Produkt wewnętrzny Frobeniusa

W matematyce iloczyn wewnętrzny Frobeniusa jest operacją binarną, która pobiera dwie macierze i zwraca wartość skalarną . $\ operatorname {F}}}$ fa {\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ . Operacja jest iloczynem wewnętrznym dwóch macierzy, tak jakby były wektorami, i spełnia aksjomaty dla iloczynu wewnętrznego. Dwie macierze muszą mieć ten sam wymiar — taką samą liczbę wierszy i kolumn, ale nie są do tego ograniczone macierze kwadratowe .

Definicja

Biorąc pod uwagę dwie macierze n × m o wartościach zespolonych A i B , zapisane jawnie jako

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ rozpocząć {pmatrix} A_ {11} i A_ {12} i \ cdots & A_ {1 m} \\ A_ { 21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix} }\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}}$

iloczyn wewnętrzny Frobeniusa jest zdefiniowany jako,

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = \ suma _ {i, j} {\ overline {A_ {ij}}} B_ {ij} \ ,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{ \!\sztylet }\mathbf {B} \right)}$

gdzie nadkreślenie oznacza $koniugat$ koniugat , a oznacza hermitowski . Wyraźnie ta suma jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = & {\ overline {A}} _ {11} B_ {11} + {\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_ {21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\ koniec {wyrównany}}}$

Obliczenie jest bardzo podobne do iloczynu skalarnego , który z kolei jest przykładem iloczynu wewnętrznego.

Stosunek do innych produktów

Jeśli A i B są macierzami o wartościach rzeczywistych , iloczyn wewnętrzny Frobeniusa jest sumą wpisów iloczynu Hadamarda . Jeśli macierze są wektoryzowane (tj. Przekonwertowane na wektory kolumnowe, oznaczone przez " ${\ Displaystyle \ operatorname {vec} (\ cdot)}$ ", to

${\ Displaystyle \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) = {\ rozpocząć {pmatrix} A_ {11} \\ A_ {12} \\\ vdots \\ A_ {21} \\ A_ {22} \\ \vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}$${\ Displaystyle \ quad {\ overline {\ operatorname {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ operatorname {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{ 21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12 }\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}$

Dlatego

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = {\ overline {\ operatorname {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.}$

Nieruchomości

Jest to postać seskwiliniowa dla czterech macierzy o wartościach zespolonych A , B , C , D i dwóch liczb zespolonych a i b :

$\ Displaystyle \ langle a \ mathbf {A}, b \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = {\ overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _ {\mathrm {F} }}$

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} + \ mathbf {C} \ mathbf {B} + \ mathbf {D} \ rangle _ {\ operatorname { F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Ponadto wymiana macierzy jest równoznaczna ze złożoną koniugacją:

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {B} \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = {\ overline {\ langle \ mathbf { A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}$

Dla tej samej macierzy

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}} \ geq 0},$ [

I,

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = 0 \ Longleftrightarrow \ mathbf {A} = \ mathbf {0 } }$ .

Norma Frobeniusa

Produkt wewnętrzny indukuje normę Frobeniusa

${\ Displaystyle \|\ mathbf {A} \| _ {\ operatorname {F}} = {\ sqrt {\ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}}}} \,.}$

Przykłady

Macierze o wartościach rzeczywistych

Dla dwóch macierzy o wartościach rzeczywistych, jeśli

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ początek {pmatrix} 2 i 0 i 6 \\ 1 i -1 i 2 \ koniec {pmatrix}} \,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} & = 2 \ cdot 8 + 0 \ cdot (-3) + 6 \ cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{wyrównane}}}$

Macierze o wartościach zespolonych

Dla dwóch macierzy o wartościach zespolonych, jeśli

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 + i & - 2i \\ 3& -5\end{pmacierz}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmacierz}-2&3i\\4-3i&6\end{pmacierz}}}$

Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} & = (1-i) \ cdot (-2) + 2i \ cdot 3i +3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i\end{wyrównane}}}$

chwila

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle \ mathbf {B} \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}} & = (-2) \ cdot (1 + i) + (-3i) \cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i\end{wyrównane}}}$

Wewnętrzne iloczyny Frobeniusa A ze sobą i B ze sobą są odpowiednio

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {A} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40}$${\ Displaystyle \ qquad \ langle \ mathbf {B} \ mathbf {B} \ rangle _ {\ operatorname {F}} = 4 + 9+25+36=74}$

Zobacz też

• Produkt Hadamarda (matryce)
• Produkt wewnętrzny Hilberta-Schmidta
• Produkt firmy Kronecker
• Analiza macierzy
• Mnożenie macierzy
• Norma macierzowa
• Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta - iloczyn wewnętrzny Frobeniusa to szczególny przypadek, w którym przestrzenie wektorowe są skończonymi wymiarami rzeczywistymi lub zespolonymi przestrzeniami wektorowymi ze zwykłym euklidesowym iloczynem wewnętrznym