnie rzucając wspólnie monetą, zanim gra się rozpocznie, a Alice i Bob nadal będą mogli się komunikować. Dane wyjściowe, które dają w każdej rundzie, są zatem funkcją zarówno wiadomości Charliego, jak i wyniku odpowiedniego rzutu monetą. Taką strategię można postrzegać jako rozkład prawdopodobieństwa w strategiach deterministycznych, a zatem prawdopodobieństwo jej sukcesu jest sumą ważoną prawdopodobieństw sukcesu strategii deterministycznych. Ale ponieważ każda strategia deterministyczna ma prawdopodobieństwo sukcesu co najwyżej 75%, ta suma ważona również nie może przekroczyć 75%.

Optymalna strategia kwantowa

Teraz wyobraź sobie, że Alicja i Bob posiadają po jednym kubicie następującego 2-kubitowego stanu splątania: ${\textstyle \ Phi = {\ frac {1}{\ sqrt {2 }}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ . Ten stan jest powszechnie określany jako para EPR i można go równoważnie zapisać jako ${\ textstyle \ Phi = {\ Frac {1} {\ sqrt {2} }}(|++\rangle +|--\rangle )}$ . Alicja i Bob użyją tej splątanej pary w swojej strategii, jak opisano poniżej. Optymalność tej strategii wynika z ograniczenia Tsirelsona .

$Kiedy$ Alicja otrzyma swój bit ${\ Displaystyle | 0 \ rangle, | 1 \ rangle}$$|$ jeśli swój kubit w bazie , a następnie odpowiedz 0, jeśli wynik pomiaru to ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ i 1, jeśli jest to ${\ Displaystyle | 1 \ rangle}$ .

$zmierzy$ jeśli kubit w podstawie ${\ Displaystyle |+ \ rangle , | - \ rangle}$ i odpowiedz 0, jeśli wynik pomiaru to ${\ Displaystyle |+ \ rangle}$ i 1, jeśli jest to ${\ Displaystyle | - \ rangle}$ .

$Kiedy$ Bob otrzyma swój bit ${\ Displaystyle | a_ {0} \ rangle, | a_ {1} \ rangle}$$|$ jeśli swój kubit w podstawie gdzie ${\textstyle |a_ {0}\rangle =\left(\cos {\frac {\pi}}}\right)|0\rangle +\left(\sin {\frac {\pi}} 8}}\right)|1\rangle }$ i ${\ textstyle | a_ {1} \ rangle = \ lewo (- \ sin {\ Frac {\ pi}} {8}} \ prawo) | 0 \ rangle + \ lewo (\ cos {\ frac {\ pi} {8}}\right)|1\rangle }$ . Następnie odpowiada 0, jeśli wynikiem jest ${\ Displaystyle | a_ {0} \ rangle}$ i 1, jeśli jest ${\ Displaystyle | a_ {1} \ rangle}$ .

${\ Displaystyle | b_ {0} \ rangle, | b_ {1} \ rangle}$$w$ , jeśli zmierzy swój kubit gdzie ${\textstyle |b_ {0}\rangle =\left(\cos {\frac {\pi}}{8}}\right)|0\rangle -\left(\sin {\frac {\pi}} 8}}\right)|1\rangle }$ i ${\ textstyle | b_ {1} \ rangle = (\ sin {\ Frac {\ pi}} {8}}) ​​| 0 \ rangle + \ lewo (\ cos {\ Frac {\ pi} {8}} \ po prawej)|1\rangle }$ . W tym przypadku odpowiada 0, jeśli wynikiem jest ${\ Displaystyle | b_ {0} \ rangle}$ i 1, jeśli jest ${\ Displaystyle | b_ {1} \ rangle}$ .

$następnie$ przeanalizować prawdopodobieństwo, że wyprowadzą zwycięską parę wartości na każdym z czterech możliwych danych wejściowych , . Analizujemy tutaj przypadek, w którym ${\ displaystyle x=y = 0}$ tutaj: W tym przypadku zwycięskie pary odpowiedzi to ${\ displaystyle a = b = 0}$ i ${\ displaystyle a=b=1}$ . Na wejściu $Alicja zmierzy$ podstawie ${\ Displaystyle | 0 \ rangle, | 1 \ rangle}$ i Bob zmierzy w podstawie ${\ Displaystyle | a_ {0} \ rangle, | a_ {1} \ rangle}$ . Wtedy prawdopodobieństwo, że obaj wyniosą 0, jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że ich pomiary dadzą ${\ Displaystyle | 0 \ rangle,| a_ {0} \ rangle}$ odpowiednio, tak dokładnie ${\ textstyle | (\ langle 0 | \ czasami \ langle a_ {0} |) | \ Phi \ rangle | ^ {2} = {\ Frac {1} {2} }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ . Podobnie prawdopodobieństwo, że obaj wyniosą 1, wynosi dokładnie ${\ textstyle | (\ langle 1 | \ czasami \ langle a_ {1} |) | \ Phi \ rangle | ^ {2} = {\ Frac {1} {2} }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ . Tak więc prawdopodobieństwo, że któryś z tych pomyślnych wyników się wydarzy, wynosi ${\ textstyle \ cos ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi} {8}} \ right)}$ .

W przypadku 3 innych możliwych par wejściowych zasadniczo identyczna analiza pokazuje, że Alicja i Bob będą mieli takie samo prawdopodobieństwo wygranej ${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ lewo ({\ frac {\ pi }{8}}\right)}$ , więc ogólnie średnie prawdopodobieństwo wygranej dla losowo wybranego wejścia wynosi ${\ textstyle \ cos ^ {2} \ lewo ({\ frac {\ pi}} 8}}\prawo)}$ . Ponieważ ${\textstyle \ cos ^{2}\left({\frac {\pi}}{8}}\right)\około 85\%}$ , to jest dokładnie lepsze niż to, co było możliwe w klasycznym przypadku.

Modelowanie ogólnych strategii kwantowych

$_ \psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$ modelować gdzie

• $\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in \ mathbb {C} ^ {d} \ czasami \ mathbb {C} ^ {d}} jest stanem dwudzielnym dla$ niektórych ${\ Displaystyle d }$ ,
• ${\ Displaystyle A_ {0}}$$i$ są $\}}$ 1 } { \ , I
• ${\ Displaystyle B_ {0}}$$i$ są obserwablami Boba, z których każdy odpowiada otrzymaniu od sędziego $\ {0,1 \}}$ .

Opisaną powyżej optymalną strategię kwantową można przekształcić w następujący zapis: $_$ _ ${\ textstyle | \ psi \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 00 \ rangle + | 11 \ rangle)}$ , obserwowalny $}$ odpowiadający pomiarowi Alicji na , ${0} =$ obserwowalny $\}}$$}$ { - $macierzami$ , gdzie i $_$ Pauliego . B $\ textstyle B_ {0} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (X + Z)}$${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(ZX)}$ i (odpowiadający każdej wybranej przez Boba podstawie do pomiaru). Będziemy oznaczać prawdopodobieństwo sukcesu strategii $S$ grze CHSH przez $S}})}$$CHSH}} ^ {*} ( {\ mathcal$$\ styl wyświetlania \beta _ {\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}) -1}$ i definiujemy stronniczość strategii jako $)$ , czyli różnica między prawdopodobieństwem wygranej i przegranej ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ .

W szczególności mamy

$${\ Displaystyle \ beta _ {\ tekst {CHSH}} ^ {*} ({\ mathcal {S}}) = {\ Frac {1} {4}} \ suma _ {x, y \ w \ {0, 1\}}(-1)^{x\klin y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$

Odchylenie opisanej powyżej strategii kwantowej wynosi ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ .

Nierówność Tsirelsona i sztywność CHSH

Zobacz też: Związanie Tsirelsona

Nierówność Tsirelsona, odkryta przez Borisa Tsirelsona w 1980 r., Stwierdza, że ​​​​dla każdej strategii kwantowej dla gry $S$ odchylenie $\ textstyle \ beta _ {\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ . Równoważnie stwierdza to prawdopodobieństwo sukcesu

$${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {CHSH}} ^ {*} ({\ mathcal {S}}) \ równoważnik \ cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}} }}$$

dla dowolnej strategii kwantowej $.$ gry CHSH W szczególności implikuje to optymalność opisanej powyżej strategii kwantowej dla gry CHSH.

, że ​​​​maksymalne prawdopodobieństwo sukcesu dowolnej strategii kwantowej wynosi ${\ textstyle \ cos ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi} {8}} \ prawej)}$ zobaczył, że to maksymalne prawdopodobieństwo sukcesu osiąga się dzięki opisanej powyżej strategii kwantowej. W rzeczywistości każda strategia kwantowa, która osiąga to maksymalne prawdopodobieństwo sukcesu, musi być izomorficzna (w precyzyjnym sensie) z kanoniczną strategią kwantową opisaną powyżej; ta właściwość nazywana jest sztywnością gry CHSH, po raz pierwszy przypisywana Summersowi i Wernerowi. Bardziej formalnie mamy następujący wynik:

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ lewo (| \ psi \$ , , ( będzie strategią kwantową dla gry CHSH, gdzie ${\ Displaystyle |\ psi \ rangle \ in {\ mathcal {A}} \ czasami {\ mathcal {B}}} takie, że$ ω $\ textstyle \omega _ {\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi}}{8}}\right)}$ . Wtedy istnieją izometrie ${\ Displaystyle V: {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {A}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {A}} _ {2 }}$ i ${\ Displaystyle W: {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {B}} _ {1} \ czasami {\ mathcal {B}} _ {2} }$ gdzie $_ {1}, {\ mathcal {B}} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2 }}$ są izomorficzne z do takie, że pozwalając ${\ Displaystyle |\ theta \ rangle = (V \ otimes W) | \ psi \ rangle}$ mamy

$${\ Displaystyle | \ teta \ rangle = | \ Phi \ rangle _ {{\ mathcal {A}} _ {1}, {\ mathcal {B}} _ {1}} \ czasami | \phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}}$$

gdzie ${\ textstyle |\ Phi \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo (| 00 \ rangle +|11 \ rangle \ po prawej)}$ oznacza parę EPR, a $_$ _

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (V \ czasami W) A_ {0} | \ psi \ rangle = Z _ {{\ mathcal {A}} _ {1}} | \ theta \ rangle, & \ qquad (V \otimes W)B_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle ,\\(V\otimes W)A_{1}|\psi \ rangle =X_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\oraz W)B_{1}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}} _{1}}|\theta \rangle .\end{wyrównane}}}$$

$strategii$ gry CHSH istnieje lokalna zmiana podstawy (określona przez izometrie dla Alicji i Boba, taka że ich stan ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ czynniki do tensora pary EPR ${\ displaystyle | \ Phi \ rangle}$ i dodatkowy stan pomocniczy ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$ . Ponadto ${1}$ się obserwable Alicji i Boba i $\ Displaystyle (A_$ A_ $aż$ do przekształceń jednostkowych, takich jak obserwable na odpowiednich $.$ z pary EPR Przybliżoną lub ilościową wersję sztywności CHSH uzyskali McKague i in . który udowodnił, że jeśli masz strategię kwantową taką $} ({\ mathcal {S}}) = \ cos ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ pi}} {8}} \ prawej) - \ epsilon} dla pewnego ϵ > {\ Displaystyle \$ że $S$${\ textstyle \ omega _ {\ tekst {CHSH$ epsilon $\epsilon >0$, then there exist isometries under which the strategy ${\mathcal {S}}$ is $O({\sqrt {\epsilon }})$-close to the canonical quantum strategy. Representation-theoretic proofs of approximate rigity are also known.

Aplikacje

Zauważ, że grę CHSH można postrzegać jako test splątania kwantowego i pomiarów kwantowych, a sztywność gry CHSH pozwala nam testować określone splątanie, jak również określone pomiary kwantowe. To z kolei można wykorzystać do testowania, a nawet weryfikacji całych obliczeń kwantowych — w szczególności sztywność gier CHSH została wykorzystana do konstruowania protokołów weryfikowalnego delegowania kwantowego, certyfikowanego rozszerzania losowości i kryptografii niezależnej od urządzenia.

Zobacz też

• Korelacja nie oznacza związku przyczynowego
• Nierówność Leggetta-Garga
• Kwantowa teoria gier