Historia teorii toposu
Ten artykuł przedstawia bardzo ogólne tło matematycznej idei toposu . Jest to aspekt teorii kategorii i ma reputację zawiłego. Poziom abstrakcji nie może zostać zredukowany poza pewien punkt; ale z drugiej strony można podać kontekst. Jest to częściowo związane z rozwojem historycznym, ale także do pewnego stopnia wyjaśnieniem różnych postaw wobec teorii kategorii. [ potrzebne źródło ]
W szkole Grothendiecka
W drugiej połowie lat pięćdziesiątych przepisywano na nowo podstawy geometrii algebraicznej ; i tu tkwią początki koncepcji toposu . Przypuszczenia Weila były wówczas wyjątkową motywacją do badań. Jak teraz wiemy, droga do ich dowodu i innych postępów prowadziła przez konstrukcję kohomologii étale .
Z perspektywy czasu można powiedzieć, że geometria algebraiczna zmagała się przez długi czas z dwoma problemami. Pierwsza dotyczyła jej punktów : w czasach geometrii rzutowej było jasne, że brak „wystarczającej” liczby punktów w rozmaitości algebraicznej stanowił przeszkodę w posiadaniu dobrej teorii geometrycznej (w której przypominała ona nieco zwartą rozmaitość ). Była też trudność, która była jasna od razu po topologii przyjęło się w pierwszej połowie XX wieku, że topologia rozmaitości algebraicznych ma „zbyt mało” zbiorów otwartych.
Kwestia punktów była bliska rozwiązania do 1950 roku; Alexander Grothendieck zrobił szeroki krok (odwołując się do lematu Yonedy ), który go rozwiązał – oczywiście kosztem tego, że każda odmiana lub bardziej ogólny schemat powinien stać się funktorem . Nie można było dodawać otwartych zestawów. Dalsza droga była inna.
Definicja toposu pojawiła się po raz pierwszy nieco ukośnie około roku 1960. Rozważano ogólne problemy tak zwanego „ pochodzenia ” w geometrii algebraicznej w tym samym okresie, w którym grupa podstawowa została uogólniona na układ geometrii algebraicznej (jako grupa pro-skończona ). W świetle późniejszych prac (ok. 1970) „zejście” jest częścią teorii komonad ; tutaj możemy zobaczyć jeden ze sposobów, w jaki szkoła Grothendiecka odbiega w swoim podejściu od teoretyków „czystej” kategorii, co jest ważne dla zrozumienia późniejszego traktowania koncepcji toposu.
Być może istniała bardziej bezpośrednia droga: pojęcie kategorii abelowej zostało wprowadzone przez Grothendiecka w jego fundamentalnej pracy nad algebrą homologiczną , aby ujednolicić kategorie snopów grup abelowych i modułów . Kategoria abelowa ma być domknięta pewnymi operacjami teorii kategorii – stosując tego rodzaju definicję można całkowicie skupić się na strukturze, nie mówiąc nic o naturze obiektów, których ona dotyczy. Ten typ definicji można prześledzić wstecz, w jednej linii, do kraty koncepcja z lat 30. Można było zadać pytanie około 1957 r. o czysto kategoryzacyjną charakterystykę kategorii snopów zbiorów , ponieważ przypadek snopów grup abelowych został podciągnięty przez pracę Grothendiecka (artykuł Tôhoku ) .
Taka definicja toposu została ostatecznie podana pięć lat później, około 1962 roku, przez Grothendiecka i Verdiera (zob. seminarium im. Nicolasa Bourbakiego , Analysis Situs ). Charakterystyka została dokonana za pomocą kategorii „z wystarczającą liczbą granic ” i zastosowana do tego, co obecnie nazywa się toposem Grothendiecka . Teorię uzupełniono ustaleniem, że topos Grothendiecka był kategorią snopów, gdzie teraz słowo snop nabrało rozszerzonego znaczenia, ponieważ obejmowało topologię Grothendiecka .
Idea topologii Grothendiecka (znanej również jako miejsce ) została scharakteryzowana przez Johna Tate'a jako śmiała gra słów na temat dwóch zmysłów powierzchni Riemanna . [ potrzebne źródło ] Technicznie rzecz biorąc, umożliwiło to zbudowanie poszukiwanej kohomologii étale (a także innych wyrafinowanych teorii, takich jak kohomologia płaska i kohomologia krystaliczna ). W tym momencie — około roku 1964 — rozwój oparty na geometrii algebraicznej w dużej mierze dobiegł końca. Dyskusja o „otwartym zbiorze” została skutecznie podsumowana konkluzją, że odmiany mają wystarczająco bogate miejsce zbiorów otwartych w nierozgałęzionych okładkach ich (zwykłych) zbiorów otwartych Zariskiego .
Od czystej teorii kategorii do logiki kategorycznej
Obecna definicja toposu pochodzi od Williama Lawvere'a i Mylesa Tierneya . Chociaż czas jest zbliżony do opisanego powyżej, z historycznego punktu widzenia podejście jest inne, a definicja jest bardziej inkluzywna. Oznacza to, że istnieją przykłady toposów , które nie są toposami Grothendiecka . Co więcej, mogą one być interesujące dla wielu logicznych .
Definicja Lawvere'a i Tierneya podkreśla centralną rolę w teorii toposu klasyfikatora podobiektów . W zwykłej kategorii zbiorów jest to dwuelementowy zbiór logicznych wartości-prawdy , prawda i fałsz . Niemal tautologią jest stwierdzenie, że podzbiory danego zbioru X są takie same (tak samo dobre jak) funkcje na X w dowolnym takim dwuelementowym zbiorze: ustal „pierwszy” element i spraw, by podzbiór Y odpowiadał funkcja wysyłająca Y tam i jego uzupełnienie w X do drugiego elementu.
Teraz klasyfikatory podobiektów można znaleźć w teorii snopów . Wciąż tautologicznie, choć z pewnością bardziej abstrakcyjnie, dla przestrzeni topologicznej X istnieje bezpośredni opis snopka na X , który pełni rolę względem wszystkich snopów zbiorów na X . Jego zbiór przekrojów na otwartym zbiorze U ( X ) jest po prostu zbiorem otwartych podzbiorów U. Przestrzeń związana z snopem jest dla niej trudniejsza do opisania.
Dlatego Lawvere i Tierney sformułowali aksjomaty dla toposu , który zakładał klasyfikator podobiektów i pewne warunki graniczne ( przynajmniej w celu stworzenia kategorii zamkniętej kartezjańsko ). Przez pewien czas to pojęcie toposu nazywano „toposem elementarnym”.
Po sformułowaniu idei związku z logiką nastąpiło kilka wydarzeń „testujących” nową teorię:
- modele teorii mnogości odpowiadające dowodom niezależności aksjomatu wyboru i hipotezy continuum metodą forsowania Paula Cohena .
- rozpoznanie związku z semantyką Kripkego , intuicjonistycznym kwantyfikatorem egzystencjalnym i intuicjonistyczną teorią typów .
- łącząc je, omówienie intuicjonistycznej teorii liczb rzeczywistych za pomocą modeli snopów.
Stanowisko teorii toposu
Było w tym trochę ironii, że w forsowaniu dalekosiężnego programu Davida Hilberta znaleziono naturalne miejsce dla centralnych idei logiki intuicjonistycznej : Hilbert nienawidził szkoły LEJ Brouwera . Egzystencja jako egzystencja „lokalna” w sensie teorii snopów, obecnie nazywana semantyką Kripkego-Joyala , dobrze pasuje. Z drugiej strony długie wysiłki Brouwera nad „gatunkami”, jak nazwał intuicjonistyczną teorię liczb rzeczywistych, są prawdopodobnie w jakiś sposób podciągnięte i pozbawione statusu poza historycznym. W każdym toposie istnieje teoria liczb rzeczywistych, więc nikt nie jest mistrzem teorii intuicjonistycznej.
Późniejsze prace nad kohomologią etale sugerowały, że pełna, ogólna teoria toposu nie jest wymagana. Z drugiej strony używane są inne miejsca, a topos Grothendiecka zajął jego miejsce w algebrze homologicznej.
Program Lawvere'a polegał na napisaniu logiki wyższego rzędu w kategoriach teorii kategorii. O tym, że można to zrobić czysto, świadczy sposób traktowania książki przez Joachima Lambeka i PJ Scotta. Rezultatem jest zasadniczo teoria intuicjonistyczna (tj. logika konstruktywna ), której treść jest wyjaśniona przez istnienie wolnego toposu . Jest to teoria mnogości w szerokim znaczeniu, ale także coś należącego do sfery czystej składni . Struktura jego klasyfikatora podobiektów jest podobna do algebry Heytinga . Aby uzyskać bardziej klasyczną teorię mnogości, można przyjrzeć się toposom, w których jest to zresztą algebra Boole'a , lub specjalizować się jeszcze bardziej w tych, które mają tylko dwie wartości logiczne. W tej książce mowa jest o konstruktywnej matematyce ; ale w rzeczywistości można to odczytać jako podstawową informatykę (o której nie wspomniano). Jeśli ktoś chce omówić operacje mnogościowe, takie jak tworzenie obrazu (zakresu) funkcji, topos gwarantuje, że będzie w stanie to wyrazić w sposób całkowicie konstruktywny.
Stworzył również bardziej przystępny spin-off w topologii bezsensownej , w której koncepcja lokalizacji wyodrębnia pewne spostrzeżenia znalezione przez traktowanie toposu jako znaczącego rozwoju przestrzeni topologicznej . Hasło brzmi: „punkty przychodzą później”: w ten sposób dyskusja na tej stronie zatacza koło. Ten punkt widzenia został opisany w książce Petera Johnstone'a Stone Spaces , która została nazwana przez lidera w dziedzinie informatyki „traktatem o ekstensjonalności ”. '. Ekstensjonalność jest traktowana w matematyce jako otoczenie - nie jest to coś, o czym matematycy naprawdę oczekują teorii. Być może dlatego teoria toposu była traktowana jako kuriozum; wykracza poza to, na co pozwala tradycyjnie geometryczny sposób myślenia. Potrzeby całkowicie intensjonalnych teorii, takich jak nieokreślony rachunek lambda, zostały zaspokojone w semantyce denotacyjnej . Teoria toposu od dawna wyglądała na możliwą „teorię mistrzowską” w tej dziedzinie.
Streszczenie
toposu powstało w geometrii algebraicznej w wyniku połączenia pojęcia snopka i domknięcia w ramach operacji kategorycznych . Odgrywa pewną określoną rolę w teoriach kohomologii. „Zabójczym zastosowaniem” jest kohomologia etalna .
Kolejne zmiany związane z logiką są bardziej interdyscyplinarne. Zawierają przykłady odwołujące się do teorii homotopii ( klasyfikacja toposów ). Dotyczą one powiązań między teorią kategorii a logiką matematyczną, a także (jako dyskusja organizacyjna wysokiego poziomu) między teorią kategorii a teoretyczną informatyką opartą na teorii typów . Biorąc pod uwagę ogólny pogląd Saundersa Mac Lane'a na temat wszechobecności pojęć, nadaje im to określony status. Pionierem wykorzystania toposów jako mostów jednoczących w matematyce była Olivia Caramello w swojej książce z 2017 r.