Koło Mohra

Rysunek 1. Koła Mohra dla trójwymiarowego stanu naprężenia

Koło Mohra jest dwuwymiarową graficzną reprezentacją prawa transformacji dla tensora naprężenia Cauchy'ego .

Koło Mohra jest często używane w obliczeniach dotyczących inżynierii mechanicznej wytrzymałości materiałów , inżynierii geotechnicznej wytrzymałości gruntów oraz inżynierii budowlanej wytrzymałości budowanych konstrukcji. Służy również do obliczania naprężeń w wielu płaszczyznach poprzez redukcję ich do składowych pionowych i poziomych. Są to tak zwane płaszczyzny główne, w których występują naprężenia główne są obliczane; Koła Mohra można również użyć do znalezienia głównych płaszczyzn i głównych naprężeń w reprezentacji graficznej i jest to jeden z najłatwiejszych sposobów na to.

Po przeprowadzeniu analizy naprężeń na ciele materialnym przyjętym jako kontinuum znane są składowe tensora naprężenia Cauchy'ego w określonym punkcie materialnym w odniesieniu do układu współrzędnych . Koło Mohra jest następnie wykorzystywane do graficznego określenia składowych naprężeń działających na obrócony układ współrzędnych, tj. działających na różnie zorientowanej płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt.

Odcięta i rzędna ( $)$$to$ na naprężenia normalnego i naprężenia ścinającego , działające na obrócony układ współrzędnych. Innymi słowy, okrąg jest zbiorem punktów reprezentujących stan naprężenia na poszczególnych płaszczyznach we wszystkich ich orientacjach, gdzie osie reprezentują główne osie elementu naprężenia.

XIX-wieczny niemiecki inżynier Karl Culmann jako pierwszy wymyślił graficzną reprezentację naprężeń, biorąc pod uwagę naprężenia wzdłużne i pionowe w belkach poziomych podczas zginania . Jego praca zainspirowała innego niemieckiego inżyniera Christiana Otto Mohra (imiennika koła), który rozszerzył ją na naprężenia zarówno dwu-, jak i trójwymiarowe i opracował kryterium zniszczenia oparte na okręgu naprężeń.

Alternatywne graficzne metody reprezentacji stanu naprężenia w punkcie obejmują elipsoidę naprężenia Lamégo i kwadrykę naprężenia Cauchy'ego .

Koło Mohra można zastosować do dowolnej symetrycznej macierzy tensorów 2x2 , w tym odkształcenia i momentu bezwładności tensorów.

Motywacja

Rysunek 2. Naprężenia w obciążonym, odkształcalnym ciele materialnym, przyjęte jako kontinuum.

Siły wewnętrzne powstają między cząstkami odkształcalnego obiektu, założonego jako kontinuum , jako reakcja na przyłożone siły zewnętrzne, tj. siły powierzchniowe lub siły ciała . Ta reakcja wynika z praw ruchu Eulera dla kontinuum, które są równoważne prawom ruchu Newtona dla cząstki. Miarą natężenia tych sił wewnętrznych jest naprężenie . Ponieważ zakłada się, że obiekt jest kontinuum, te siły wewnętrzne są rozłożone w sposób ciągły w objętości obiektu.

W inżynierii, np. konstrukcyjnej , mechanicznej lub geotechnicznej , rozkład naprężeń w obiekcie, na przykład naprężenia w górotworze wokół tunelu, skrzydeł samolotu lub kolumn budowlanych, określa się za pomocą analizy naprężeń . Obliczenie rozkładu naprężeń oznacza określenie naprężeń w każdym punkcie (cząstce materiału) obiektu. Według Cauchy'ego naprężenie w dowolnym punkcie obiektu (Rysunek 2), przyjęte jako kontinuum, jest całkowicie określone przez dziewięć składowych naprężenia ${\ Displaystyle \ sigma _ {ij}}$ tensora drugiego rzędu typu (2,0) znanego jako tensor naprężenia Cauchy'ego , ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ :

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} i \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{macierz}}\right]\equiv \left [{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\koniec{macierzy}}\prawo]}$

Rysunek 3. Transformacja naprężeń w punkcie kontinuum w płaskich warunkach naprężeń.

Po określeniu rozkładu naprężeń w obiekcie w odniesieniu do układu współrzędnych może być konieczne obliczenie składowych tensora naprężeń w określonym materialnym punkcie ( $} \ Displaystyle P}$$Displaystyle (x, y)$ w odniesieniu do obróconego układu współrzędnych ${\ Displaystyle (x', y')}$$, tj$ naprężenia działające na płaszczyźnie o innej orientacji przechodzącej przez ten punkt zainteresowania - tworząc kąt z układem współrzędnych . Na przykład interesujące jest znalezienie maksymalnego naprężenia normalnego i maksymalnego naprężenia ścinającego, a także orientacji płaszczyzn, na które działają. Aby to osiągnąć, konieczne jest wykonanie transformacji tensorowej przy obrocie układu współrzędnych. Z definicji tensora , tensor naprężenia Cauchy'ego jest zgodny z prawem transformacji tensorowej . Graficzną reprezentacją tego prawa transformacji dla tensora naprężenia Cauchy'ego jest koło Mohra dla naprężenia.

Koło Mohra dla dwuwymiarowego stanu naprężenia

Rysunek 4. Składowe naprężenia na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt kontinuum w płaskich warunkach naprężenia.

W dwóch wymiarach tensor naprężenia w danym punkcie materialnym w odniesieniu do dowolnych dwóch prostopadłych kierunków jest całkowicie określony tylko przez trzy składowe $naprężenia$ Dla określonego układu współrzędnych $Displaystyle \ sigma _ {x$ naprężeń to: naprężenia normalne $}$ i $}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {y$ i naprężenie ścinające ${\ Displaystyle \ tau _ {xy}}$ . Z bilansu momentu pędu można wykazać symetrię tensora naprężenia Cauchy'ego. Ta symetria implikuje, że ${\ Displaystyle \ tau _ {xy} = \ tau _ {yx}}$ . Zatem tensor naprężenia Cauchy'ego można zapisać jako:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} \ sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{macierz}}\right]\equiv \left[{\begin {macierz}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\koniec {macierz}}\prawo]}$

Celem jest użycie koła Mohra do znalezienia składowych naprężeń ${\ operatorname {n}}}$$_$ \ displaystyle system ${\ Displaystyle (x', y')}$$y}$ tj. na różnie zorientowanej płaszczyźnie przechodzącej przez i prostopadłej do ${\ Displaystyle P}$ - $P}$${\ Displaystyle$ samolot (Rysunek 4). $Displaystyle (x', y')}$$(x, y) }$$Displaystyle$ tworzy kąt z oryginalnym układem współrzędnych y .

Równanie koła Mohra

Aby wyprowadzić równanie koła Mohra dla dwuwymiarowych przypadków płaskiego naprężenia i płaskiego odkształcenia , najpierw rozważ dwuwymiarowy nieskończenie mały element materialny wokół punktu materialnego (rysunek 4), o jednostkowej powierzchni w ${\ displaystyle P}$ kierunek równoległy do ​​płaszczyzny $.$$.$ prostopadły do ​​strony lub ekranu

Z równowagi sił na nieskończenie małym elemencie, wielkości naprężenia normalnego i $} }$ ścinającego ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}$ są podane przez:

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}} = {\ frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\ sałata 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}} = - {\ Frac {1} {2}} (\ sigma _ {x }-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

Wyprowadzanie równań parametrycznych koła Mohra - Równowaga sił

Z równowagi sił w kierunku $której$ ( $i wiedząc$ obszar płaszczyzny, na ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}}}$ aktów jest ${\ Displaystyle dA}$ , mamy: ${\ Displaystyle \ {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma F_ {x '} & = \ sigma _ {\ operatorname {n}} dA - \ sigma _ {x} dA \ cos ^ {2}\theta -\sigma _{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \ cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2 \tau _{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{wyrównane}}}$ Jednak wiedząc o tym ${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ theta = {\ Frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}}, \ qquad \ sin ^ {2} \ theta = {\ Frac {1- \ cos 2 \ theta }{2}}\qquad {\text{i}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ uzyskujemy ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}} = {\ frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\ sałata 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$ $w$ kierunku osi $,$ rysunek obszar płaszczyzna, na której $\ operatorname {n}}}$ , mamy: $\ displaystyle \ tau _ {$ ${\ Displaystyle \ {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma F_ {y'} & = \ tau _ {\ operatorname {n}} dA + \ sigma _ {x} dA \ cos \ theta \ sin \ theta - \ sigma _ { y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n}}&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{wyrównane}}}$ Jednak wiedząc o tym ${\ Displaystyle \ sałata ^ {2} \ teta - \ grzech ^ {2} \ teta = \ sałata 2\theta \qquad {\text{i}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ uzyskujemy ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}} = - {\ Frac {1} {2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

Oba równania można również uzyskać, stosując prawo transformacji tensorowej do znanego tensora naprężenia Cauchy'ego, co jest równoważne z wykonaniem statycznej równowagi sił w kierunku i $n}}}$ { ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}}}$ .

Wyprowadzanie równań parametrycznych koła Mohra - Transformacja tensorowa

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {\ sigma}} '& = \ mathbf {A} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {A} ^ {T} \\\ lewo [{\ rozpocząć {macierz}\sigma _{x'}&\tau _{x'y'}\\\tau _{y'x'}&\sigma _{y'}\\\end{macierz}}\right] &=\left[{\begin{macierz}a_{x}&a_{xy}\\a_{yx}&a_{y}\\\end{macierz}}\right]\left[{\begin{matrix}\ sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\koniec{macierzy}}\right]\left[{\begin{macierz}a_{x }&a_{yx}\\a_{xy}&a_{y}\\\end{macierz}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\ -\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx }&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \ \\end{macierz}}\right]\end{wyrównane}}}$ zapisać $tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }}$ prawą stronę i $,$$że$ i , mamy: ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}} = \ sigma _ {x} \ sałata ^ {2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta }$ Jednak wiedząc o tym ${\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ theta = {\ Frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}}, \ qquad \ sin ^ {2} \ theta = {\ Frac {1- \ cos 2 \ theta }{2}}\qquad {\text{i}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ uzyskujemy ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}} = {\ frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\ sałata 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$ ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}} = - (\ sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right) }$ Jednak wiedząc o tym ${\ Displaystyle \ sałata ^ {2} \ teta - \ grzech ^ {2} \ teta = \ sałata 2\theta \qquad {\text{i}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ uzyskujemy ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}} = - {\ Frac {1} {2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$ W tym momencie nie jest konieczne obliczanie składowej naprężenia działającej na płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny działania $} }$$Displaystyle \$ ponieważ nie jest wymagane do wyprowadzenia równania dla koła Mohra.

Te dwa równania są równaniami parametrycznymi koła Mohra. W tych równaniach parametrem jest parametr i $\ sigma _ {\ operatorname {n}}}$$Displaystyle$ i $}} }$ to współrzędne. Oznacza to ${\ operatorname {n}}}$ że wybierając układ współrzędnych z odciętymi i rzędnymi $sigma _$ displaystyle \ , podanie wartości parametrowi spowoduje $.$ uzyskanych punktów leżących na okręgu

Wyeliminowanie parametru $równań$ parametrycznych da nieparametryczne równanie koła Mohra $i$ osiągnąć poprzez zmianę układu równań dla $,$ transponując wyraz pierwsze równanie i podniesienie do kwadratu obu stron każdego z równań, a następnie dodanie ich. Tak mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [\ sigma _ {\ operatorname {n}} - {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}) \ prawo]^{2}+\tau _{\mathrm {n}}^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y} )\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {śr.} })^{2}+\ tau _{\mathrm {n}}^{2}&=R^{2}\end{wyrównane}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ lewo [{\ tfrac { 1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}} \quad \sigma _{\mathrm {śr.} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

To jest równanie koła ( koła Mohra) formy

${\ Displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}}$

r ${\ Displaystyle r = R}$ wyśrodkowany w punkcie o współrzędnych $\ Displaystyle (a, b) = (\ sigma _ {\ operatorname {śr.} }, 0)}$ w układzie współrzędnych ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})} .$

Podpisz konwencje

Istnieją dwa oddzielne zestawy konwencji znaków, które należy wziąć pod uwagę podczas korzystania z koła Mohra: jedna konwencja znaków dla składowych naprężeń w „przestrzeni fizycznej”, a druga dla składowych naprężeń w „przestrzeni okręgu Mohra”. Ponadto w ramach każdego z dwóch zestawów konwencji znaków mechaniki inżynierskiej ( inżynieria budowlana i inżynieria mechaniczna ) stosuje inną konwencję znaków niż geomechanika literatura. Nie ma standardowej konwencji znaków, a na wybór konkretnej konwencji znaków ma wpływ wygoda obliczeń i interpretacji dla konkretnego problemu. Bardziej szczegółowe wyjaśnienie tych konwencji znakowych przedstawiono poniżej.

Poprzednie wyprowadzenie równania koła Mohra za pomocą rysunku 4 jest zgodne z konwencją znaków mechaniki inżynierskiej. W tym artykule zostanie zastosowana konwencja znaków mechaniki inżynierskiej .

Konwencja znaku w przestrzeni fizycznej

Zgodnie z konwencją tensora naprężenia Cauchy'ego (Rysunek 3 i Rysunek 4), pierwszy indeks dolny w składowych naprężenia oznacza ścianę, na którą działa składowa naprężenia, a drugi indeks dolny wskazuje kierunek składowej naprężenia. Zatem naprężenie ścinające działające na ścianę z wektorem normalnym w dodatnim kierunku osi - ${\ displaystyle x}$ oraz w dodatnim kierunku osi τ x $y {\ displaystyle \ tau$$} styl wyświetlania y}$ -oś.

W konwencji znaków przestrzeni fizycznej dodatnie naprężenia normalne są skierowane na zewnątrz płaszczyzny działania (naprężenie), a ujemne naprężenia normalne są skierowane do wewnątrz płaszczyzny działania (ściskanie) (Rysunek 5).

W konwencji znaku przestrzeni fizycznej dodatnie naprężenia ścinające działają na dodatnie ściany elementu materialnego w dodatnim kierunku osi. Również dodatnie naprężenia ścinające działają na ujemne powierzchnie elementu materialnego w ujemnym kierunku osi. Dodatnia ściana ma swój wektor normalny w dodatnim kierunku osi, a ujemna ściana ma swój wektor normalny w ujemnym kierunku osi. $}$ przykład naprężenia ścinające i $}$ są dodatnie, ponieważ działają na dodatnie ściany i działają również w dodatnim kierunku odpowiednio osi - i osi $x}$$displaystyle$ (rysunek 3). Podobnie, odpowiednie przeciwne naprężenia ścinające działające na ujemnych ścianach mają znak ujemny, ponieważ działają w kierunku ujemnym τ $}}$$xy$ osi - i odpowiednio oś ${\ displaystyle y} .$${\ displaystyle x}$

Konwencja znakowa Mohr-koło-przestrzeń

Rysunek 5. Konwencja znakowania mechaniki inżynierskiej do rysowania koła Mohra. Ten artykuł jest zgodny z konwencją znaków nr 3, jak pokazano.

W konwencji znaku koła Mohra naprężenia normalne mają ten sam znak, co naprężenia normalne w konwencji znaku przestrzeni fizycznej: dodatnie naprężenia normalne działają na zewnątrz płaszczyzny działania, a ujemne naprężenia normalne działają do wewnątrz płaszczyzny działania.

Naprężenia ścinające mają jednak inną konwencję w przestrzeni koła Mohra w porównaniu z konwencją w przestrzeni fizycznej. W konwencji znaku koła Mohra dodatnie naprężenia ścinające obracają element materiału w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a ujemne naprężenia ścinające obracają materiał w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. W ten sposób składowa naprężenia ścinającego jest dodatnia w przestrzeni koła Mohra, a składowa naprężenia ścinającego $xy$ ujemna w $}$ przestrzeń koła Mohra.

Istnieją dwie opcje rysowania przestrzeni koła Mohra, które dają matematycznie poprawny okrąg Mohra:

1. Dodatnie naprężenia ścinające są wykreślane w górę (Rysunek 5, konwencja znakowania nr 1)
2. Dodatnie naprężenia ścinające są wykreślane w dół, tj. Oś $- jest odwrócona ($ znaków nr 2).

Wykreślenie dodatnich naprężeń ścinających w górę powoduje, że kąt na kole Mohra ma dodatni obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, co jest przeciwne do konwencji $przestrzeni$ Dlatego niektórzy autorzy wolą wykreślać dodatnie naprężenia ścinające w dół, co powoduje, że kąt $wskazówek zegara$ kole Mohra ma dodatni obrót w kierunku przeciwnym do ruchu

Aby przezwyciężyć „problem” posiadania osi naprężenia ścinającego w dół w przestrzeni koła Mohra, istnieje alternatywna konwencja znaków, w której zakłada się, że dodatnie naprężenia ścinające obracają element materiału w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a ujemne naprężenia ścinające obracają element materialny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (Rysunek 5, opcja 3). W $ruchu wskazówek zegara w przestrzeni$ sposób dodatnie naprężenia ścinające są wykreślane w górę w przestrzeni koła Mohra, a kąt ma dodatni obrót w kierunku przeciwnym do Ta alternatywa konwencja znaków tworzy okrąg, który jest identyczny z konwencją znaków nr 2 na rycinie 5, ponieważ dodatnie naprężenie ścinające $wskazówek zegara i oba są wykreślane w dół$ naprężeniem ścinającym przeciwnym do ruchu . $wskazówek zegara i oba$ ujemne naprężenie ścinające jest naprężeniem ścinającym zgodnym z ruchem

Ten artykuł jest zgodny z konwencją znaków mechaniki inżynierskiej dla przestrzeni fizycznej i alternatywną konwencją znaków dla przestrzeni koła Mohra (konwencja znaku nr 3 na rysunku 5)

Rysowanie koła Mohra

Rysunek 6. Koło Mohra dla płaskich warunków naprężenia i płaskiego odkształcenia (podejście pod podwójnym kątem) . Po analizie naprężeń, składowe naprężeń i ${\ Displaystyle \ sigma _ {x}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {y}}$ i przy ${\ Displaystyle \ tau _ {xy}}$ punkt materialny $znane$ . Te składowe naprężeń działają na dwie prostopadłe płaszczyzny i ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ przechodząc przez ${\ displaystyle P}$ . Współrzędne punktu i ${ \$$płaszczyznach$$B}$$okręgu$ Mohra to składowe naprężenia działające odpowiednio na elementu materialnego $}$ składowych naprężeń $}}$ σ $okręgu$$przechodzącej$ . współrzędne dowolnego punktu naprężenia na , działającego na dowolnej innej $.$ przez Kąt między liniami i ${\ Displaystyle {\ overline$$OD}}}$ dwukrotnością kąta między wektorami normalnymi $\ theta}$ płaszczyzny i ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle D}$ przechodząc przez ${\ displaystyle P}$ .

$Zakładając,$ znamy składowe naprężeń $tau _ {xy}$ x y $\$ punkcie ${\ displaystyle P}$ w badanym obiekcie, jak pokazano na rycinie 4, poniżej przedstawiono kroki, aby skonstruować okrąg Mohra dla stanu naprężeń w: ${\ displaystyle P}$ :

1. Narysuj kartezjański układ współrzędnych z poziomym $układem współrzędnych kartezjańskich$${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}}$${\ operatorname {n}}}$ -oś i oś pionowa ${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}}}$ -oś.
2. Narysuj dwa punkty ${\ Displaystyle A (\ sigma _ {y}, \ tau _ {xy})}$ i ${\ Displaystyle B (\ sigma _ {x}, - \ tau _ {xy}}}$ w ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})}$ przestrzeń odpowiadająca znanym składowym naprężeń na obu prostopadłych płaszczyznach $odpowiednio ($$)$ i 6 , zgodnie z wybraną konwencją znakowania.
3. Narysuj średnicę okręgu , łącząc punkty i $Displaystyle$$B}$ linią prostą ${\ displaystyle {\ overline {AB}}$ .
4. Narysuj koło Mohra . Środek $która$ jest środkiem linii średnicy , $przecięciu$ tej linii z $sigma _{\mathrm {n}}}$ oś.

Znajdowanie głównych naprężeń normalnych

Komponenty naprężeń na obracającym się elemencie 2D . Kliknij, aby zobaczyć animację . Przykład zmiany składowych naprężeń na powierzchniach (krawędziach) elementu prostokątnego w miarę zmiany kąta jego orientacji. Naprężenia główne występują, gdy naprężenia ścinające jednocześnie znikają ze wszystkich ścian. Orientacja, w której to się dzieje, daje główne kierunki . W tym przykładzie, gdy prostokąt jest poziomy, naprężenia są określone jako ${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} \ sigma _ {xx} i \ tau _ {xy} \\\ tau _ {yx} i \ sigma _ {yy} \ koniec {macierz}} \ prawej] = \left[{\begin{macierz}-10&10\\10&15\end{macierz}}\right].}$ Odpowiednie koło Mohra jest pokazane na dole.

Wielkość głównych naprężeń to odcięte punktów i ${$$\ displaystyle E}$ rysunek 6), gdzie okrąg przecina ${\ displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}}}$ -oś. Wielkość głównego głównego naprężenia $zawsze$ największą wartością bezwzględną odciętej dowolnego z tych dwóch punktów Podobnie wielkość mniejszego naprężenia głównego ${\ Displaystyle \ sigma _ {2}}$ jest zawsze najniższą wartością bezwzględną odciętej tych dwóch punktów. Zgodnie z oczekiwaniami rzędne tych dwóch punktów wynoszą zero, co odpowiada wielkości składowych naprężenia ścinającego na płaszczyznach głównych. Alternatywnie, wartości głównych naprężeń można znaleźć za pomocą

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {\ max} = \ sigma _ {\ tekst {śr.}} + R} σ$

${\ Displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {\ min} = \ sigma _ {\ tekst {średnia}} -R}$

gdzie wielkość średniego naprężenia normalnego $.}}}$ odciętą środka, określoną przez ${\ displaystyle \ sigma _ {\ tekst {śr$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ tekst {śr.}} = {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y} )}$

a długość promienia okręgu (na podstawie równania okręgu przechodzącego przez dwa punkty) jest określona przez ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {x} -\ sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Znajdowanie maksymalnych i minimalnych naprężeń ścinających

Maksymalne i minimalne naprężenia ścinające odpowiadają odpowiednio rzędnym najwyższego i najniższego punktu na okręgu. Punkty te znajdują się na przecięciu okręgu z pionową linią przechodzącą przez $środek$ . Zatem wielkość maksymalnych i minimalnych naprężeń ścinających jest równa wartości promienia okręgu ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle \ tau _ {\ maks, \ min} = \ pm R}$

Znajdowanie składowych naprężeń na dowolnej płaszczyźnie

Jak wspomniano wcześniej, po przeprowadzeniu dwuwymiarowej analizy naprężeń znamy składowe naprężeń i ${\ Displaystyle \ sigma _ {x}}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {y}}$ i ${ \ displaystyle \ tau _ {xy}}$ w materialnym punkcie ${\ displaystyle P}$ . Te składowe naprężeń działają w dwóch prostopadłych płaszczyznach przechodzących przez $\ Displaystyle A}$$}$ i ${\ Displaystyle B$${\ operatorname {n}}} }$ \ Displaystyle $_$ , tj. współrzędne dowolnego punktu na okręgu, działającego na dowolnej innej płaszczyźnie przechodzącej przez $tworząc$${\ displaystyle P}$$}$ z płaszczyzną θ $displaystyle \ theta$${\ Displaystyle B}$ . W tym celu można zastosować dwa podejścia: podwójny kąt i biegun lub początek płaszczyzn.

Podwójny kąt

Jak pokazano na rysunku 6, aby określić składowe naprężenia działające na płaszczyźnie $}$${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}} {\ Displaystyle$$ruchu$ pod kątem przeciwnie do $wskazówek$$}$ do płaszczyzny , na której , poruszamy się pod kątem $2\teta}$${\ Displaystyle$${\ Displaystyle B (\ sigma _ {x}, - \ tau _ {xy})}$ do punktu $}, \ tau _ {\ operatorname {n}})},$$}$ czyli kąt liniami ${\ Displaystyle {\ overline {OB}}}$ i $\ Displaystyle {\ overline {OD}}}$ w kręgu Mohra.

Podejście z podwójnym kątem opiera się na fakcie, że kąt między wektorami $normalnymi$ do dowolnych dwóch płaszczyzn fizycznych przechodzących przez (rysunek 4) jest połową kąta między dwiema liniami łączącymi odpowiadające im naprężenia θ {\ $displaystyle \$ punkty ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})}$ na kole Mohra i środku koła.

Ta relacja podwójnego kąta wynika z faktu, że równania parametryczne dla koła Mohra są funkcją ${\ displaystyle 2 \ theta}$ . Można również zauważyć, że płaszczyzny $} 90^{\circ}}$ materialnym elemencie wokół $\ displaystyle$ oddzielone kątem . ZA $}$ i $B$ , które w kole Mohra jest reprezentowane przez ${\ Displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ kąt (podwój kąt).

Biegun lub pochodzenie samolotów

Rysunek 7. Koło Mohra dla płaskich warunków naprężenia i odkształcenia (podejście biegunowe). Każda linia prosta poprowadzona z bieguna przetnie okrąg Mohra w punkcie, który reprezentuje stan naprężenia na płaszczyźnie nachylonej w tej samej orientacji (równoległej) w przestrzeni, co ta linia.

Drugie podejście polega na wyznaczeniu punktu na kole Mohra zwanego biegunem lub początkiem płaszczyzn . Każda linia prosta poprowadzona z bieguna przetnie okrąg Mohra w punkcie, który reprezentuje stan naprężenia na płaszczyźnie nachylonej w tej samej orientacji (równoległej) w przestrzeni, co ta linia. $określone$ znając składowe naprężeń $na$ dowolnej płaszczyźnie, można narysować linię równoległą do tej płaszczyzny przez współrzędne ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}}}$$i$ okręgu Mohra i znajdź biegun jako przecięcie takiej linii z okręgiem Mohra Jako przykład załóżmy, że mamy stan naprężenia ze składowymi naprężenia ${\ Displaystyle \ sigma _ {x}, \!}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {y}, \!}$ i ${\ Displaystyle \ tau _ {xy}, \!}$ , jak pokazano na rysunku 7. Najpierw możemy narysować linię z punktu ${\ displaystyle B}$ równoległa do płaszczyzny działania lub, jeśli wybierzemy inaczej, linia od punktu równoległego do płaszczyzny działania $sigma _ {x}$${\ displaystyle \$${\ Displaystyle \ sigma _ {y}}$ . Przecięcie którejkolwiek z tych dwóch linii z kołem Mohra jest biegunem. Po określeniu bieguna, aby znaleźć stan naprężenia na płaszczyźnie tworzącej kąt z pionem, czyli innymi słowy płaszczyznę, której wektor normalny tworzy kąt ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$ z płaszczyzną poziomą, możemy narysować linię od bieguna równoległą do tej płaszczyzny (patrz rysunek 7). Naprężenia normalne i styczne na tej płaszczyźnie są wówczas współrzędnymi punktu przecięcia prostej z kołem Mohra.

Znalezienie orientacji głównych płaszczyzn

Orientację płaszczyzn, na których działają maksymalne i minimalne naprężenia główne, zwanych również płaszczyznami głównymi , można określić, mierząc w okręgu Mohra odpowiednio kąty ∠BOC i ∠BOE i biorąc połowę każdego z tych kątów. Zatem kąt ∠BOC między i $}}$ większy od kąta ∠BOC między ${\ displaystyle {\ overline {OB}}}$ i $overline {OC}}}$$\ displaystyle {\$ , którą główna płaszczyzna główna tworzy z płaszczyzną ${\ displaystyle B}$ .

Kąty i $_ {p1}}$ również znaleźć z następującego równania $\$

${\ Displaystyle \ dębnik 2 \ teta _ {\ operatorname {p}} = {\ Frac {2 \ tau _ {xy}}} {\ sigma _ {y }-\sigma _{x}}}}$

$.$ równanie definiuje dwie wartości dla $,$ które są (rysunek) To równanie można wyprowadzić bezpośrednio z geometrii koła lub przez ustawienie równania parametrycznego koła dla równego zeru (naprężenie ścinające w głównych płaszczyznach) ${\ displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}}}$ jest zawsze zerem).

Przykład

Cyfra 8

Rysunek 9

Załóżmy, że element materialny znajduje się w stanie naprężenia, jak pokazano na rysunkach 8 i 9, przy czym płaszczyzna jednego z jego boków jest zorientowana pod kątem 10° do płaszczyzny poziomej. Korzystając z koła Mohra znajdź:

• Orientacja ich płaszczyzn działania.
• Maksymalne naprężenia ścinające i orientacja ich płaszczyzn działania.
• Składowe naprężeń na płaszczyźnie poziomej.

Sprawdź odpowiedzi, korzystając ze wzorów transformacji naprężeń lub prawa transformacji naprężeń.

Rozwiązanie: Zgodnie z konwencją znaków mechaniki inżynierskiej dla przestrzeni fizycznej (Rysunek 5), składowe naprężenia dla elementu materiału w tym przykładzie są następujące:

${\ Displaystyle \ sigma _ {x'} = -10 {\ textrm {MPa}}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y'} = 50 {\ textrm { MPa}}}$

${\ Displaystyle \ tau _ {x'y'} = 40 {\ textrm {MPa}}}$ .

Wykonując kroki rysowania koła Mohra dla tego konkretnego stanu naprężenia, najpierw rysujemy kartezjański układ współrzędnych ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}}}}$ z -osią w górę . ${\ displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}}}$

Następnie wykreślamy dwa punkty A(50,40) i B(-10,-40), reprezentujące stan naprężenia w płaszczyźnie A i B, jak pokazano na rysunku 8 i rysunku 9. Punkty te są zgodne z konwencją znaków mechaniki inżynierskiej dla przestrzeń koła Mohra (rysunek 5), która zakłada dodatnie naprężenia normalne na zewnątrz elementu materialnego oraz dodatnie naprężenia ścinające na każdej płaszczyźnie obracającej element materialny zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W ten sposób naprężenie ścinające działające na płaszczyźnie B jest ujemne, a naprężenie ścinające działające na płaszczyźnie A jest dodatnie. Średnica okręgu to prosta łącząca punkty A i B. Środek okręgu to przecięcie tej prostej z ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}}}$ -oś. Znając zarówno położenie środka, jak i długość średnicy, jesteśmy w stanie wykreślić okrąg Mohra dla tego konkretnego stanu naprężenia.

Odcięte obu punktów E i C (rysunek 8 i rysunek 9) przecinające oś $odpowiednio$ wielkości minimalnego i maksymalnego naprężenia normalnego; rzędne obu punktów E i C są wielkościami naprężeń ścinających działających odpowiednio na mniejszą i większą płaszczyznę główną, co wynosi zero dla płaszczyzn głównych.

Chociaż pomysł wykorzystania koła Mohra polega na graficznym znalezieniu różnych składowych naprężeń poprzez faktyczny pomiar współrzędnych różnych punktów na okręgu, wygodniej jest potwierdzić wyniki analitycznie. Zatem promień i odcięta środka okręgu są równe

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = {\ sqrt {\ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) \ prawo] ^ {2} +\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^ {2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\koniec {wyrównany}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {\ operatorname {śr.}} & = {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}) \\& = {\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{wyrównane}}}$

a główne naprężenia to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {1} & = \ sigma _ {\ operatorname {śr.}} + R \\& = 70 {\ textrm { MPa}} \\\ koniec {wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {2} & = \ sigma _ {\ operatorname {śr. } }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{wyrównane}}}$

Współrzędne obu punktów H i G (rysunek 8 i rysunek 9) to odpowiednio wartości minimalnego i maksymalnego naprężenia ścinającego; odcięte dla obu punktów H i G to wielkości naprężeń normalnych działających na tych samych płaszczyznach, w których działają odpowiednio minimalne i maksymalne naprężenia ścinające. Wielkości minimalnych i maksymalnych naprężeń ścinających można znaleźć analitycznie za pomocą

${\ Displaystyle \ tau _ {\ maks, \ min} = \ pm R = \ pm 50 {\ textrm {MPa}}}$

a naprężenia normalne działające na tych samych płaszczyznach, w których działają minimalne i maksymalne naprężenia ścinające, są równe ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {śr.}}}$

Możemy wybrać podejście z podwójnym kątem (Rysunek 8) lub podejście biegunowe (Rysunek 9), aby znaleźć orientację głównych naprężeń normalnych i głównych naprężeń ścinających.

Stosując metodę podwójnego kąta, mierzymy kąty ∠BOC i ∠BOE w kole Mohra (Rysunek 8), aby znaleźć podwójny kąt, jaki główne naprężenie główne i mniejsze naprężenie główne tworzą z płaszczyzną B w przestrzeni fizycznej. Aby uzyskać dokładniejsze wartości tych kątów, zamiast ręcznego pomiaru kątów, możemy użyć wyrażenia analitycznego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 \ theta _ {\ operatorname { p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10- 50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{wyrównane}}}$

Jednym z rozwiązań jest: ${\ Displaystyle 2 \ theta _ {p} = -53,13 ^ {\ circ}}$ . Patrząc na rysunek 8, wartość ta odpowiada kątowi ∠BOE. Zatem mniejszy kąt główny wynosi

${\ Displaystyle \ teta _ {p2} = -26,565 ^ {\ circ}}$

Wtedy głównym kątem głównym jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 \ teta _ {p1} & = 180-53,13 ^ {\ circ} = 126,87 ^ {\ circ }\\\theta _{p1}&=63,435^{\circ }\\\end{wyrównane}}}$

${\ displaystyle \ theta _$ tym konkretnym przykładzie i są kątami względem płaszczyzny działania ${\ displaystyle \ theta _ {p1}}$$} }$$zorientowany$ w osi , a nie kąty względem płaszczyzny działania ( zorientowany w osi x ) $}}$${\ displaystyle x}$ -oś).

Korzystając z podejścia biegunowego, najpierw lokalizujemy biegun lub początek płaszczyzn. W tym celu rysujemy przez punkt A na okręgu Mohra linię nachyloną o 10 ° do poziomu, czyli innymi słowy linię równoległą do płaszczyzny A, na której działa. σ y ′ {\ displaystyle \ sigma _ { $}$ Biegun to miejsce, w którym ta linia przecina koło Mohra (ryc. 9). Aby potwierdzić $której$ bieguna, moglibyśmy narysować linię przechodzącą przez punkt B na okręgu Mohra, równoległą do płaszczyzny B, . Linia ta przecinałaby również koło Mohra na biegunie (ryc. 9).

Od bieguna rysujemy linie do różnych punktów na okręgu Mohra. Współrzędne punktów przecięcia tych linii z kołem Mohra wskazują składowe naprężeń działające na płaszczyznę w przestrzeni fizycznej o takim samym nachyleniu jak linia. Na przykład linia od bieguna do punktu C na okręgu ma takie samo nachylenie jak płaszczyzna w przestrzeni fizycznej, gdzie ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}}$ dzieje. Płaszczyzna ta tworzy kąt 63,435° z płaszczyzną B, zarówno w przestrzeni koła Mohra, jak iw przestrzeni fizycznej. W ten sam sposób linie są śledzone od bieguna do punktów E, D, F, G i H, aby znaleźć składowe naprężeń na płaszczyznach o tej samej orientacji.

Koło Mohra dla ogólnego trójwymiarowego stanu naprężeń

Rysunek 10. Koło Mohra dla trójwymiarowego stanu naprężenia

Aby skonstruować okrąg Mohra dla ogólnego trójwymiarowego przypadku naprężeń w punkcie, wartości głównych naprężeń ${\ Displaystyle \ lewo (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3} \ prawej)}$ i ich główne kierunki ${\ Displaystyle \ lewo (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} \ prawo )}$ należy najpierw ocenić.

$}$$x_$ , zamiast ogólnego układu współrzędnych i zakładając, że x { ${1}$ że ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}> \ sigma _ {2}> \ sigma _ {3}}$ , to normalne i ścinające składowe wektora naprężeń ${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})}}$ dla danej płaszczyzny z wektorem jednostkowym ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ , spełniają następujące równania

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (T ^ {(n)} \ prawo) ^ {2} & = \ sigma _ {ij} \ sigma _ {ik} n_ {j} n_ {k} \\ \sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n}}^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+ \sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {n}} = \ sigma _ {1} n_ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} n_ {2} ^ {2} + \ sigma _ {3} n_{3}^{2}.}$

wiedząc, że ${\ Displaystyle n_ {i} n_ {i} = n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2} = 1}$ , możemy rozwiązać dla ${\ Displaystyle n_ {1} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle n_ {2} ^ {2}}$ , ${\ displaystyle n_ {3} ^ {2}}$ przy użyciu metody eliminacji Gaussa co daje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} n_ {1} ^ {2} & = {\ Frac {\ tau _ {\ operatorname {n}} ^ {2} + (\ sigma _ { \mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2}) (\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n}}^{2} +(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\ sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n } }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{wyrównane}}}$

ponieważ $)$$i$ n_ jest nieujemne, liczniki z tych równań są spełnione

${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n}} ^ {2} + (\ sigma _ {\ operatorname {n}} - \ sigma _ {2}) (\ sigma _ {\ operatorname {n}} - \ sigma _ {3}) \ geq 0}$ jako mianownik ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} - \ sigma _{2}>0}$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}> 0}$

${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0}$ jako σ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}> 0$ } ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}<0}$

${\ Displaystyle \ tau _ {\ operatorname {n } }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n}}-\sigma _{2})\geq 0}$ as mianownik ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}<0}$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} - \ sigma _ {2}<0.}$

Wyrażenia te można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau _ {\ operatorname {n}} ^ {2} + \ lewo [\ sigma _ {\ operatorname {n}} - {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3}) \right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n}}-{\tfrac {1}{2}}(\ sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3}) \right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n}}-{\tfrac {1}{2}}(\ sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2}) \right)^{2}\\\end{wyrównane}}}$

które są równaniami trzech okręgów Mohra dla naprężenia $\ Displaystyle C_ {2}$ do $}$ i $Displaystyle C_ {3}}$${\ Displaystyle R_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3})}$ , z promieniami , ${\ Displaystyle R_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3})}$ i ${\ Displaystyle R_ {3} = {\ tfrac {1}{2}} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2})}$ i ich środki o współrzędnych ${\ Displaystyle \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}), 0 \ prawo]}$ , ${\ Displaystyle \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}), 0 \ prawo]}$ , ${\ Displaystyle \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}), 0 \ prawo]},$ odpowiednio.

Te równania dla kręgów Mohra pokazują, że wszystkie dopuszczalne punkty naprężeń leżą na tych kręgach ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})}$ lub w zacienionym obszarze przez nie ujętym (patrz Ryc. 10). Punkty naprężeń ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})}$ spełniające równanie dla okręgu ${\ Displaystyle C_ {1} }$ leżeć na lub poza okręgiem ${\ Displaystyle C_ {1}}$ . Punkty naprężeń ${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ operatorname {n}}, \ tau _ {\ operatorname {n}})}$ spełniające równanie dla okręgu ${\ Displaystyle C_ {2} }$ leżeć na lub wewnątrz koła ${\ displaystyle C_ {2}}$ . wreszcie $_$ _ ${\ Displaystyle C_ {3}}$ leżeć na lub poza okręgiem ${\ Displaystyle C_ {3}}$ .

Zobacz też

• Analiza płaszczyzny krytycznej

Bibliografia

•   Piwo, Ferdynand Pierre; Elwooda Russella Johnstona; Johna T. DeWolfa (1992). Mechanika materiałów . Profesjonalista McGraw-Hill. ISBN 0-07-112939-1 .
•   Brady, BHG; ET Brown (1993). Mechanika skał w górnictwie podziemnym (wyd. Trzecie). Wydawnictwo Naukowe Kluwer. s. 17–29. ISBN 0-412-47550-2 .
•   Davis, RO; Selvadurai. APS (1996). Sprężystość i geomechanika . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. s. 16–26. ISBN 0-521-49827-9 .
•   Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). Wprowadzenie do inżynierii geotechnicznej . Prentice-Hall seria inżynierii lądowej i mechaniki inżynierskiej. Prentice Hall. ISBN 0-13-484394-0 .
•   Jaeger, John Conrad; kucharz, NGW; Zimmerman, RW (2007). Podstawy mechaniki skał (wyd. Czwarte). Wiley-Blackwell. s. 9–41. ISBN 978-0-632-05759-7 .
•   Jumikis, Alfreds R. (1969). Teoretyczna mechanika gruntów: z praktycznymi zastosowaniami w mechanice gruntów i inżynierii fundamentów . Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-04199-3 .
•   Parry, Richard Hawley Gray (2004). Kręgi Mohra, ścieżki naprężeń i geotechnika (wyd. 2). Taylora i Franciszka. s. 1–30. ISBN 0-415-27297-1 .
•   Tymoszenko, Stefan P .; Jamesa Normana Goodiera (1970). Teoria elastyczności (wyd. Trzecie). Wydania międzynarodowe McGraw-Hill. ISBN 0-07-085805-5 .
•   Tymoszenko, Stephen P. (1983). Historia wytrzymałości materiałów: z krótkim opisem historii teorii sprężystości i teorii struktur . Dover Książki o fizyce. Publikacje Dover. ISBN 0-486-61187-6 .

Linki zewnętrzne

• Koło Mohra i inne kręgi autorstwa Rebeki Brannon
• Pakiet nauczania i uczenia się DoITPoMS - „Analiza naprężeń i koło Mohra”