Model Bueno-Orovio-Cherry-Fentona

Model Bueno-Orovio-Cherry-Fenton , zwany także po prostu modelem Bueno-Orovio , jest minimalnym modelem jonowym dla ludzkich komórek komorowych . Należy do kategorii modeli fenomenologicznych , ze względu na swoją charakterystykę opisu zachowania elektrofizjologicznego komórek mięśnia sercowego bez szczegółowego uwzględnienia fizjologii leżącej u podstaw i specyficznych mechanizmów zachodzących wewnątrz komórek.

Ten model matematyczny odtwarza zarówno pojedyncze komórki , jak i ważne właściwości na poziomie tkanki , uwzględniając rozwój fizjologicznego potencjału czynnościowego i szacunki prędkości przewodzenia . Zapewnia również wybór określonych parametrów, pochodzących z algorytmów dopasowywania parametrów MATLAB Optimization Toolbox , do modelowania tkanek nasierdzia, wsierdzia i mięśnia sercowego . W ten sposób możliwe jest dopasowanie morfologii potencjału czynnościowego, obserwowanych na podstawie danych eksperymentalnych, w trzech różnych obszarach ludzkich komór. Model Bueno-Orovio-Cherry-Fentona jest również w stanie opisać dynamikę fali zwrotnej i spiralnej , która występuje na przykład podczas tachykardii lub innych typów zaburzeń rytmu serca .

Z matematycznego punktu widzenia składa się z układu czterech równań różniczkowych . Jedno PDE , podobne do modelu jednodomenowego , dla bezwymiarowej wersji potencjału transbłonowego oraz trzy ODE , które definiują ewolucję tzw . zmiennych bramkujących , czyli funkcji gęstości prawdopodobieństwa , których celem jest modelowanie frakcji otwartych kanałów jonowych w komórce membrana .

Modelowanie matematyczne

Ewolucja tylko w czasie (tj. przypadek pojedynczej komórki serca) zmiennych modelu jonowego Bueno-Orovio ${\ displaystyle u, v, w, s}$

Układ czterech równań różniczkowych brzmi następująco:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki }{\dfrac {\częściowe u}{\częściowe t}}=\nabla \cdot (D\nabla u)-(J_{fi}+J_{więc}+J_{si})&{\text{w} }\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\częściowe v}{\częściowe t}}={\dfrac {(1-H(u-\theta _{v}))( v_{\infty}-v)}{\tau _{v}^{-}}}-{\dfrac {H(u-\theta _{v})v}{\tau _{v}^{+ }}}&{\text{w }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\częściowe w}{\częściowe t}}={\dfrac {(1-H(u -\theta _{w}}}(w_{\infty }-w)}{\tau _{w}^{-}}}-{\dfrac {H(u-\theta _{w})w} {\tau _{w}^{+}}}&{\text{in}}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\częściowe s}{\częściowe t}}= {\dfrac {1}{\tau _{s}}}\left({\dfrac {1+\tanh(k_{s}(u-u_{s})}}{2}}-s\right) &{\text{in }}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\big (}D\nabla u{\big )}\cdot {\boldsymbol {N}}=0&{\text {on }}\częściowe \Omega \times (0,T)\\[5pt]u=u_{0},\,v=v_{0},\,w=w_{0},\,s=s_ {0}&{\text{w }}\Omega \times \{0\}\end{przypadki}}}$

gdzie $to$ domena przestrzenna, a $.$ ostateczny Warunki początkowe są następujące : ${\ displaystyle u_ {0}=0}$ , ${\ displaystyle v_ {0} = 1}$ , ${\ displaystyle w_ {0} = 1}$ , ${\ displaystyle s_{0}=0}$ .

${\ Displaystyle H (xx_ {0})}$ odnosi się do funkcji Heaviside wyśrodkowanej w ${\ Displaystyle x_ {0}}$ . $transbłonowy$ potencjał $_$ przeskalować mV pomocą afinicznej _ ${\ displaystyle v}$ , ${\ displaystyle w}$ i $s}$$displaystyle$ odnoszą się do zmiennych bramkowania, gdzie w szczególności być również używane jako wskazanie wewnątrzkomórkowego wapnia ${ \displaystyle {{Ca}_{i}}^{2+}}$ stężenie (podane w awymiarowym zakresie [0, 1] zamiast stężenia molowego ).

${\ Displaystyle J_ {fi}, J_ {so}}$$odpowiednio$ szybkimi prądami do wewnątrz, wolnymi na zewnątrz i wolnymi do wewnątrz , następującymi :

${\ Displaystyle J_ {fi} = - {\ Frac {vH (u- \ theta _ {v})(u-\theta _{v})(u_{u}-u)}{\tau _{fi}}},}$

${\ Displaystyle J_ {więc} = {\ Frac {(u-u_ {o}) (1-H (u- \ theta _$

${\ Displaystyle J_ {si} = - {\ Frac {H (u- \ theta _ {w}) ws} {\ tau _ {si}}}}$

Wszystkie wyżej wymienione prądy gęstości jonowej są częściowo bezwymiarowe i są wyrażane w ciągu ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ text {sekund}}}}$ .

Różne zestawy parametrów, jak pokazano w Tabeli 1, można wykorzystać do odtworzenia rozwoju potencjału czynnościowego ludzkich komórek komorowych nasierdzia, wsierdzia i środkowej części mięśnia sercowego. Istnieją pewne stałe modelu, których nie ma w Tabeli 1, które można wywnioskować za pomocą następujących wzorów:

${\ Displaystyle \ tau _ {v} ^ {-} = (1 -H(u-\theta _{v}^{-}))\tau _{v_{1}}^{-}+H(u-\theta _{v}^{-})\tau _{ v_ {2}}^{-},}$

${\ Displaystyle \ tau _ {w} ^ {-} = \ tau _ {w_ {1}} ^ {-} + (\ tau _ {w_ {2}} ^ {-} - \ tau _ {w_ {1}}^{-})(1+\tanh(k_{w}^{-}(u-u_{w}^{-}))/2,}$

${\ Displaystyle \ tau _ {więc} = \ tau _ {{więc} _ {1}}+(\tau _{{więc}_{2}}-\tau _{{więc}_{1}})(1+\tanh(k_{więc}(u-u_{więc}) }) / 2,}$

${\ Displaystyle \ tau _ {s} = (1-H ( u-\theta _{w}}}\tau _{s_{1}}+H(u-\theta _{w})\tau _{s_{2}},}$

${\ Displaystyle \ tau _ {o} = (1-H (u- \ teta _ {o}}) \ tau _ { o_ {1}} + H (u- \ theta _ {o}) \ tau _ {o_ {2}},}$

${\ Displaystyle v _ {\ infty} =1-H(u-\theta _{v}^{-}),}$

${\ Displaystyle w _ {\ infty} = (1-H (u- \ theta _ {o})} (1-u / \ tau _ {w_ {\ infty}}) + H (u- \ theta _ {o })w_{\infty}^{*}.}$

gdzie stałe czasowe, tj. ${\ Displaystyle \ tau _ {v} ^ {-}, \ tau _ {w} ^ {-}, \ tau _ {więc}, \ tau _ {s}, \ tau _ {o}}$ są wyrażone w sekundach, podczas gdy ${\ Displaystyle v _ {\ infty}}$ i są dwuwymiarowe ${\ Displaystyle w_ {\ infty}}$ .

Współczynnik dyfuzji ${$ wartość $\ tekst {cm}} ^ {2}} {\ tekst {sekund}} }}$ , który pochodzi z testów eksperymentalnych na ludzkich tkankach komorowych.

Aby wywołać rozwój potencjału czynnościowego w określonej pozycji domeny , wymuszający termin $}},t)}$${\ Displaystyle J _ {\ text {app}} ({\ boldsymbol$${$ , który reprezentuje przyłożony zewnętrznie prąd gęstości, jest zwykle dodawany po prawej stronie PDE i działa tylko przez krótki okres czasu.

Tabela 1: wartości parametrów dla różnych położeń serca człowieka

Parametr	${\ displaystyle u_ {o}}$	${\ displaystyle u_ {u}}$	${\ Displaystyle \ teta _ {v}}$	${\ Displaystyle \ theta _ {w}}$	${\ Displaystyle \ teta _ {v} ^ {-}}$	${\ Displaystyle \ teta _ {o}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {v_ {1}} ^ {-}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {v_ {2}} ^ {-}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {v} ^ {+}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {w_ {1}} ^ {-}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {w_ {2}} ^ {-}}$	${\ displaystyle k_ {w} ^ {-}}$	${\ displaystyle u_ {w} ^ {-}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {w} ^ {+}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {fi}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {o_ {1}}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {o_ {2}}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {{więc} _ {1}}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {{więc} _ {2}}}$	${\ displaystyle k_ {tak}}$	${\ displaystyle u_ {więc}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {s_ {1}}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {s_ {2}}}$	${\ displaystyle k_ {s}}$	${\ displaystyle u_ {s}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {si}}$	${\ Displaystyle \ tau _ {w _ {\ infty}}}$	${\ Displaystyle w _ {\ infty} ^ {*}}$
Jedność miary	-	-	-	-	-	-	sekundy	sekundy	sekundy	sekundy	sekundy	-	-	sekundy	sekundy	sekundy	sekundy	sekundy	sekundy	-	-	sekundy	sekundy	-	-	sekundy	-	-
nasierdzie	0	1,55	0,3	0,13	0,006	0,006	60e-3	1150e-3	1.4506e-3	60e-3	15e-3	65	0,03	200e-3	0.11e-3	400e-3	6e-3	30.0181e-3	0,9957e-3	2.0458	0,65	2.7342e-3	16e-3	2,0994	0,9087	1.8875e-3	0,07	0,94
wsierdzie	0	1,56	0,3	0,13	0,2	0,006	75e-3	10e-3	1.4506e-3	6e-3	140e-3	200	0,016	280e-3	0.1e-3	470e-3	6e-3	40e-3	1.2e-3	2	0,65	2.7342e-3	2e-3	2,0994	0,9087	2.9013e-3	0,0273	0,78
mięśnia sercowego	0	1.61	0,3	0,13	0,1	0,005	80e-3	1.4506e-3	1.4506e-3	70e-3	8e-3	200	0,016	280e-3	0,078e-3	410e-3	7e-3	91e-3	0,8e-3	2.1	0,6	2.7342e-3	4e-3	2,0994	0,9087	3.3849e-3	0,01	0,5

Słaby preparat

Załóżmy, że ${$ się do wektora zawierającego wszystkie zmienne bramkowania, tj. $z}} = [v, w zawiera$ _ $_$ _ odpowiednie trzy prawe strony modelu jonowego. Model Bueno-Orovio – Cherry – Fenton można przepisać w postaci zwartej:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ dfrac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} - \ nabla \ cdot (D \ nabla u) + (J_ {fi} + J_ {tak} + J_ {si})=0&{\text{in}}\Omega \times (0,T)\\[5pt]{\dfrac {\częściowy {\boldsymbol {z}}}{\częściowy t}}={\ boldsymbol {F}}(u,{\boldsymbol {z}})&{\text{in}}\Omega \times (0,T)\\\end{przypadki}}}$

Niech ${\ Displaystyle p \ w U = H ^ {1} (\ Omega)}$ i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {q} }\in {\boldsymbol {W}}=[L^{2}(\Omega )]^{3}}$ będą dwiema ogólnymi funkcjami testowymi.

Aby otrzymać słaby preparat :

• pomnóż przez pierwsze równanie modelu i przez $Displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ in {\ boldsymbol$$}$ równania ewolucji zmienne bramkujące. Całkowanie obu elementów wszystkich równań $domenie$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle \ int _ {\ Omega}} {\ dfrac {du (t)}} {dt}} p \, d \ Omega - \ int _ {\ Omega} \nabla \cdot (D\nabla u(t))p\,d\Omega +\int _{\Omega }(J_{fi}+J_{so}+J_{si})p\,d\Omega = 0&\forall p\in U\\[5pt]\displaystyle\int _{\Omega}}{\dfrac {d{\boldsymbol {z}}(t)}{dt}}{\boldsymbol {q}}\, d\Omega =\int _{\Omega}{\boldsymbol {F}}(u(t),{\boldsymbol {z}}(t)){\boldsymbol {q}}\,d\Omega &\forall {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}\end{cases}}}$

• wykonaj całkowanie przez części składnika dyfuzyjnego pierwszego równania podobnego do domeny:

${\ Displaystyle - \ int _ {\ Omega} \ nabla \cdot (D\nabla u(t))p\,d\Omega =\int _{\Omega }D\nabla u(t)\nabla p\,d\Omega -{\cancelto {\text{Neumann BC}}{\int _{\częściowe \Omega}(D\nabla u(t))\cdot {\boldsymbol {N}}p\,d\Omega}}}$

Wreszcie słabe sformułowanie brzmi:

Znajdź ${\ Displaystyle u \ w L ^ {2} (0, T; H ^ {1} (\ Omega))}$ i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {z}} \ w L ^ {2} (0, T; [L ^ {2} (\ Omega)] ^ {3})}$ , ${\ Displaystyle \ forall t \ in (0, T)}$ , tak że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle \ int _ {\ Omega}} {\ Frac {du (t)}} {dt}} p\,d\Omega +\int _{\Omega }D\nabla u(t)\cdot \nabla p\,d\Omega +\int _{\Omega }(J_{fi}+J_{więc}+ J_ {si}) p \, d \ Omega = 0& \ forall p \ w U \\ [5pt] \ Displaystyle \ int _ {\ Omega}} {\ frac {d {\ boldsymbol {z}} (t)}} dt}}{\boldsymbol {q}}\,d\Omega =\int _{\Omega}}{\boldsymbol {F}}(u(t),{\boldsymbol {z}}(t)){\boldsymbol {q}}\,d\Omega &\forall {\boldsymbol {q}}\in {\boldsymbol {W}}\\[5pt]u(0)=u_{0}\\[5pt]{\boldsymbol {z}}(0)={\boldsymbol {z}}_{0}\end{przypadki}}}$

Dyskretyzacja numeryczna

Istnieje kilka metod dyskretyzacji w przestrzeni tego układu równań, takich jak metoda elementów skończonych (MES) czy analiza izogeometryczna (IGA).

Dyskretyzację czasu można również przeprowadzić na kilka sposobów, na przykład za pomocą $wzoru$ różniczkowania wstecznego (BDF) rzędu metody Runge-Kutty (RK).

Dyskretyzacja przestrzeni za pomocą MES

Niech $będzie$ teselacją domeny obliczeniowej $h$ pomocą określonego typu elementów ( ${\ displaystyle h}$ lub sześciany ) , z reprezentujący wybraną miarę wielkości pojedynczego elementu ${\ Displaystyle K \ in {\ mathcal {T}} _ {h}}$ . Rozważmy $_$ wielomianów stopniu mniejszym $równym$ nad $_$ _ Zdefiniuj ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} _ {h} ^ {r} = \ {f \ w C ^ {0} ({\ bar {\ Omega} }):f|_{K}\in \mathbb {P} ^{r}(K)\,\,\forall K\in {\mathcal {T}}_{h}\}} jako skończony$ wymiar przestrzeń, której wymiar to ${\ Displaystyle N_ {h} = \ dim ({\ mathcal {X}} _ {h} ^ {r})}$ . Zbiór funkcji bazowych $i}\}_{i=1}^{N_{h}}}$$godz$ jako ${\ Displaystyle \ {\ phi$ .

Półdyskretyzowane sformułowanie pierwszego równania modelu brzmi: znajdź ${\ Displaystyle u_ {h} = u_ {h} (t ) = \ suma _ {j = 1} ^ {N_ {h}} {\ bar {u}} _ {j} (t) \ phi _ {j}} rzut rozwiązania u ($ t $u (t)}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} _ {h} ^ {r}}$ , ${\ Displaystyle \ forall t \ w (0, T)$ } takie że

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega}} {\ kropka {u}} _ {h} \ phi _ {i} \, d \ Omega + \ int _ {\ Omega} (D \ nabla u_ {h}) \ cdot \nabla \phi _{i}\,d\Omega +\int _{\Omega }J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d\Omega =0\quad {\text{dla}}i=1,\ldots,N_{h}}$

z ${\ Displaystyle u_ {h} (0) = \ suma _ {j = 1} ^ {N_ {h}} \ left(\int _{\Omega }u_{0}\phi _{j}\,d\Omega \right)\phi _{j}}$ , ${\ boldsymbol {z}} _ {h} = {\ boldsymbol {z}} _ {h} (t) = [v_ {h} ( t),w_{h}(t),s_{h}(t)]^{T}}$ półdyskretyzowana wersja trzech zmiennych bramkujących i ${\ Displaystyle J _ {\ tekst {ion}} (u_ {h}, {\ boldsymbol {z}} _ {h})=J_{fi}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})+J_{więc}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h}) +J_{si}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})}$ to prąd o całkowitej gęstości jonowej.

$_ _{h}(t)=\{{\bar {u}}_{j}(t)\}_{j=1}^{N_{h}}}$ nieliniowych i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {Z}} _ {h} (t) = \ {{\ bar {\ boldsymbol {z}}} _ {j} (t) \} _{j=1}^{N_{h}}}$ :

${\ Displaystyle {\begin{przypadki}\mathbb {M} {\dot {\boldsymbol {U}}}_ {h}(t)+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}}_{h}(t)+ {\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {Z}}_{h}(t))=0&\forall t\in (0,T)\\{\boldsymbol {U}}_{h}(0)={\boldsymbol {U}}_{0,h}\end{przypadki}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {M} _ {ij} = \ int _ {\ Omega} \ phi _ {j} \ phi _ {i} \, d \ Omega }$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {K} _ {ij} = \ int _ {\ Omega} D \ nabla \ phi _ {j} \ cdot \ nabla \phi _{i}\,d\Omega }$ i ${\ displaystyle \left({\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {z}}_{h}(t)) \right)_{i}=\int _{\Omega }J_{\text{ion}}(u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d \Omega}$ .

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {J}} _ {\ text {ion}} ({\ boldsymbol {U}} _ {h$ jon można traktować na różne sposoby, na przykład za pomocą interpolacji zmiennej stanu (SVI) lub interpolacji prądów jonowych (ICI). W ramach SVI, oznaczając za pomocą ${\ Displaystyle \ {{\ boldsymbol {x}} _ {s} ^ {K} \} _ {s = 1} ^ {N_ {q}}}$ i $\ omega _ {s} ^ {K} \} _ {s = 1} ^ {N_ {q}}}$ { węzły kwadraturowe i wagi ogólnego elementu siatki, $u_ {h}}$$displaystyle {\$ , jak i $displaystyle {\ displaystyle {$ są oceniane w węzłach kwadraturowych:

$\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} J _ {\ tekst {ion}} (u_{h},{\boldsymbol {z}}_{h})\phi _{i}\,d\Omega \około \sum _{K\in {\mathcal {T}}_{h}} \left(\sum _{s=1}^{N_{q}}J_{\text{ion}}\left(\sum _{j=1}^{N_{h}}{\bar {u} }_{j}(t)\phi _{j}({\boldsymbol {x}}_{s}^{K}),\sum _{j=1}^{N_{h}}{\bar {\boldsymbol {z}}}_{j}(t)\phi _{j}({\boldsymbol {x}}_{s}^{K})\right)\phi _{i}({\ symbol pogrubienia {x}}_{s}^{K})\omega _{s}^{K}\right)}$

Równania dla trzech zmiennych bramkowania, które są ODE, są bezpośrednio rozwiązywane we wszystkich stopniach swobody (DOF) teselacji oddzielnie, co prowadzi do następującego ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {h}}$ postać półdyskretna:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ kropka { \boldsymbol {Z}}}_{h}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{h}(t),{\boldsymbol {Z}}_{h}( t))&\forall t\in (0,T)\\{\boldsymbol {Z}}_{h}(0)={\boldsymbol {Z}}_{0,h}\end{przypadki}} }$

Dyskretyzacja czasu za pomocą BDF (schemat niejawny)

${\ Displaystyle$ odniesieniu do przedziału czasu $0, T]$ będzie krokiem czasu, z liczbą $podprzedziałów N.$ podział w czasie ${\ Displaystyle [t_ {0 }=0,t_{1}=\Delta t,\ldots ,t_{k},\ldots ,t_{N-1},t_{N}=T]} ostatecznie otrzymane$ .

Na tym etapie pełna dyskretyzacja modelu jonowego Bueno-Orovio może być przeprowadzona zarówno w sposób monolityczny, jak i segregowany. W ${\ Displaystyle ({\ boldsymbol {U}} _ {h} ^ {k + 1}, {\ boldsymbol {Z}} _ {h} ^ {k + 1})} za$ do pierwszej metodologii (monolitycznej), w czasie $jest całkowicie rozwiązany w jednym kroku$ aby pomocą albo metoda Newtona , albo iteracje punktu stałego :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {M} \ alfa {\ dfrac {{\ boldsymbol {U}} _ {h} ^{k+1}-{\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}} _{h}^{k+1}+{\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z }}_ {h}^{k+1})=0\\\alpha {\dfrac {{\boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1}-{\boldsymbol {Z}}_{ {\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\ boldsymbol {Z}}_{h}^{k+1})\end{przypadki}}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U}} _ {{\ tekst {ext}}, h} ^ {k}}$ i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {Z}} _ {{\ text {ext}}, h} ^ {k}}$ są ekstrapolacjami potencjału transbłonowego i zmiennych bramkowania w poprzednich krokach czasowych w odniesieniu do ${\ displaystyle t ^ {k + 1}}$ , biorąc pod uwagę tyle czasu momenty jako kolejność $BDF$ . ${\ displaystyle \ alpha}$ jest współczynnikiem, który zależy od rzędu BDF ${\ displaystyle \ sigma}$ .

Jeśli stosuje się metodę segregacji, równania ewolucji w czasie potencjału transbłonowego i równania zmiennych bramkujących są rozwiązywane numerycznie oddzielnie:

• $1}}$ + jest obliczany przy użyciu ekstrapolacji w poprzednich krokach czasowych ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U} }}_{{\text{ext}},h}^{k}}$ dla potencjału transbłonowego po prawej stronie:

$} ^ {k + 1}}}$

${\ Displaystyle \ alfa {\ dfrac {{\ boldsymbol {Z}} _ {h} ^ {k + 1} - {\ boldsymbol {Z}} _ {{\ text {ext} },h}^{k}}{\Delta t}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k},{\ boldsymbol {Z}} _ {$

• $drugie$ , się Z ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {Z}} _ {h} ^ {k + 1}}, która$ została obliczona:

${\ Displaystyle \ mathbb {M} \ alfa {\ dfrac {{\ boldsymbol {U}} _ {h} ^ { k+1}-{\boldsymbol {U}}_{{\text{ext}},h}^{k}}{\Delta t}}+\mathbb {K} {\boldsymbol {U}}_{ h}^{k+1}+{\boldsymbol {J}}_{\text{ion}}({\boldsymbol {U}}_{h}^{k+1},{\boldsymbol {Z}} _{h}^{k+1})=0}$

Innym możliwym segregowanym schematem byłby ten, w którym najpierw oblicza się ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U}} _ {h} ^ {k + 1}}$ , a następnie używa się go w równaniach dla ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {Z}} _ {h} ^ {k + 1}}$ .

Zobacz też

• Model jednodomenowy
• Model dwudomeny