Masa w ogólnej teorii względności

Pojęcie masy w ogólnej teorii względności (GR) jest bardziej subtelne do zdefiniowania niż pojęcie masy w szczególnej teorii względności . W rzeczywistości ogólna teoria względności nie oferuje jednej definicji terminu masa, ale oferuje kilka różnych definicji, które mają zastosowanie w różnych okolicznościach. W pewnych okolicznościach masa układu w ogólnej teorii względności może nawet nie zostać zdefiniowana.

Powodem tej subtelności jest to, że energii i pędu w polu grawitacyjnym nie można jednoznacznie zlokalizować. (Patrz rozdział 20.) Tak więc rygorystyczne definicje masy w ogólnej teorii względności nie są lokalne, jak w mechanice klasycznej czy szczególnej teorii względności, ale odnoszą się do asymptotycznej natury czasoprzestrzeni. Dobrze zdefiniowane pojęcie masy istnieje dla czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskich i przestrzeni asymptotycznie anty-de Sittera . Jednak definicje te muszą być używane ostrożnie w innych ustawieniach.

Definiowanie masy w ogólnej teorii względności: pojęcia i przeszkody

W szczególnej teorii względności masę spoczynkową cząstki można jednoznacznie zdefiniować za pomocą jej energii i pędu, jak opisano w artykule o masie w szczególnej teorii względności . Uogólnienie pojęcia energii i pędu na ogólną teorię względności jest jednak subtelne. Głównym tego powodem jest to, że samo pole grawitacyjne przyczynia się do energii i pędu. Jednak „energia pola grawitacyjnego” nie jest częścią tensora energia-pęd; zamiast tego to, co można zidentyfikować jako udział pola grawitacyjnego w całkowitej energii, jest częścią tensora Einsteina po drugiej stronie równania Einsteina (i jako takie jest konsekwencją nieliniowości tych równań). Podczas gdy w pewnych sytuacjach daje się przepisać równania tak, że część "energii grawitacyjnej" stoi teraz obok innych członów źródłowych w postaci naprężenie-energia-pęd pseudotensor , to rozdzielenie nie jest prawdziwe dla wszystkich obserwatorów i nie ma ogólnej definicji jego uzyskania.

Jak zatem zdefiniować pojęcie jako całkowitą masę systemu – co jest łatwe do zdefiniowania w mechanice klasycznej? Jak się okazuje, przynajmniej dla czasoprzestrzeni, które są asymptotycznie płaskie (z grubsza mówiąc, które reprezentują jakiś izolowany system grawitacyjny w skądinąd pustej i wolnej od grawitacji nieskończonej przestrzeni), podział ADM 3+1 prowadzi do rozwiązania: jak w zwykłym hamiltonianie formalizm , kierunek czasu zastosowany w tym podziale ma powiązaną energię, którą można scałkować, aby uzyskać globalną wielkość znaną jako masa ADM (lub równoważnie energia ADM). Alternatywnie istnieje możliwość zdefiniowania masy dla czasoprzestrzeni , która jest stacjonarna , czyli taka, która ma czasopodobne pole wektorowe Killinga (które jako pole generujące czas jest kanonicznie sprzężone z energią); wynikiem jest tak zwana masa Komara Chociaż zdefiniowana w zupełnie inny sposób, można wykazać, że jest ona równoważna masie ADM dla stacjonarnych czasoprzestrzeni. Definicję całki Komara można również uogólnić na pola niestacjonarne, dla których istnieje co najmniej asymptotyczna symetria translacji czasu ; narzucając pewien warunek cechowania, można zdefiniować energię Bondiego w nieskończoności zero. W pewnym sensie energia ADM mierzy całą energię zawartą w czasoprzestrzeni, podczas gdy energia Bondiego wyklucza te części, które są przenoszone przez fale grawitacyjne do nieskończoności. Wiele wysiłku włożono w udowodnienie twierdzeń o dodatniości dla właśnie zdefiniowanych mas, między innymi dlatego, że dodatniość, a przynajmniej istnienie dolnej granicy, ma wpływ na bardziej fundamentalną kwestię ograniczoności od dołu: gdyby nie było dolnej granicy dla energii, to żaden izolowany system nie byłby absolutnie stabilny; zawsze istniałaby możliwość rozpadu do stanu o jeszcze niższej energii całkowitej. Istnieje kilka rodzajów dowodów na to, że zarówno masa ADM, jak i masa Bondiego są rzeczywiście pozytywne; w szczególności oznacza to, że Przestrzeń Minkowskiego (dla której oba są zerowe) jest rzeczywiście stabilna. Chociaż skupiono się tutaj na energii, istnieją analogiczne definicje globalnego pędu; mając pole kątowych wektorów Killinga i stosując technikę Komara, można również zdefiniować globalny moment pędu.

Ilości quasi-lokalne

Wadą wszystkich dotychczas wspomnianych definicji jest to, że są one definiowane tylko w (zerowej lub przestrzennej) nieskończoności; od lat siedemdziesiątych fizycy i matematycy pracowali nad bardziej ambitnym przedsięwzięciem, jakim było zdefiniowanie odpowiednich quasi-lokalnych , takich jak masa układu izolowanego zdefiniowana wyłącznie przy użyciu wielkości określonych w skończonym obszarze przestrzeni zawierającym ten układ. Jednakże, chociaż istnieje wiele proponowanych definicji, takich jak energia Hawkinga , energia Gerocha lub quasi-lokalny pęd Penrose'a oparty na skręcie metody, dziedzina wciąż się zmienia. Ostatecznie istnieje nadzieja na użycie odpowiednio zdefiniowanej quasi-lokalnej masy w celu dokładniejszego sformułowania hipotezy obręczy , udowodnienia tak zwanej nierówności Penrose'a dla czarnych dziur (odnoszącej masę czarnej dziury do obszaru horyzontu) i znalezienia -lokalna wersja praw mechaniki czarnych dziur.

Rodzaje mas w ogólnej teorii względności

Masa Komara w czasoprzestrzeniach stacjonarnych

Nietechniczna definicja czasoprzestrzeni stacjonarnej to czasoprzestrzeń, w której żaden ze współczynników metrycznych $jest$ czasu Metryka Schwarzschilda czarnej dziury i metryka Kerra obracającej się czarnej dziury to typowe przykłady czasoprzestrzeni stacjonarnych.

Z definicji stacjonarna czasoprzestrzeń wykazuje symetrię translacji czasu . Jest to technicznie nazywane wektorem zabijania podobnym do czasu . Ponieważ system ma symetrię translacji czasu, twierdzenie Noether gwarantuje, że ma on zachowaną energię. Ponieważ układ stacjonarny ma również dobrze zdefiniowaną ramę spoczynkową, w której jego pęd można uznać za zerowy, określenie energii układu określa również jego masę. W ogólnej teorii względności masa ta nazywana jest masą Komara układu. Masę Komara można zdefiniować tylko dla układów stacjonarnych.

Masę Komara można również zdefiniować za pomocą całki strumienia. Jest to podobne do sposobu, w jaki prawo Gaussa definiuje ładunek zawarty w powierzchni jako normalna siła elektryczna pomnożona przez powierzchnię. Całka strumienia używana do określenia masy Komara różni się jednak nieco od tej używanej do określenia pola elektrycznego - siła normalna nie jest siłą rzeczywistą, ale „siłą w nieskończoności”. Zobacz główny artykuł po więcej szczegółów.

Z tych dwóch definicji opis masy Komara w kategoriach symetrii translacji czasu zapewnia najgłębszy wgląd.

Masy ADM i Bondiego w asymptotycznie płaskich czasoprzestrzeniach

Jeśli układ zawierający źródła grawitacyjne jest otoczony nieskończonym obszarem próżni, geometria czasoprzestrzeni będzie dążyć do zbliżenia się do płaskiej geometrii Minkowskiego szczególnej teorii względności w nieskończoności. Takie czasoprzestrzeń są znane jako czasoprzestrzeń „asymptotycznie płaska”.

Dla systemów, w których czasoprzestrzeń jest asymptotycznie płaska , można zdefiniować energię, pęd i masę ADM i Bondiego. Jeśli chodzi o twierdzenie Noether, energia, pęd i masa ADM są określone przez asymptotyczne symetrie w nieskończoności przestrzennej , a energia, pęd i masa Bondiego są określone przez asymptotyczne symetrie w nieskończoności zerowej . Zauważ, że masa jest obliczana jako długość czterowektora energii i pędu , który można traktować jako energię i pęd układu „w nieskończoności”.

Energia ADM jest określona przez następującą całkę strumienia w nieskończoności. Jeśli czasoprzestrzeń jest asymptotycznie płaska, oznacza to, że w pobliżu „nieskończoności” metryka dąży do metryki płaskiej przestrzeni. Asymptotyczne odchylenia metryki od płaskiej przestrzeni można sparametryzować za pomocą

{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h_ {\ mu \ nu}}

gdzie $płaskiej$ . Energia ADM $nieskończoności$ wtedy dana przez całkę po powierzchni w

{\ Displaystyle P ^ {0} = {1 \ ponad 16 \ pi G} \ int \ lewo (\ częściowe ^{k}h_{jk}-\częściowe ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}

gdzie jest $skierowaną$ na zewnątrz normalną do $displaystyle S}$ . Konwencja sumowania Einsteina jest przyjmowana dla powtarzalnych wskaźników, ale suma po k i j przebiega tylko w kierunkach przestrzennych. Użycie w powyższym wzorze pochodnych zwykłych zamiast pochodnych kowariantnych jest uzasadnione założeniem, że geometria asymptotyczna jest płaska.

Pewną intuicję dla powyższego wzoru można uzyskać w następujący sposób. Wyobraźmy sobie, że bierzemy powierzchnię S jako powierzchnię sferyczną, tak że normalna jest skierowana promieniowo na zewnątrz. $r ^ {- 1}}$ źródła energii, r , oczekuje się, że tensor $Displaystyle$ jako i pochodna r przekształca to w ${\ displaystyle r ^ {- 2}}$ Powierzchnia kuli o dużym promieniu również rośnie dokładnie tak, jak ${\ displaystyle r ^ {2}}$ i dlatego uzyskuje się skończoną wartość energii.

Możliwe jest również uzyskanie wyrażeń na pęd w asymptotycznie płaskiej czasoprzestrzeni. Aby uzyskać takie wyrażenie, określa się

{\ Displaystyle H ^ {\ mu \ alfa \ nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta}-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \ beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu } }

Gdzie

{\ Displaystyle {\ bar {h}} _ {\ mu \ nu} = h _ {\ mu \ nu} - {1 \ ponad 2} \ eta _{\mu \nu }h_{\alfa }^{\alfa }}

Wtedy pęd jest uzyskiwany przez całkę strumienia w asymptotycznie płaskim obszarze

{\ Displaystyle P ^ {\ mu} = {1 \ ponad 16 \ pi G} \ int \ częściowe _ {\ alfa} H ^ {\ mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}

Zauważ, że wyrażenie na otrzymane z powyższego $wzoru$ pokrywa się z podanym powyżej wyrażeniem na energię ADM, co można łatwo sprawdzić za pomocą wyraźnego wyrażenia na

Granica Newtona dla prawie płaskich czasoprzestrzeni

W granicy Newtona, dla układów quasi-statycznych w prawie płaskich czasoprzestrzeniach, można przybliżyć całkowitą energię układu, dodając do siebie niegrawitacyjne składniki energii układu, a następnie odejmując newtonowską grawitacyjną energię wiązania .

Przekładając powyższe stwierdzenie na język ogólnej teorii względności, mówimy, że układ w prawie płaskiej czasoprzestrzeni ma całkowitą energię niegrawitacyjną E i pęd P określony wzorem:

{\ Displaystyle E = \ int _ {v} T_ {00} dV \ qquad P ^ {i} = \ int _ {V} T_ {0i }dV}

Kiedy składowe wektora pędu układu wynoszą zero, tj. P ⁱ = 0, przybliżona masa układu wynosi po prostu ( _{wiązanie E+E} )/c ^{2 , przy czym}_wiązanie E jest liczbą ujemną reprezentującą newtonowskie samowiązanie grawitacyjne energia.

Dlatego też, gdy zakłada się, że system jest quasi-statyczny, zakłada się, że nie ma w nim znaczącej energii w postaci „fal grawitacyjnych”. Kiedy zakłada się, że system znajduje się w „prawie płaskiej” czasoprzestrzeni, zakłada się, że współczynniki metryczne są zasadniczo Minkowskiego w granicach dopuszczalnego błędu eksperymentalnego.

Można zauważyć, że wzory na całkowitą energię i pęd powstają naturalnie w tej granicy w następujący sposób. W zlinearyzowanej granicy równania ogólnej teorii względności można zapisać w postaci

{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ alfa} \ częściowe _ {\ beta} H ^ {\ mu \ alfa \ nu \ beta} = 16 \ pi GT ^{\mu \nu}}

W tym limicie całkowity pęd energii układu jest po prostu określony przez całkowanie tensora naprężenia na plastrze przypominającym przestrzeń.

{\ Displaystyle P ^ {\ mu} = \ int T ^ {\ mu 0} d ^ {3} x}

Ale używając równań ruchu, można to również zapisać jako

{1 \ ponad 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \ponad 16\pi G}\int \częściowy _{\alpha }\częściowy _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}

$. nu}$ $, a druga równość$ fakt, w i ${\ Displaystyle \ beta}$ . Wreszcie, używa się prawa Gaussa do przekształcenia całki rozbieżności na wycinku przestrzennym na całkę po kuli Gaussa

int \ częściowe _ { \alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \ponad 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}

co dokładnie pokrywa się ze wzorem na całkowity pęd podanym powyżej.

Historia

W 1918 roku David Hilbert napisał w korespondencji z Kleinem o trudnościach w przypisywaniu energii do „pola” i „nieudanym twierdzeniu o energii” . W tym liście Hilbert przypuszczał, że ta porażka jest charakterystyczną cechą ogólnej teorii i że zamiast „właściwych twierdzeń o energii” mamy „niewłaściwe twierdzenia o energii”.

To przypuszczenie zostało wkrótce potwierdzone przez jedną z bliskich współpracowników Hilberta, Emmy Noether . Twierdzenie Noether ma zastosowanie do każdego układu, który można opisać zasadą działania . Twierdzenie Noether wiąże zachowane energie z symetriami translacji czasu. Gdy symetria translacji czasu jest grupą ciągłą o skończonych parametrach , taką jak grupa Poincarégo , Twierdzenie Noether definiuje zachowaną energię skalarną dla danego systemu. Jednak gdy symetria jest nieskończoną ciągłą grupą parametrów, istnienie energii zachowanej nie jest gwarantowane. W podobny sposób twierdzenie Noether wiąże zachowane pędy z translacjami przestrzennymi, gdy grupa symetrii translacji jest skończona. Ponieważ ogólna teoria względności jest dyfeomorfizmem teoria niezmienników , ma raczej nieskończoną ciągłą grupę symetrii niż grupę symetrii o skończonych parametrach, a zatem ma niewłaściwą strukturę grup, aby zagwarantować zachowanie energii. Twierdzenie Noether miało ogromny wpływ na inspirowanie i unifikację różnych idei masy, energii układu i pędu układu w ogólnej teorii względności.

Przykładem zastosowania twierdzenia Noether jest przykład stacjonarnych czasoprzestrzeni i związanej z nimi masy Komara (Komar 1959). Podczas gdy ogólne czasoprzestrzeń nie ma symetrii translacji czasu o skończonych parametrach, stacjonarne czasoprzestrzenie mają taką symetrię, znaną jako wektor zabijania . Twierdzenie Noether dowodzi, że takie stacjonarne czasoprzestrzeni muszą mieć skojarzoną zachowaną energię. Ta zachowana energia określa zachowaną masę, masę Komar.

Masę ADM wprowadzono (Arnowitt i in., 1960) z formuły ogólnej teorii względności o wartości początkowej. Został on później przeformułowany w kategoriach grupy asymptotycznych symetrii w nieskończoności przestrzennej, grupy SPI, przez różnych autorów. (Odbyło się, 1980). To przeformułowanie zrobiło wiele, aby wyjaśnić teorię, w tym wyjaśnić, dlaczego pęd ADM i energia ADM przekształcają się jako 4-wektor (Held, 1980). Zauważ, że grupa SPI jest w rzeczywistości nieskończenie wymiarowa. Istnienie zachowanych wielkości wynika z tego, że grupa „super-translacji” SPI ma preferowaną 4-parametrową podgrupę „czystych” translacji, które zgodnie z twierdzeniem Noether generują zachowany 4-parametrowy pęd energii. Normą tej 4-parametrowej energii-pędu jest masa ADM.

Masa Bondiego została wprowadzona (Bondi, 1962) w artykule badającym utratę masy układów fizycznych przez promieniowanie grawitacyjne. Masa Bondiego jest również powiązana z grupą symetrii asymptotycznych, grupą BMS w zerowej nieskończoności. Podobnie jak grupa SPI w nieskończoności przestrzennej, grupa BMS w nieskończoności zerowej jest nieskończenie wymiarowa i ma również preferowaną 4-parametrową podgrupę „czystych” tłumaczeń.

Innym podejściem do problemu energii w ogólnej teorii względności jest użycie pseudotensorów , takich jak pseudotensor Landaua-Lifshitza (Landau i Lifshitz, 1962). Pseudotensory nie są niezmiennikami cechowania - z tego powodu dają spójne, niezależne od cechowania odpowiedzi dla całkowitej energii tylko wtedy, gdy spełnione są dodatkowe ograniczenia (takie jak asymptotyczna płaskość). Zależność pseudotensorów od cechowania zapobiega również jakiejkolwiek niezależnej od cechowania definicji lokalnej gęstości energii, ponieważ każdy inny wybór miernika skutkuje inną lokalną gęstością energii.

Zobacz też

Notatki

Ashtekar, Abhay; Magnon-Asztekar, Anne (1979). „O zachowanych wielkościach w ogólnej teorii względności”. Journal of Mathematical Physics . Wydawnictwo AIP. 20 (5): 793–800. Bibcode : 1979JMP....20..793A . doi : 10.1063/1.524151 . ISSN 0022-2488 .
Komar, Artur (1959). „Kowariantne prawa zachowania w ogólnej teorii względności”. fizyka ks . 113 (3): 934–936. Bibcode : 1959PhRv..113..934K . doi : 10.1103/PhysRev.113.934 .
Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, CW (15.03.1960). „Zmienne kanoniczne dla ogólnej teorii względności” (PDF) . Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 117 (6): 1595-1602. Bibcode : 1960PhRv..117.1595A . doi : 10.1103/physrev.117.1595 . ISSN 0031-899X . S2CID 120715041 .
Arnowitt, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles W. (1962). „Dynamika ogólnej teorii względności”. W Witten, L. (red.). Grawitacja: wprowadzenie do bieżących badań . Wiley'a. s. 227–265.
Bondi, H.; Van Der Burg, MGJ; Metzner, AWK (1962-08-21). „Fale grawitacyjne w ogólnej teorii względności, VII. Fale z osiowo-symetrycznego układu izolowanego”. Postępowanie Royal Society of London. Seria A. Nauki matematyczne i fizyczne . Towarzystwo Królewskie. 269 (1336): 21–52. Bibcode : 1962RSPSA.269...21B . doi : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN 2053-9169 . S2CID 120125096 .
Trzymany (1980). Ogólna teoria względności i grawitacja, sto lat po narodzinach Einsteina, tom 2 . Prasa plenum. ISBN 978-0-306-40266-1 .
Szabados, László B. (2004). „Pęd energii quasi-lokalnej i moment pędu w GR” . Żyjący ks. Relativ . 7 (1): 4. Bibcode : 2004LRR.....7....4S . doi : 10.12942/lrr-2004-4 . PMC 5255888 . PMID 28179865 .
Townsend, PK (1997). „Czarne dziury (notatki z wykładu)” . arXiv : gr-qc/9707012 .
Wald, Robert M. (1984). ogólna teoria względności . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2 .
Nakumura, Tadas K. (2005). „Kowariantna termodynamika obiektu o skończonej objętości”. Fizyka Litery A. 352 (3): 175–177. arXiv : fizyka/0505004 . Bibcode : 2006PhLA..352..175N . doi : 10.1016/j.physleta.2005.11.070 . S2CID 14211373 .
Carlip, S. (1999). „Energia kinetyczna i zasada równoważności”. American Journal of Physics . 66 (5): 409–413. arXiv : gr-qc/9909014 . Bibcode : 1998AmJPh..66..409C . CiteSeerX 10.1.1.340.3195 . doi : 10.1119/1.18885 . S2CID 119052544 .
„Jeśli jedziesz za szybko, czy stajesz się czarną dziurą?” Zaktualizowany przez Don Koksa 2008. Oryginał: Philip Gibbs 1996. Oryginalne FAQ dotyczące fizyki Usenetu
Olson, DW; Guarino, RC (1985). „Pomiar aktywnej masy grawitacyjnej poruszającego się obiektu”. American Journal of Physics . 53 (7): 661. Bibcode : 1985AmJPh..53..661O . doi : 10.1119/1.14280 .

Linki zewnętrzne

„Czy energia jest zachowana w ogólnej teorii względności?