Analiza macierzy

W matematyce , szczególnie w algebrze liniowej i zastosowaniach, analiza macierzowa to badanie macierzy i ich właściwości algebraicznych. Niektóre konkretne tematy spośród wielu obejmują; operacje zdefiniowane na macierzach (takie jak dodawanie macierzy , mnożenie macierzy i operacje pochodne), funkcje macierzy (takie jak potęgowanie macierzy i logarytm macierzowy , a nawet sinusy i cosinusy itp. macierzy) oraz wartości własne macierzy ( dekompozycja własna macierzy , teoria zaburzeń wartości własnej ).

Przestrzenie macierzowe

Zbiór wszystkich macierzy m × n nad ciałem F oznaczony w tym artykule M _mn ( F ) tworzy przestrzeń wektorową . Przykłady F $obejmują$ zbiór liczb $zespolonych$ , $_$ rzeczywiste i zbiór liczb Przestrzenie M _mn ( F ) i M _pq ( F ) są różnymi przestrzeniami, jeśli m i p są nierówne oraz jeśli n i q są nierówne; na przykład M ₃₂ ( fa ) ≠ M ₂₃ ( fa ). Dwie m × n macierze A i B w M _mn ( F ) można dodać razem, aby utworzyć kolejną macierz w przestrzeni M _mn ( F. ):

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ w M_ {mn} (F) \ , \ quad \ mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}

i pomnożona przez α w F , aby otrzymać inną macierz w M _mn ( F ):

{\ Displaystyle \ alfa \ w F \ \ quad \ alfa \ mathbf {A} \ w M_ {mn} (F)}

Łącząc te dwie właściwości, liniowa kombinacja macierzy A i B jest w M _mn ( F ) to inna macierz w M _mn ( F ):

{\ Displaystyle \ alfa \ mathbf {A} + \ beta \ mathbf {B} \ w M_ {mn} (F)}

gdzie α i β to liczby w F .

Dowolną macierz można wyrazić jako liniową kombinację macierzy bazowych, które pełnią rolę wektorów bazowych przestrzeni macierzowej. Na przykład dla zbioru macierzy 2 × 2 na polu liczb rzeczywistych, jednym uzasadnionym podstawowym zestawem macierzy jest: ${\ Displaystyle M_ {22} (\ mathbb {R})}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} \, \ quad {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\, ,}

ponieważ dowolną macierz 2 × 2 można wyrazić jako:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} = a {\ początek{pmatrix}1&0\\0&0\koniec{pmatrix}}+b{\rozpoczęcie{pmatrix}0&1\\0&0\koniec{pmatrix}}+c{\rozpoczęcie{pmatrix}0&0\\1&0\koniec{pmatrix}} +d{\begin{pmacierz}0&0\\0&1\koniec{pmacierz}}\,,}

gdzie a , b , c , d to wszystkie liczby rzeczywiste. Ta idea dotyczy innych pól i macierzy o wyższych wymiarach.

Determinanty

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest ważną właściwością . Wyznacznik wskazuje, czy macierz jest odwracalna (tj. odwrotność macierzy istnieje, gdy wyznacznik jest różny od zera). Wyznaczniki służą do znajdowania wartości własnych macierzy (patrz poniżej) oraz do rozwiązywania układu równań liniowych (patrz reguła Cramera ).

Wartości własne i wektory własne macierzy

Definicje

Macierz n × n A ma wektory własne x i wartości własne λ określone zależnością:

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}

Słowem, mnożenie macierzy A , po którym następuje wektor własny x (tutaj n -wymiarowa macierz kolumnowa ) , jest takie samo, jak mnożenie wektora własnego przez wartość własną. Dla n × n istnieje n wartości własnych. Wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego :

{\ Displaystyle p _ {\ mathbf {A}} (\ lambda) = \ det (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I}) = 0}

gdzie I jest macierzą identyczności n × n .

Pierwiastki wielomianów, w tym kontekście wartości własne, mogą być różne lub niektóre mogą być równe (w takim przypadku wartość własna ma krotność , czyli liczbę wystąpień wartości własnej). Po rozwiązaniu wartości własnych wektory własne odpowiadające wartościom własnym można znaleźć za pomocą równania definiującego.

Zaburzenia wartości własnych

Podobieństwo macierzy

Dwie macierze n × n A i B są podobne, jeśli są powiązane transformacją podobieństwa :

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {P} \ mathbf {A} \ mathbf {P} ^ {- 1}}

Macierz P nazywana jest macierzą podobieństwa iz konieczności jest odwracalna .

Podobieństwo jednostkowe

Formy kanoniczne

Forma schodkowa wiersza

Normalna forma Jordana

Kanoniczna forma Weyru

Postać normalna Frobeniusa

Faktoryzacja trójkątna

rozkład LU

Dekompozycja LU dzieli macierz na iloczyn macierzy górnej trójkątnej macierzy i dolnej macierzy trójkątnej.

Normy macierzowe

Ponieważ macierze tworzą przestrzenie wektorowe, można tworzyć aksjomaty (analogiczne do wektorów), aby zdefiniować „rozmiar” określonej macierzy. Normą macierzy jest dodatnia liczba rzeczywista.

Definicja i aksjomaty

Dla wszystkich macierzy A i B w M _mn ( F ) i wszystkich liczb α w F , norma macierzowa ograniczona podwójnymi pionowymi kreskami || ... ||, spełnia:

Nieujemne :

{\ Displaystyle \|\ mathbf {A} \|\ geq 0}

0 z równością tylko dla A = , macierzy zerowej .

Mnożenie przez skalar :

{\ Displaystyle \|\ alfa \ mathbf {A} \|=|\ alfa |\|\ mathbf {A} \|}

Trójkątna nierówność :

{\ Displaystyle \|\ mathbf {A} + \ mathbf {B} \|\ równoważnik \|\ mathbf {A} \|+\|\ mathbf {B} \|}

Norma Frobeniusa

Norma Frobeniusa jest analogiczna do iloczynu skalarnego wektorów euklidesowych; pomnóż elementy macierzy według wpisów, dodaj wyniki, a następnie weź dodatni pierwiastek kwadratowy :

{\ Displaystyle \|\ mathbf {A} \| = {\ sqrt {\ mathbf {A}: \ mathbf { A} }}={\sqrt {\suma _{i=1}^{m}\suma _{j=1}^{n}(A_{ij})^{2}}}}

Jest zdefiniowany dla macierzy dowolnego wymiaru (tj. bez ograniczeń do macierzy kwadratowych).

Macierze dodatnio określone i półokreślone

Funkcje

Elementy macierzy nie są ograniczone do stałych liczb, mogą być zmiennymi matematycznymi .

Funkcje macierzy

Funkcje macierzy przyjmują macierz i zwracają coś innego (liczbę, wektor, macierz itp.).

Funkcje o wartościach macierzowych

Funkcja o wartościach macierzowych pobiera coś (liczbę, wektor, macierz itp.) i zwraca macierz.

Zobacz też

Inne gałęzie analizy

Inne koncepcje algebry liniowej

Rodzaje macierzy

Funkcje macierzowe

przypisy

Notatki

Dalsza lektura

C. Meyera (2000). Podręcznik analizy macierzowej i stosowanej algebry liniowej oraz podręcznik rozwiązań . Analiza macierzowa i stosowana algebra liniowa . Tom. 2. SIAM. ISBN 089-871-454-0 .
Brzegi TS (2007). Stosowana algebra liniowa i analiza macierzowa . Teksty licencjackie z matematyki . Skoczek. ISBN 978-038-733-195-9 .
Rajendra Bhatia (1997). Analiza macierzy . Seria analiz macierzy. Tom. 169. Springera. ISBN 038-794-846-5 .
Alana J. Lauba (2012). Analiza macierzy obliczeniowej . SYJAM. ISBN 978-161-197-221-4 .