Przecinek syntoniczny

Przecinek syntoniczny (81:80) na C

Notacja Helmholtza-Ellisa

Po prostu kwinta doskonała nad D (A+) to przecinek syntoniczny wyższy niż (A ♮ ), który jest po prostu wielką sekstą nad C, zakładając, że C i D są oddalone od siebie o 9/8.

ton główny 9:8

5-limit 10:9 minor ton

W teorii muzyki przecinek syntoniczny , znany również jako dieza chromatyczna , przecinek Didymean , przecinek ptolemejski lub przecinek diatoniczny to mały interwał typu przecinka między dwiema nutami muzycznymi , równy stosunkowi częstotliwości 81:80 (= 1,0125) (około 21,51 centów ). Dwie nuty, które różnią się o ten interwał, brzmiałyby inaczej nawet dla niewprawnych uszu, ale byłyby na tyle bliskie, że byłyby bardziej prawdopodobne, że byłyby interpretowane jako rozstrojone wersje tej samej nuty niż jako różne nuty. Przecinek jest również określany jako przecinek Didymean, ponieważ jest to kwota, o którą Didymus poprawił pitagorejską tercję wielką (81:64, około 407,82 centa) do zaledwie tercji wielkiej (5: 4, około 386,31 centa).

Słowo „przecinek” pochodzi z łaciny z greckiego κόμμα, od wcześniejszego * κοπ-μα = „rzecz odcięta”.

Relacje

Czynniki pierwsze właściwego przedziału 81/80 znane jako przecinek syntoniczny można oddzielić i odtworzyć w różne sekwencje dwóch lub więcej przedziałów, które docierają do przecinka, takie jak 81/1 * 1/80 lub (w pełni rozwinięte i posortowane przez liczbę pierwszą) 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 3/1 * 1/5. Wszystkie sekwencje są poprawne matematycznie, ale niektóre z bardziej muzycznych sekwencji używanych przez ludzi do zapamiętywania i wyjaśniania składu, występowania i użycia przecinka są wymienione poniżej:

Różnica w wielkości między pitagorejskim ditonem ( stosunek częstotliwości 81:64, czyli około 407,82 centa ) a tercją wielką (5:4, czyli około 386,31 centa). Mianowicie 81:64 ÷ 5:4 = 81:80.
Różnica między czterema dobrze nastrojonymi kwintami a dwiema oktawami i dobrze nastrojoną tercją wielką . Idealna piąta ma rozmiar 3:2 (około 701,96 centów), a cztery z nich są równe 81:16 (około 2807,82 centów). Tercja wielka ma rozmiar 5:4 (około 386,31 centa), a jedna z nich plus dwie oktawy (4:1, czyli dokładnie 2400 centów) daje 5:1 (około 2786,31 centa). Różnica między nimi to przecinek syntoniczny. Mianowicie 81:16 ÷ 5:1 = 81:80.
Różnica między jedną oktawą plus dobrze nastrojoną tercją małą (12:5, około 1515,64 centa) a trzema dobrze nastrojonymi kwartami (64:27, około 1494,13 centa). Mianowicie 12:5 ÷ 64:27 = 81:80.
Różnica między dwoma rodzajami sekundy wielkiej , które występują w strojeniu 5-stopniowym : ton durowy (9:8, około 203,91 centa) i ton molowy (10:9, około 182,40 centa). Mianowicie 9:8 ÷ 10:9 = 81:80.
Różnica między pitagorejską sekstą wielką (27:16, około 905,87 centów) a dobrze dostrojoną lub „czystą” sekstą wielką (5:3, około 884,36 centów). Mianowicie 27:16 ÷ 5:3 = 81:80.

Na klawiaturze fortepianu (zwykle dostrojonej z 12-tonami o jednakowym temperamencie ) stos czterech piątych (700 * 4 = 2800 centów) jest dokładnie równy dwóm oktawom (1200 * 2 = 2400 centów) plus tercja wielka (400 centów). Innymi słowy, zaczynając od C, obie kombinacje interwałów zakończą się na E. Użycie odpowiednio nastrojonych oktaw (2:1), kwint (3:2) i tercji (5:4) daje jednak dwa nieco różne notatki. Stosunek między ich częstotliwościami, jak wyjaśniono powyżej, to przecinek syntoniczny (81:80). Strojenie pitagorejskie używa również dobrze dostrojonych kwint (3: 2), ale używa stosunkowo złożonego stosunku 81:64 dla tercji wielkich. Ćwiartka przecinka oznacza, że używa odpowiednio dostrojonych tercji wielkich (5: 4), ale spłaszcza każdą z kwint o jedną czwartą przecinka syntonicznego w stosunku do ich właściwego rozmiaru (3: 2). Inne systemy stosują różne kompromisy. Jest to jeden z powodów, dla których 12-tonowy system równomiernie temperowany jest obecnie preferowanym systemem strojenia większości instrumentów muzycznych ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} .

Matematycznie, zgodnie z twierdzeniem Størmera , 81:80 jest najbliższym możliwym stosunkiem nadcząstkowym z liczbami regularnymi jako licznikiem i mianownikiem. Stosunek ponadcząstkowy to taki, którego licznik jest o 1 większy niż jego mianownik, na przykład 5:4, a liczba regularna to taka, której czynniki pierwsze są ograniczone do 2, 3 i 5. Tak więc, chociaż mniejsze przedziały można opisać w obrębie 5- strojów granicznych, nie można ich opisać jako stosunki nadcząstkowe.

Przecinek syntoniczny w historii muzyki

Przecinek syntoniczny (niezgodność na górze)

jest hartowany w 12TET (na dole)

Przecinek syntoniczny, taki jak między 9/8 (w przybliżeniu 203,91 centów) a 10/9 (w przybliżeniu 182,40 centów) tonami durowymi i molowymi (na górze), jest temperowany w 12TET, pozostawiając jeden ton 200 centów (na dole).

Przecinek syntoniczny odgrywa kluczową rolę w historii muzyki. Jest to stopień, o jaki niektóre nuty wytwarzane w strojeniu pitagorejskim zostały spłaszczone lub wyostrzone, aby uzyskać tylko małe i duże tercje. W strojeniu pitagorejskim jedynymi wysoce spółgłoskowymi interwałami były kwinta doskonała i jej inwersja, kwarta doskonała . Pitagorejska tercja wielka (81:64) i tercja mała (32:27) były dysonansowe , co uniemożliwiło muzykom używanie triad i akordów , zmuszając ich przez wieki do pisania muzyki o stosunkowo prostej fakturze .

Hartowanie syntoniczne datuje się na Didymusa Muzykanta , którego strojenie diatonicznego rodzaju tetrachordu zastąpiło jeden interwał 9: 8 interwałem 10: 9 ( ton mniejszy ), uzyskując tylko tercję wielką (5: 4) i półton (16: 15). Zostało to później zrewidowane przez Ptolemeusza (zamiana dwóch tonów) w jego „syntonicznej skali diatonicznej” (συντονόν διατονικός, syntonón diatonikós , od συντονός + διάτονος). Termin syntonón został oparty na Arystoksenusie i może być tłumaczone jako „napięty” (konwencjonalnie „intensywny”), odnosząc się do napiętych strun (stąd ostrzejsze), w przeciwieństwie do μαλακόν ( malakón , od μαλακός), tłumaczone jako „zrelaksowany” (konwencjonalny „miękki”), odnosząc się do luźniejsze struny (stąd bardziej płaskie lub „bardziej miękkie”).

Zostało to ponownie odkryte w późnym średniowieczu , kiedy muzycy zdali sobie sprawę, że poprzez nieznaczne złagodzenie tonu niektórych nut pitagorejskie tercje można przekształcić w spółgłoskę . Na przykład, jeśli częstotliwość E zostanie zmniejszona o przecinek syntoniczny (81:80), CE (tercja wielka) i EG (tercja mała) staną się sprawiedliwe. Mianowicie, CE jest zawężone do sprawiedliwie intonowanego stosunku

{\ Displaystyle {81 \ ponad 64} \ cdot {80 \ ponad 81} = {{1 \ cdot 5} \ ponad {4 \ cdot 1}} = {5 \ponad 4}}

a jednocześnie EG jest poszerzony do słusznego stosunku

{\ Displaystyle {32 \ ponad 27} \ cdot {81 \ ponad 80} = {{2 \ cdot 3} \ ponad {1 \ cdot 5}} = {6 \ponad 5}}

Wadą jest to, że kwinty AE i EB, spłaszczając E, stają się prawie tak dysonansowe, jak kwinta wilka pitagorejskiego . Ale piąta CG pozostaje spółgłoskowa, ponieważ tylko E zostało spłaszczone (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2) i może być użyte razem z CE do stworzenia triady C-dur ( CEG ). Eksperymenty te ostatecznie doprowadziły do powstania nowego systemu strojenia , znanego jako ćwierć-przecinek oznaczany , w którym zmaksymalizowano liczbę tercji wielkich, a większość tercji małych dostrojono do stosunku bardzo zbliżonego do zaledwie 6:5. Wynik ten uzyskano poprzez zawężenie każdej kwinty o ćwierć przecinka syntonicznego, wielkość, którą uznano za znikomą, a która pozwalała na pełne rozwinięcie muzyki o złożonej fakturze, takiej jak muzyka polifoniczna , czy melodia z akompaniamentem instrumentalnym . Od tego czasu opracowano inne systemy strojenia, a przecinek syntoniczny był używany jako wartość odniesienia do temperowania doskonałych kwint w całej ich rodzinie. Mianowicie w rodzinie należącej do temperamentu syntonicznego , w tym temperamenty średnie .

Pompa przecinkowa

Giovanni Benedetti przykład „pompowania” przecinka lub dryfowania przecinkiem podczas progresji z 1563 r.

Graj ( pomoc · info ) Tony wspólne między akordami mają tę samą wysokość, a pozostałe nuty są dostrojone w czystych interwałach do tonów wspólnych.

Zagraj pierwszy i ostatni akord ( pomoc · informacje )

Przecinek syntoniczny pojawia się w sekwencjach pompowania przecinka ( dryfu przecinka ), takich jak CGDAEC, kiedy każdy interwał od jednej nuty do następnej jest odtwarzany z pewnymi określonymi interwałami w tylko dostrojeniu intonacji. Jeśli zastosujemy stosunek częstotliwości 3/2 dla kwint doskonałych (CG i DA), 3/4 dla opadających kwint doskonałych (GD i AE) i 4/5 dla opadającej tercji wielkiej (EC), to sekwencja interwały od jednej nuty do następnej w tej sekwencji to 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 4/5. Te mnożą się razem, aby dawać

{\ Displaystyle {3 \ ponad 2} \ cdot {3 \ ponad 4} \ cdot {3 \ ponad 2} \ cdot {3 \ ponad 4} \cdot {4 \ponad 5}={81 \ponad 80}}

czyli przecinek syntoniczny (interwały muzyczne ułożone w ten sposób są mnożone razem). „Drift” jest tworzony przez połączenie pitagorejskich i 5-granicznych interwałów w samej intonacji i nie wystąpiłby w strojeniu pitagorejskim ze względu na użycie tylko pitagorejskiej tercji wielkiej (64/81), która w ten sposób zwróciłaby ostatni krok sekwencję do oryginalnej tonacji.

Tak więc w tej sekwencji drugie C jest ostrzejsze niż pierwsze C o przecinek syntoniczny Play ( pomoc · info ) . Ta sekwencja lub dowolna transpozycja jest znana jako pompa przecinkowa. Jeśli linia muzyczna jest zgodna z tą sekwencją i jeśli każdy z odstępów między sąsiednimi nutami jest odpowiednio dostrojony, to za każdym razem, gdy następuje sekwencja, wysokość utworu wzrasta o przecinek syntoniczny (około jednej piątej półtonu).

Badania nad pompą przecinkową sięgają co najmniej XVI wieku, kiedy włoski naukowiec Giovanni Battista Benedetti skomponował utwór muzyczny ilustrujący dryf przecinka syntonicznego.

Zauważ, że malejąca kwarta doskonała (3/4) jest tym samym, co opadająca oktawa (1/2), po której następuje rosnąca kwinta (3/2). Mianowicie (3/4)=(1/2)*(3/2). Podobnie opadająca tercja wielka (4/5) jest tym samym, co opadająca oktawa (1/2), po której następuje wstępująca seksta mała (8/5). Mianowicie (4/5)=(1/2)*(8/5). Dlatego powyższa sekwencja jest równoważna:

{\ Displaystyle {3 \ ponad 2} \ cdot {1 \ ponad 2} \ cdot {3 \ ponad 2 }\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {8 \over 5}={81 \over 80}}

lub, grupując podobne interwały,

{\ Displaystyle {3 \ ponad 2} \ cdot {3 \ ponad 2} \ cdot {3 \ ponad 2 }\cdot {3 \over 2}\cdot {8 \over 5}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={81 \over 80}}

Oznacza to, że jeśli wszystkie interwały są odpowiednio dostrojone, można uzyskać przecinek syntoniczny ze stosem czterech doskonałych kwint plus jedna seksta mała, po których następują trzy oktawy opadające (innymi słowy, cztery P5 plus jeden m6 minus trzy P8 ) .

Notacja

Tylko akord durowy na C w notacji Bena Johnstona.

Odtwórz ( pomoc · info ) Pitagorejski akord durowy na C w notacji Helmholtza-Ellisa.

Odtwórz ( pomoc · informacje )

Pitagorejski akord durowy, notacja Bena Johnstona.

Tylko akord durowy w notacji Helmholtza-Ellisa.

Moritz Hauptmann opracował metodę notacji stosowaną przez Hermanna von Helmholtza . W oparciu o strojenie pitagorejskie, następnie dodawane są indeksy dolne, aby wskazać liczbę przecinków syntonicznych, o które należy obniżyć nutę. Tak więc skala pitagorejska to CDEFGAB, podczas gdy skala sprawiedliwa to CDE ₁ FGA ₁ B ₁ . Carl Eitz opracował podobny system używany przez J. Murraya Barboura . Dodawane są liczby dodatnie i ujemne w indeksie górnym, wskazujące liczbę przecinków syntonicznych, które należy podnieść lub zmniejszyć w stosunku do strojenia pitagorejskiego. Zatem skala pitagorejska to CDEFGAB, podczas gdy skala ptolemejska z 5 granicami to CDE ⁻¹ FGA ⁻¹ B ⁻¹ .

W notacji Helmholtza-Ellisa przecinek syntoniczny jest oznaczony strzałkami w górę iw dół dodanymi do tradycyjnych znaków przypadkowych. Tak więc skala pitagorejska to CDEFGAB, podczas gdy 5-graniczna skala ptolemejska to CDE FGA B .

Kompozytor Ben Johnston używa „-” jako przypadkowego, aby wskazać, że nuta jest obniżona przecinkiem syntonicznym, lub „+”, aby wskazać, że nuta jest podniesiona przez przecinek syntoniczny. Tak więc skala pitagorejska to CD E+ FG A+ B+, podczas gdy 5-stopniowa skala ptolemejska to CDEFGA B.

	5-limit po prostu	pitagorejski
ON	CDE FGA B	CDEFGAB
Johnstona	CDEFGAB	CD E+ FG A+ B+

Zobacz też

Linki zewnętrzne