Pakiet Clifforda

W matematyce wiązka Clifforda to wiązka algebry , której włókna mają strukturę algebry Clifforda i której lokalne trywializacje są zgodne ze strukturą algebry. Istnieje naturalna wiązka Clifforda związana z dowolną ( pseudo ) riemannowską rozmaitością M , która jest nazywana wiązką Clifforda M.

Ogólna konstrukcja

Niech V będzie ( rzeczywistą lub zespoloną ) przestrzenią wektorową wraz z symetryczną postacią dwuliniową <·,·>. Algebra Clifforda Cℓ ( V ) jest naturalną ( jednostkową asocjacyjną ) algebrą generowaną przez V podlegającą tylko relacji

{\ Displaystyle v ^ {2} = - \ langle v, v \ rangle}

dla wszystkich v w V . Można skonstruować Cℓ ( V ) jako iloraz algebry tensorowej V przez ideał generowany przez powyższą relację.

Podobnie jak inne operacje tensorowe, ta konstrukcja może być przeprowadzona włókno na gładkiej wiązce wektorów . Niech E będzie gładką wiązką wektorów na gładkiej rozmaitości M i niech g będzie gładką symetryczną postacią dwuliniową na E . Wiązka Clifforda E to wiązka włókien , której włóknami są algebry Clifforda generowane przez włókna E :

{\ Displaystyle C \ ell (E) = \ coprod _ {x \ w M} C \ ell (E_ {x}, g_ {x })}

Topologia Cℓ ( E ) jest określona przez topologię E poprzez powiązaną konstrukcję wiązki .

Najczęściej interesuje nas przypadek, gdy g jest dodatnio określone lub przynajmniej niezdegenerowane ; to znaczy, gdy ( E , g ) jest wiązką wektorów riemannowskich lub pseudoriemannowskich. Dla ścisłości załóżmy, że ( E , g ) jest wiązką wektorów riemannowskich. Pakiet Clifforda E można skonstruować w następujący sposób. Niech Cℓ _n R będzie algebrą Clifforda wygenerowaną przez R ⁿ z metryką euklidesową . Standardowe działanie _ortogonalnej grupy O ( n ) na Rn indukuje stopniowany ^automorfizm CℓnR . Homomorfizm

{\ Displaystyle \ rho: \ operatorname {O} (n) \ do \ operatorname {Aut} (C \ ell _ {n} \ mathbb {R} )}

jest określany przez

{\ Displaystyle \ rho (A) (v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {k})=(Śr_{1})(Śr_{2})\cdots (Śr_{k})}

gdzie v _i to wszystkie wektory w R ⁿ . Wiązka Clifforda E jest wtedy dana przez

Displaystyle C \ ell (E) = F (E) \ razy _ {\ rho} C \ ell _ {n} \ mathbb {R}

gdzie F ( E ) jest ortonormalną wiązką ramek E . Z tej konstrukcji jasno wynika, że grupą strukturalną Cℓ ( E ) jest O( n ). Ponieważ O( n ) działa poprzez stopniowane automorfizmy na CℓnR _, wynika z tego, że Cℓ Z2 ₍ algebr E ) jest wiązką stopniowanych nad M. Wiązkę Clifforda Cℓ ( E ) można następnie rozłożyć na parzyste i nieparzyste podwiązki:

{\ Displaystyle C \ ell (E) = C \ ell ^ {0} (E) \ oplus C \ ell ^ {1} (E).}

Jeśli wiązka wektorów E jest orientowalna , to można w naturalny sposób zredukować grupę strukturalną Cℓ ( E ) z O( n ) do SO( n ).

Wiązka Clifforda rozmaitości Riemanna

Jeśli M jest rozmaitością riemannowską z metryką g , to wiązka Clifforda M jest wiązką Clifforda wygenerowaną przez wiązkę styczną TM . Można również zbudować wiązkę Clifforda z wiązki cotangens T * M . Metryka indukuje naturalny izomorfizm TM = T * M , a zatem izomorfizm Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

Istnieje naturalny izomorfizm wiązki wektorowej między wiązką Clifforda M a zewnętrzną wiązką M :

{\ Displaystyle C \ ell (T ^ {*} M) \ cong \ Lambda (T ^ {*} M).}

Jest to izomorfizm wiązek wektorowych, a nie wiązek algebry. Izomorfizm jest indukowany z odpowiedniego izomorfizmu na każdym włóknie. W ten sposób można myśleć o sekcjach wiązki Clifforda jako o formach różniczkowych na M wyposażonych w mnożenie Clifforda, a nie iloczyn klina (który jest niezależny od metryki).

Powyższy izomorfizm respektuje stopniowanie w tym sensie, że

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} C \ ell ^ {0} (T ^ {*} M) & = \ Lambda ^ {\ operatorname {parzysty}} (T ^ {*} M) \\ C \ ell ^ {1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {nieparzyste} }(T^{*}M).\end{wyrównane}}}

Opis lokalny

$_ w \Lambda (T_{x}M)}$ wektora i formy $\$ $_$ mnożenie Clifforda jest zdefiniowane jako

${\ Displaystyle v \ psi = v \ klin \ psi + v \ lrcorner \ psi}$ ,

gdzie dualność metryki do zmiany wektora na jedną formę jest używana w pierwszym wyrazie.

$delta$ pochodną zewnętrzną $wybierając$ współrzędną kodową ${a}\}}$ połączeniem metrycznym, podstawę ortonormalną $}$ $Displaystyle \$ wg

${\ Displaystyle d = e ^ {a} \ klin \ nabla _ {e_ {a}}, \ quad \ delta = -e ^ {a }\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$ .

Korzystając z tych definicji, operator Diraca-Kählera jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle D = e ^ {a} \ nabla _ {e_ {a}} = d- \ delta$ .

W dziedzinie gwiezdnej operator można odwrócić za pomocą lematu Poincarego dla pochodnej zewnętrznej i podwójnej gwiazdy Hodge'a dla kodrywatywy . Praktycznym sposobem na to są homotopii i kohomotopii .

Zobacz też

Notatki

^ Istnieje dowolny wybór znaku w definicji algebry Clifforda. Ogólnie można przyjąć, że v ² = ±< v , v >. W geometrii różniczkowej często stosuje się konwencję znaku (-).
^ ^ab ^Benn , Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Wprowadzenie do spinorów i geometrii z zastosowaniami w fizyce . A.Hilgera. ISBN 978-0-85274-169-6 .
^ Graf, Wolfgang (1978). „Formy różniczkowe jako spinory” . Annales de l'institut Henri Poincaré. Sekcja A, Physique Théorique . 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .
^ ^a ^b Kycia, Radosław Antoni (2022). „Lemat Poincarego o formach koróżnicowych, antykompleksowych i zastosowaniach w fizyce” . Wyniki z matematyki . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .
^ Kycia, Radosław Antoni (2020). „Lemat Poincarego, formy antydokładne i fermionowy kwantowy oscylator harmoniczny” . Wyniki z matematyki . 75 (3): 122. doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

Berline, Nicole ; Getzler, Ezdrasz ; Vergne, Michele (2004). Jądra cieplne i operatory Diraca . Edycje tekstowe Grundlehren (wyd. W miękkiej oprawie). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 3-540-20062-2 . Zbl 1037.58015 .
Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometria wirowania . Seria matematyczna Princeton. Tom. 38. Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5 . Zbl 0688.57001 .

[1] Istnieje dowolny wybór znaku w definicji algebry Clifforda. Ogólnie można przyjąć, że v ² = ±< v , v >. W geometrii różniczkowej często stosuje się konwencję znaku (-).

[:0-2] Benn , Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Wprowadzenie do spinorów i geometrii z zastosowaniami w fizyce . A.Hilgera. ISBN 978-0-85274-169-6 .

[3] Graf, Wolfgang (1978). „Formy różniczkowe jako spinory” . Annales de l'institut Henri Poincaré. Sekcja A, Physique Théorique . 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .

[:1-4] Kycia, Radosław Antoni (2022). „Lemat Poincarego o formach koróżnicowych, antykompleksowych i zastosowaniach w fizyce” . Wyniki z matematyki . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .

[5] Kycia, Radosław Antoni (2020). „Lemat Poincarego, formy antydokładne i fermionowy kwantowy oscylator harmoniczny” . Wyniki z matematyki . 75 (3): 122. doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .