Nierówność Gårdinga

W matematyce nierówność Gårdinga jest wynikiem, który daje dolną granicę dla formy dwuliniowej indukowanej przez rzeczywisty liniowy eliptyczny operator różniczkowy cząstkowy . Nierówność nosi imię Larsa Gårdinga .

Stwierdzenie nierówności

Niech Ω będzie ograniczoną , otwartą dziedziną w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej i niech H ^k ( Ω ) oznacza przestrzeń Sobolewa k - razy słabo różniczkowalnych funkcji u : Ω → R ze słabymi pochodnymi w L ² . Załóżmy, że Ω spełnia k -rozszerzenia, tj. że istnieje ograniczony operator liniowy E : H ^k (Ω) → H ^k ( R ⁿ ) takie, że ( Eu )| _Ω = u dla wszystkich u w H ^k (Ω).

Niech L będzie liniowym operatorem różniczkowym cząstkowym parzystego rzędu 2k , zapisanym w postaci dywergencji

${\ Displaystyle (Lu) (x) = \ suma _ {0 \ równoważnik |\ alfa |, | \ beta | \ równoważnik k} (-1) ^ {| \ alfa |} \ operatorname {D} ^ {\ alfa }\left(A_{\alpha \beta}(x)\mathrm {D} ^{\beta}u(x)\right),}$

i załóżmy, że L jest jednostajnie eliptyczna, tj. istnieje stała θ > 0 taka, że

${\ Displaystyle \ suma _ {|\ alfa |, | \ beta | = k} \ xi ^ {\ alfa} A _ {\ alfa \ beta} (x) \ xi ^ {\ beta}> \ teta | \ xi | ^{2k}{\mbox{dla wszystkich}}x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}.}$

Na koniec załóżmy, że współczynniki A _αβ są ograniczonymi , ciągłymi funkcjami na domknięciu Ω dla | α | = | β | = k i tyle

${\ Displaystyle A _ {\ alfa \ beta} \ w L ^ {\ infty} (\ Omega) {\ mbox {dla wszystkich}} | \ alfa |, | \ beta | \ równoważnik k.}$

Wtedy zachodzi nierówność Gårdinga : istnieją stałe C > 0 i G ≥ 0

${\ Displaystyle B [u, u] + G \ |u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega)}^{2}{\mbox{ dla wszystkich }}u\w H_{0}^{k}(\Omega),}$

Gdzie

${\ Displaystyle B [v, u] = \ suma _ {0 \ równoważnik | \ alfa | | \ beta | \leq k}\int _{\Omega}A_{\alpha \beta}(x)\mathrm {D} ^{\alpha}u(x)\mathrm {D} ^{\beta}v(x)\ ,\mathrm {d} x}$

jest formą dwuliniową powiązaną z operatorem L .

Zastosowanie: operator Laplace'a i problem Poissona

Uważaj, w tym zastosowaniu nierówność Gardinga wydaje się tu bezużyteczna, ponieważ ostateczny wynik jest bezpośrednią konsekwencją nierówności Poincarégo lub nierówności Friedricha. (Zobacz rozmowę na temat artykułu).

Jako prosty przykład rozważmy operator Laplace'a Δ. Dokładniej, załóżmy, że ktoś chce rozwiązać, dla f ∈ L ² (Ω) równanie Poissona

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} - \ Delta u (x) = f (x), & x \ w \ Omega; \\ u (x) = 0, & x \ w \ częściowe \ Omega; \ koniec {przypadków} }}$

₀ gdzie Ω jest ograniczoną domeną Lipschitza w R ⁿ . Odpowiednią słabą postacią problemu jest znalezienie u w przestrzeni Sobolewa H ¹ (Ω) takiego, że

${\ Displaystyle B [u, v] = \ langle f, v \ rangle {\ mbox {dla wszystkich}} v \ in H_{0}^{1}(\Omega),}$

Gdzie

${\ Displaystyle B [u, v] = \ int _ {\ Omega} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\ Displaystyle \ langle f, v \ rangle = \ int _ {\ Omega} f (x) v (x) \ \ operatorname {d} x.}$

₀₀ Laxa -Milgrama zapewnia, że ​​jeśli forma dwuliniowa B jest zarówno ciągła, jak i eliptyczna względem normy na H ¹ (Ω), to dla każdego f ∈ L ^{2 (Ω)} musi istnieć unikalne rozwiązanie u w H ¹ (Ω). Hipotezy nierówności Gårdinga są łatwe do zweryfikowania dla operatora Laplace'a Δ, więc istnieją stałe C i G ≥ 0

${\ Displaystyle B [u, u] \ geq C \ | u \ | _ {H ^ {1} (\ Omega)} ^ {2} -G \ | u \ | _ {L ^ {2} (\ Omega )}^{2}{\mbox{ dla wszystkich }}u\w H_{0}^{1}(\Omega).}$

Zastosowanie nierówności Poincarégo pozwala na połączenie dwóch wyrazów po prawej stronie, dając nową stałą K > 0 z

${\ Displaystyle B [u, u] \ geq K \ | u \ | _ {H ^ {1 }(\Omega )}^{2}{\mbox{ dla wszystkich }}u\w H_{0}^{1}(\Omega),}$

co jest dokładnie stwierdzeniem, że B jest eliptyczny. Ciągłość B jest jeszcze łatwiejsza do zauważenia: po prostu zastosuj nierówność Cauchy'ego-Schwarza i fakt, że norma Sobolewa jest kontrolowana przez normę L ² gradientu.

•   Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty z matematyki stosowanej 13 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. P. 356. ISBN 0-387-00444-0 . (Twierdzenie 9.17)