Model Bosego-Hubbarda

Bosego -Hubbarda zawiera opis fizyki oddziałujących bezwirowych bozonów na siatce . Jest ściśle powiązany z modelem Hubbarda , który powstał w fizyce ciała stałego jako przybliżony opis układów nadprzewodzących i ruchu elektronów między atomami krystalicznej substancji stałej . Model został wprowadzony przez Gerscha i Knollmana w 1963 roku w kontekście nadprzewodników ziarnistych. (Termin „ Bose ” w nazwie odnosi się do faktu, że cząstki w układzie są bozonowe .) Model zyskał na znaczeniu w latach 80. znacznie bardziej przystępne matematycznie niż modele fermionowego izolatora metalowego.

Model Bosego-Hubbarda można wykorzystać do opisania układów fizycznych, takich jak atomy bozonowe w sieci optycznej , a także niektóre izolatory magnetyczne. Ponadto można go uogólnić i zastosować do mieszanin Bosego – Fermiego, w którym to przypadku odpowiedni hamiltonian nazywany jest hamiltonianem Bosego – Fermiego – Hubbarda.

Hamiltonian

Fizykę tego modelu podaje hamiltonian Bosego-Hubbarda:

${ \ Displaystyle H = - t \ suma _ {\ lewo \ langle i, j \ prawo \ rangle} \ lewo ({\ kapelusz {b}} _ {i} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {b}} _ { j}+{\kapelusz {b}}_{j}^{\sztylet}}{\kapelusz {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i} {\kapelusz {n}}_{i}\left({\kapelusz {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\kapelusz {n}}_{i} }$ .

Tutaj $Displaystyle \ lewo \ langle i, j \ prawo \ rangle}$ \ oznacza sumowanie po wszystkich sąsiednich miejscach sieci $displaystyle$$j}$ , podczas gdy ${\ displaystyle {\ kapelusz {b}} _ {i} ^ {\ sztylet}} i$$\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} _ {i} ^ {}}$ ja to bozonowe operatory tworzenia i anihilacji takie, że ${\ Displaystyle {\ kapelusz {n}} _ {i} = {\ kapelusz {b}} _ {i} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {b}} _ {i }}$ podaje liczbę cząstek na miejscu ${\ displaystyle i}$ . Model jest sparametryzowany przez skokową amplitudę $która$$)$$interakcję$ na miejscu, która może być atrakcyjna ( lub odpychająca ( ${\ displaystyle U> 0}$$)$ i potencjał chemiczny , zasadniczo określa liczbę cząstek. Jeśli nie jest określony, zazwyczaj wyrażenie „model Bosego – Hubbarda” odnosi się do przypadku, w którym interakcja na miejscu jest odrażająca.

Ten hamiltonian ma globalną $, co oznacza, że$ przez transformację ${\ displaystyle {\ kapelusz {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\kapelusz {b}}_{i}}$ . W nadciekłej ta symetria jest spontanicznie łamana .

Przestrzeń Hilberta

Wymiar przestrzeni Hilberta modelu Bosego-Hubbarda jest określony przez ${\ Displaystyle D_ {b} = (N_ {b} + L-1)!/N_ {b}! (L-1)!}, gdzie N b {\ Displaystyle N_ {$ b $to$ całkowita liczba cząstek , podczas gdy $całkowitą$ liczbę miejsc kratowych. Przy ustalonym $lub ,$ przestrzeni Hilberta $b$$stałej$ gęstości $b}}$ { $n_ {$ bozonów na miejsce, rośnie wykładniczo jako ${\ textstyle D_ {b} \ sim \ lewo [(1 + n_ {b })\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$ . Analogiczne hamiltoniany można sformułować w celu opisania fermionów bez spinu (model Fermiego-Hubbarda) lub mieszanin różnych rodzajów atomów (na przykład mieszaniny Bosego – Fermiego). W przypadku mieszaniny przestrzeń Hilberta jest po prostu iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta poszczególnych gatunków. Zazwyczaj dołącza się dodatkowe terminy, aby modelować interakcje między gatunkami.

Diagram fazowy

W temperaturze zerowej model Bosego-Hubbarda (przy braku nieporządku) znajduje się albo w stanie izolującym Motta przy małym $}$ albo w stanie nadciekłym przy dużym $/U}$$displaystyle$ . Fazy ​​​​izolujące Motta charakteryzują się całkowitymi gęstościami bozonów, istnieniem przerwy energetycznej dla wzbudzeń cząstka-dziura oraz zerową ściśliwością . Nadciek charakteryzuje się koherencją fazową dalekiego $zasięgu ,$ hamiltonianu , niezerową ściśliwością i podatnością na W niezerowej temperaturze, w pewnych reżimach parametrów, pojawia się regularna faza płynna, która nie łamie $spójności$ fazowej. Obie te fazy zaobserwowano eksperymentalnie w ultrazimnych gazach atomowych.

W obecności nieporządku istnieje trzecia faza „szkła Bose”. Szkło Bose jest fazą Griffithsa i można je traktować jako izolator Motta zawierający rzadkie „kałuże” nadciekłości. Te zbiorniki nadciekłe nie są ze sobą połączone, więc system pozostaje izolujący, ale ich obecność znacząco zmienia termodynamikę modelu. Faza szkła Bosego charakteryzuje się skończoną ściśliwością, brakiem szczeliny i nieskończoną podatnością na nadciekłość . Jest izolujący pomimo braku szczeliny, ponieważ niskie tunelowanie zapobiega generowaniu wzbudzeń, które choć mają zbliżoną energię, są przestrzennie oddzielone. Szkło Bose ma niezerowy parametr rzędu Edwardsa – Andersona i sugerowano (ale nie udowodniono), aby wyświetlał łamanie symetrii repliki .

Teoria pola średniego

Fazy ​​​​czystego modelu Bosego-Hubbarda można opisać za pomocą hamiltonianu pola średniego :

$${\$$

gdzie $liczbą$ koordynacyjną sieci . Można to uzyskać z pełnego hamiltonianu Bosego-Hubbarda, ustawiając ${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} _ {i} \ rightarrow \ psi + \ delta {\ kapelusz {b}} }$ gdzie ${\ Displaystyle \ psi = \ langle {\ kapelusz {b}} _ {i} \ rangle}$ , zaniedbując wyrazy kwadratowe w ${\ Displaystyle \ delta {\ kapelusz {b }} _ {i}}$ (przypuszczalnie nieskończenie mały) i ponowne oznakowanie ${\ Displaystyle \ delta {\ kapelusz {b}} _ {i} \ rightarrow {\ hat {b}} _ {i} }$ . Ponieważ to oddzielenie łamie symetrię początkowego $porządku$ dla wszystkich niezerowych wartości , $działa$ parametr parametr Dla uproszczenia to oddzielenie zakłada $supersolidy$ że ​​jest takie samo w każdym miejscu, co wyklucza egzotyczne fazy, takie jak lub inne fazy niejednorodne. (Możliwe są inne rozłączenia). Diagram fazowy można wyznaczyć, obliczając energię tego hamiltonianu pola średniego przy użyciu teorii zaburzeń drugiego rzędu i znajdując warunek, dla którego ${\ displaystyle \ psi \ neq 0}$ . Aby to zrobić, hamiltonian jest zapisywany jako element lokalny w miejscu plus perturbacja:

$${\ Displaystyle H _ {\ textrm {MF}} = \ suma _ {i} \ lewo [h_ {i} ^ {(0)} -zt (\ psi ^ {*} {\ kapelusz {b}}_ {i}+\psi {\kapelusz {b}}_{i}^{\sztylet}}\right]\quad {\textrm {z}}\quad h_{i}^{(0 )}=-\mu {\kapelusz {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\kapelusz {n}}_{i}({\kapelusz {n}}_{i }-1)+zt\psi ^{*}\psi }$$

$koniugat$ warunki dwuliniowe zaburzenie. Zakłada się $, że$ parametr rzędu mały w pobliżu przejścia fazowego. Termin lokalny jest ukośny w podstawie Focka , co daje udział energii zerowego rzędu:

$${\ Displaystyle E_ {m} ^ {(0)} = - \ mu m + {\ Frac {U} {2}} m (m-1) + zt | \ psi | ^ {2}}$$

gdzie jest $całkowitą$ oznaczającą wypełnienie stanu Focka. Utwór perturbacyjny można potraktować za pomocą teorii perturbacji drugiego rzędu, co prowadzi do:

$${\ Displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = zt | \ psi | ^ {2} \ suma _ {n \ neq m} {\ Frac {| \ langle m | ({\ kapelusz {b}} _ {i}^{\sztylet }+{\kapelusz {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{( 0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+ 1}{\mu -Um}}\prawo).}$$

Energię można wyrazić jako rozwinięcie szeregu w parzystych potęgach parametru porządku (znanego również jako formalizm Landaua ):

$${\ Displaystyle E = {\ tekst {stała}} + R | \ psi | ^ {2} + W | \ psi | ^ {4} + ...}$$

Po wykonaniu tej czynności warunek przejścia fazowego drugiego rzędu w średnim polu między izolatorem Motta a fazą nadciekłą jest określony wzorem:

$${\ Displaystyle r = {\ Frac {R} {zt}} = 1 + zt \ left({\frac {m}{U(m-1)-\mu}}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0}$$

gdzie $całkowita$$opisuje$ wypełnienie Motta $Wykreślenie$ linii dla wartości całkowitych generuje granicę różnych płatów Motta, jak pokazano na $.$

Implementacja w sieciach optycznych

Ultrazimne atomy w sieciach optycznych są uważane za standardową realizację modelu Bosego-Hubbarda. Możliwość dostrojenia parametrów modelu za pomocą prostych technik eksperymentalnych i brak dynamiki sieci, która jest obecna w półprzewodnikowych układach elektronicznych, oznacza, że ​​ultrazimne atomy oferują czystą, kontrolowaną realizację modelu Bosego-Hubbarda. Największym minusem technologii sieci optycznych jest czas życia pułapki, przy czym atomy są zwykle uwięzione tylko na kilkadziesiąt sekund.

Aby zobaczyć, dlaczego ultrazimne atomy oferują tak wygodną realizację fizyki Bosego-Hubbarda, hamiltonian Bosego-Hubbarda można wyprowadzić, zaczynając od drugiego skwantowanego hamiltonianu, który opisuje gaz ultrazimnych atomów w potencjale sieci optycznej. Ten hamiltonian jest dany przez:

${\ Displaystyle H = \ int {\ rm {d}} ^ {3}r\!\left[{\kapelusz {\psi}}^{\sztylet}({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}} \nabla ^{2}+V_{\rm {szer.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi}}({\vec {r}})+{\frac { g}{2}}{\kapelusz {\psi}}^{\sztylet}({\vec {r}}){\kapelusz {\psi}}^{\sztylet}({\vec {r}}) {\kapelusz {\psi}}({\vec {r}}){\kapelusz {\psi}}({\vec {r}})-\mu {\kapelusz {\psi}}^{\sztylet} ({\vec {r}}){\kapelusz {\psi}}({\vec {r}})\right]}$ ,

gdzie $sieci$$potencjałem$ , $.$ amplitudą (kontaktu) chemicznym $\limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }} , co prowadzi do hamiltonianu Bosego-Hubbarda, w którym fizyka jest ograniczona do$${\ textstyle {\ kapelusz {\ psi}} ({\ vec {r}})$ = \ suma najniższego $,$ ( ) a interakcje są lokalne na poziomie trybu dyskretnego Matematycznie można to określić jako wymaganie, że ${\ textstyle \ int w_ {i } ^ {\ alfa } ({\ vec {r}}) w_ {j} ^ {\ beta } ({\ vec {r}}) w_ {k} ^ {\ gamma } (r) w_ {l} ^ {\delta}({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ z wyjątkiem przypadku ${ \displaystyle i=j=k=l\klin \alpha =\beta =\gamma =\delta =0}$ . Tutaj $displaystyle$ funkcją w potencjale sieci ja $}$$\$ i sieci i $Blocha$ pasma .

Subtelności i przybliżenia

Przybliżenie ścisłego wiązania znacznie upraszcza drugi skwantowany hamiltonian, choć jednocześnie wprowadza kilka ograniczeń:

• W przypadku stanów jednomiejscowych z kilkoma cząstkami w jednym stanie interakcje mogą łączyć się z wyższymi pasmami Blocha, co jest sprzeczne z podstawowymi założeniami. Mimo to model jednopasmowy jest w stanie zająć się fizyką niskoenergetyczną takiego ustawienia, ale z parametrami U i J, które stają się zależne od gęstości. Zamiast jednego parametru U energię interakcji n cząstek można opisać jako $bliską$ nie równą U.
• Rozważając (szybką) dynamikę sieci, do hamiltonianu dodaje się dodatkowe wyrazy, tak że zależne od czasu równanie Schrödingera jest przestrzegane w (zależnej od czasu) podstawie funkcji Wanniera. Terminy pochodzą z zależności czasowej funkcji Wanniera. W przeciwnym razie dynamikę sieci można uwzględnić, uzależniając kluczowe parametry modelu od czasu, zmieniając się wraz z chwilową wartością potencjału optycznego.

Wyniki eksperymentalne

$Hubbarda$ zaobserwowali eksperymentalnie Greiner i wsp., a parametry interakcji zależne od gęstości grupa Immanuela Blocha . Obrazowanie modelu Bosego-Hubbarda w rozdzielczości pojedynczego atomu jest możliwe od 2009 roku przy użyciu kwantowych mikroskopów gazowych.

Dalsze zastosowania

Model Bosego-Hubbarda jest interesujący w dziedzinie obliczeń kwantowych i informacji kwantowej. Za pomocą tego modelu można badać splątanie ultrazimnych atomów.

Symulacja numeryczna

$co$ termin proporcjonalny do oznacza, że ​​​​duże zajęcie pojedynczego miejsca jest nieprawdopodobne, co pozwala na obcięcie lokalnej przestrzeni Hilberta do stanów zawierających ${\ displaystyle d <\ infty}$ cząsteczki. Wtedy lokalny wymiar przestrzeni Hilberta wynosi $d + 1.$ Hilberta rośnie wykładniczo wraz z liczbą miejsc w sieci, ograniczając dokładne symulacje komputerowe całej przestrzeni Hilberta do układów 15-20 cząstki w 15-20 miejscach sieci. Systemy eksperymentalne zawierają kilka milionów miejsc, ze średnim wypełnieniem powyżej jedności.

Jednowymiarowe kraty można badać za pomocą grupy renormalizacji macierzy gęstości (DMRG) i powiązanych technik, takich jak dziesiątkowanie bloków ewoluujących w czasie (TEBD). Obejmuje to obliczanie stanu podstawowego hamiltonianu dla układów tysięcy cząstek w tysiącach miejsc sieciowych i symulowanie jego dynamiki regulowanej zależnym od czasu równaniem Schrödingera . Ostatnio, sieci dwuwymiarowe zostały zbadane przy użyciu rzutowanych stanów par splątanych , uogólnienia stanów iloczynu macierzy w wyższych wymiarach, zarówno dla stanu podstawowego, jak i temperatury skończonej.

Wyższe wymiary są znacznie trudniejsze ze względu na szybki wzrost splątania .

Wszystkie wymiary mogą być traktowane przez kwantowe algorytmy Monte Carlo, , które umożliwiają badanie właściwości stanów termicznych hamiltonianu, aw szczególności stanu podstawowego.

Uogólnienia

Hamiltoniany podobne do Bosego-Hubbarda można wyprowadzić dla różnych układów fizycznych zawierających ultrazimny gaz atomowy w potencjale okresowym. Zawierają:

• układy z interakcjami gęstość-gęstość o dłuższym zasięgu w postaci , które mogą stabilizować fazę superstałą dla pewnych wartości parametrów ${\ displaystyle Vn_ {i} n_ {j}}$
• dimeryzowane magnesy, w których elektrony o spinie 1/2 są połączone razem w pary zwane dimerami, które mają statystyki wzbudzenia bozonowego i są opisane przez model Bosego-Hubbarda
• oddziaływanie dipolarne dalekiego zasięgu
• systemy z warunkami tunelowania wywołanymi interakcjami ${\ Displaystyle a_ {i} ^ {\ sztylet} (n_ {i} + n_ {j}) a_ {j}}$
• wewnętrzna struktura spinowa atomów, na przykład z powodu uwięzienia całej zdegenerowanej rozmaitości nadsubtelnych stanów spinowych (dla F=1 prowadzi to do modelu Bosego-Hubbarda o spinie 1) [
• sytuacje, w których gaz doświadcza dodatkowego potencjału - na przykład w układach nieuporządkowanych. Nieporządek może być realizowany przez wzór plamek lub przy użyciu drugiej, niewspółmiernej, słabszej sieci optycznej. W tym drugim przypadku włączenie zaburzenia sprowadza się do włączenia dodatkowego terminu postaci: ${\ Displaystyle H_ {I} = V_ {d} \ sum \ granice _{i}\cos(ki+\varphi){\kapelusz {n}}_{i}}$ .

Zobacz też

• Model Jaynesa-Cummingsa-Hubbarda