Krzywizna przestrzeni i czasu, ze wstępem do analizy geometrycznej
Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis to podręcznik dla studentów matematyki i fizyki dotyczący geometrii różniczkowej , skupiający się na zastosowaniach w ogólnej teorii względności . Został napisany przez Ivę Stavrov na podstawie kursu, który prowadziła w Instytucie Matematyki Park City w 2013 r., a następnie w Lewis & Clark College i został opublikowany w 2020 r. przez American Mathematical Society jako część ich serii książek Student Mathematical Library.
Tematy
Krzywizna przestrzeni i czasu jest podzielona na pięć rozdziałów, w sumie 14 sekcji, z których każda obejmuje materiał o wartości jednego wykładu. Jego tematy są ujęte zarówno matematycznie, jak i historycznie, z odniesieniem do oryginalnych materiałów źródłowych Bernharda Riemanna i innych. Jednak celowo unika niektórych tematów z topologii różniczkowej , które tradycyjnie były omawiane na kursach geometrii różniczkowej, w tym abstrakcyjnych rozmaitości i wektorów stycznych . Zamiast tego podchodzi do tematu poprzez geometrię opartą na współrzędnych, kładąc nacisk na wielkości, które są niezmienne przy zmianach współrzędnych. Jego cele obejmują zarówno zapewnienie uczniom skróconej ścieżki do zrozumienia matematyki Einsteina, jak i promowanie krzywizny jako głównego sposobu opisywania kształtu i geometrii.
Pierwszy rozdział definiuje rozmaitości Riemanna jako osadzone podzbiory przestrzeni euklidesowych, a nie jako przestrzenie abstrakcyjne. Wykorzystuje symbole Christoffela do formułowania równań różniczkowych , których rozwiązaniem jest geodezja , i opisuje wzór Koszula i funkcjonał energii. Przykłady obejmują metrykę euklidesową , geometrię sferyczną , geometrię rzutową i półpłaszczyznowy model płaszczyzny hiperbolicznej Poincarégo . Rozdział 2 obejmuje pola wektorowe , gradienty , rozbieżności , pochodne kierunkowe , rachunek tensorowy , nawiasy Liego , tożsamości Greena , zasadę maksimum i związek Levi-Civita . Rozpoczyna dyskusję na temat krzywizny i tensora krzywizny Riemanna , która jest kontynuowana w rozdziale 3, „sercu książki”, którego tematy obejmują pola Jacobiego , krzywiznę Ricciego , krzywiznę skalarną , twierdzenie Myersa , nierówność biskupa-Gromowa i transport równoległy .
Po tych matematycznych wstępach ostatnie dwa rozdziały są bardziej fizyczne, z czwartym rozdziałem dotyczącym szczególnej teorii względności , ogólnej teorii względności , metryki Schwarzschilda i współrzędnych Kruskala-Szekeresa . Tematy w ostatnim rozdziale obejmują analizę geometryczną , równanie Poissona dla potencjalnych pól rozkładu ładunków oraz masę w ogólnej teorii względności .
Publiczność i odbiór
Jak zwykle w przypadku podręcznika, Curvature of Space and Time zawiera ćwiczenia, które poszerzają zakres jego tematów i sprawiają, że nadaje się jako tekst na kursy licencjackie. Chociaż istnieje wiele podręczników na poziomie licencjackim na temat geometrii różniczkowej, generalnie przyjęły one abstrakcyjny matematyczny pogląd na ten temat, aw momencie publikacji Krzywizny przestrzeni i czasu kursy oparte na tym materiale nieco wyszły z mody. Ta książka jest niezwykła, ponieważ przyjmuje bardziej bezpośrednie podejście do części przedmiotu, które są najbardziej istotne dla fizyki. Jednak chociaż próbuje omówić ten materiał w sposób samodzielny, recenzent Mark Hunacek ostrzega, że może on być zbyt zaawansowany dla typowych studentów matematyki i być może lepiej zarezerwowany dla studentów z wyróżnieniem, a także „matematycznie wyrafinowanych kierunków fizyki”. Sugeruje również książkę jako wprowadzenie do obszaru dla badaczy innych tematów.
Recenzent Hans-Bert Rademacher nazywa to „niezwykłą książką” z „doskonałymi motywacjami i spostrzeżeniami”, ale sugeruje, że jest to raczej uzupełnienie standardowych tekstów i kursów niż główna podstawa nauczania tego materiału. I chociaż znalazł błąd w kilku szczegółach, recenzent Justin Corvino sugeruje, że dzięki wskazówkom wydziału dotyczącym tych trudnych punktów książka byłaby odpowiednia zarówno do samodzielnej nauki lub kursu z zaawansowanych tematów, jak i „lektura obowiązkowa” dla uczniów entuzjastycznie nastawionych do nauki matematyki za teoriami Einsteina.