Nierówności Hannera

W matematyce nierówności Hannera są ^przestrzeni Lp wynikami teorii . Ich dowód został opublikowany w 1956 roku przez Olofa Hannera . Zapewniają prostszy sposób udowodnienia jednolitej wypukłości przestrzeni L ^p dla p ∈ (1, + ∞) niż podejście zaproponowane przez Jamesa A. Clarksona w 1936 r.

Stwierdzenie nierówności

Niech f , g ∈ L ^p ( E ), gdzie E jest dowolną przestrzenią miary . Jeśli p ∈ [1, 2], to

${\ Displaystyle \|f + g \|_ {p} ^ {p} + \| fg \|_ {p} ^ {p} \ geq {\ duży (} \ | f \ | _ {p} + \ |g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p }.}$

Podstawienia F = f + g i G = f - g dają drugą z nierówności Hannera:

${\ Displaystyle 2 ^ {p} {\ duży (} \| F \ | _ {p} ^ {p} + \| G \ | _ {p} ^ {p} {\ duży)} \ geq {\ duży (}\|F+G\|_{p}+\|FG\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}- \|FG\|_{p}{\duży |}^{p}.}$

Dla p ∈ [2, +∞) nierówności są odwrócone (pozostają nieścisłe).

Zauważ, że dla $równoległoboku$ się równościami, które regułą .

•   Clarkson, James A. (1936). „Jednolicie wypukłe przestrzenie” . Trans. Amer. Matematyka soc . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. 40 (3): 396–414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR 1989630 . MR 1501880
• Hanner, Olof (1956). „O jednolitej wypukłości L ^p i ℓ ^p ” . Mata Arka . 3 (3): 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 . MR 0077087