Ćwierć-przecinek oznaczał jeden

Quarter-comma meanone lub 1 ⁄ 4 -comma meanone był najczęstszym temperamentem oznaczającym średnią w XVI i XVII wieku, a czasami był używany później. W tym systemie kwinta doskonała jest spłaszczona o jedną czwartą przecinka syntonicznego (81:80), w odniesieniu do jej właściwej intonacji używanej w strojeniu pitagorejskim ( stosunek częstotliwości 3:2); wynikiem jest 3 / 2 × ( 80 / 81 ) ^{1 ⁄ 4} = ⁴ √ 5 ≈ 1,49535, czyli jedna piąta z 696,578 centów . (Dwunasta potęga tej wartości to 125, podczas gdy 7 oktaw to 128, a więc brakuje 41,059 centów). Ta kwinta jest następnie iterowana w celu wygenerowania skali diatonicznej i innych nut temperamentu. Celem jest uzyskanie sprawiedliwie intonowanych tercji wielkich (o stosunku częstotliwości równym 5:4 ). Opisał to Pietro Aron w swoim Toscanello de la Musica z 1523 r., mówiąc, że tercje wielkie powinny być dostrojone tak, aby były „dźwięczne i sprawiedliwe, jak najbardziej zjednoczone”. Późniejsi teoretycy Gioseffo Zarlino i Francisco de Salinas opisali strojenie z matematyczną dokładnością.

Budowa

W stroju średniotonowym mamy różne półtony chromatyczne i diatoniczne ; półton chromatyczny to różnica między C i C ♯ , a półton diatoniczny to różnica między C i D ♭ . W strojeniu pitagorejskim półton diatoniczny jest często nazywany limmą pitagorejską , a półton chromatyczny pitagorejskim apotome , ale w strojeniu pitagorejskim apotome jest większe, podczas gdy w 1 ⁄ 4 - przecinek oznaczało limma jest większa. Innymi słowy, w strojeniu pitagorejskim C ♯ jest wyższe niż D ♭ , podczas gdy w 1 ⁄ 4 - przecinek oznaczało C ♯ niższe niż D ♭ .

W dowolnym stroju średniotonowym lub pitagorejskim, gdzie cały ton składa się z jednego półtonu każdego rodzaju, tercja wielka to dwa całe tony, a zatem składa się z dwóch półtonów każdego rodzaju, kwinta doskonała średniego zawiera cztery półtony diatoniczne i trzy półtony chromatyczne, i oktawę siedem diatonicznych i pięć półtonów chromatycznych, wynika z tego, że:

• Pięć piątych w dół i trzy oktawy w górę tworzą półton diatoniczny, tak że limma pitagorejska jest hartowana do półtonu diatonicznego.
• Dwie kwinty w górę i oktawa w dół tworzą cały ton składający się z jednego półtonu diatonicznego i jednego półtonu chromatycznego.
• Cztery kwinty w górę i dwie oktawy w dół tworzą tercję wielką, składającą się z dwóch półtonów diatonicznych i dwóch chromatycznych, czyli innymi słowy z dwóch całych tonów.

Tak więc w strojeniu pitagorejskim, gdzie sekwencje samych kwint ( stosunek częstotliwości 3:2) i oktaw są używane do tworzenia innych interwałów, cały ton jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {3} {2}} \ prawo) ^ {2} {2}} = {\ Frac {\frac {9}{4}}{2}}={\frac {9}{8}},}$

a tercja wielka to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {3} {2}} \ prawo) ^ {4}} {2 ^ {2}}} = {\ Frac {\ Frac {81} {16}} {4}}={\frac {81}{64}}\około {\frac {80}{64}}={\frac {5}{4}};}$

różnica polega 81/80 na przecinku syntonicznym , .

Interwał siedemnasty, składający się z szesnastu półtonów diatonicznych i dwunastu chromatycznych, taki jak interwał od D4 _do F ♯ ₆ , można uzyskać równoważnie za pomocą albo

• stos czterech piątych (np. D ₄ –A ₄ –E ₅ –B ₅ –F ♯ ₆ ) lub
• stos dwóch oktaw i jednej tercji wielkiej (np. D ₄ –D ₅ –D ₆ –F ♯ ₆ ).

Ten duży przedział siedemnastej zawiera 5 + (5 - 1) + (5 - 1) + (5 - 1) = 20 - 3 = 17 stanowisk personelu . W strojeniu pitagorejskim rozmiar siedemnastki jest definiowany za pomocą stosu czterech odpowiednio dostrojonych kwint (stosunek częstotliwości 3: 2):

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {3} {2}} \ prawo) ^ {4} = {\ Frac {81} {16}} = {\ Frac {80} {16}} \ cdot {\ frac {81}{80}}=5\cdot {\frac {81}{80}}.}$

W temperamencie oznaczającym ćwiartkę przecinka, gdzie wymagana jest tylko tercja wielka (5: 4), nieco węższą siedemnastkę uzyskuje się przez nałożenie dwóch oktaw i tercji wielkiej:

${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot {\ Frac {5} {4}} = 5.}$

Jednak z definicji siedemnastą część tej samej wielkości (5:1) należy uzyskać, nawet w ćwierć przecinku, przez nałożenie czterech piątych. Ponieważ odpowiednio nastrojone kwinty, takie jak te używane w strojeniu pitagorejskim, dają nieco szerszą siedemnastkę, w ćwiartce przecinka oznacza to, że kwinty muszą być nieco spłaszczone, aby spełnić ten wymóg. Niech x będzie stosunkiem częstotliwości spłaszczonej piątej, pożądane jest, aby cztery piąte miały stosunek 5: 1,

${\ Displaystyle x ^ {4} = 5, \}$

co oznacza, że ​​​​piąta jest

${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{4}] {5}} = 5 ^ {\ Frac {1} {4}},}$

cały ton, zbudowany przez przesunięcie o dwie piąte w górę i jedną oktawę w dół

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {2}} = {\ Frac {\ sqrt {5}} {2}}}$

a półton diatoniczny, zbudowany przez przesunięcie o trzy oktawy w górę i pięć piątych w dół

${\ Displaystyle {\ Frac {2 ^ {3}} {x ^ {5}}} = {\ Frac {8} {5 ^ {\ Frac {5} {4}}}}.}$

81/80 oznaczanej . jeden, siedemnasta jest razy węższa niż w strojeniu Pitagorasa Ta różnica wielkości, równa około 21,506 centów , nazywana jest przecinkiem syntonicznym . Oznacza to, że kwinta jest o jedną czwartą przecinka syntonicznego węższa niż dobrze dostrojona kwinta pitagorejska. Mianowicie, ten system stroi kwinty w stosunku

${\ Displaystyle 5 ^ {\ Frac {1} {4}} \ około 1,495349 \ około {\ Frac {643} {430}}}$

co jest wyrażone w logarytmicznej skali centów jako

${\ Displaystyle 1200 \ log _ {2} {5 ^ {\ Frac {1} {4}}} \ {\ tekst {centów}} \ około 696,578 \, {\text{centy}},}$

który jest nieco mniejszy (lub bardziej płaski) niż stosunek dobrze dostrojonej kwinty:

${\ Displaystyle {\ Frac {3} {2}} = 1,5}$

co jest wyrażone w logarytmicznej skali centów jako

${\ Displaystyle 1200 \ log _ {2} {\ lewo ({\ Frac {3} {2}} \ prawej)} \, {\ tekst {centów}} \ około 701,955 \, {\ tekst {centów}}. }$

Różnica między tymi dwoma rozmiarami to jedna czwarta przecinka syntonicznego:

${\ Displaystyle \ około 701,955-696,578 \ około 5,377 \ około {\ Frac {21,506} {4}} \, {\ tekst {centów}}.}$

Podsumowując, system ten dostraja tercje wielkie do właściwego stosunku 5:4 (na przykład, jeśli A4 _jest dostrojony do 440 Hz , C ♯ ₅ jest dostrojony do 550 Hz), większość całych tonów (mianowicie sekundy wielkie ) w stosunku √ 5 :2, a większość półtonów (mianowicie półtony diatoniczne lub sekundy małe ) w stosunku (8:5) ^{5 ⁄ 4} . Osiąga się to poprzez dostrojenie siedemnastego przecinka syntonicznego bardziej płaskiego niż pitagorejska siedemnasta, co oznacza dostrojenie piątej o ćwierć przecinka syntonicznego bardziej płaskiego niż właściwy stosunek 3: 2. To właśnie nadaje systemowi nazwę ćwierć-przecinek oznaczało .

12-tonowa skala

Całą skalę chromatyczną (której podzbiorem jest skala diatoniczna) można zbudować zaczynając od danej nuty podstawowej i zwiększając lub zmniejszając jej częstotliwość o jedną lub więcej piątych. Ta metoda jest identyczna ze strojeniem Pitagorasa, z wyjątkiem wielkości kwinty, która jest hartowana, jak wyjaśniono powyżej. Poniższa tabela konstrukcyjna ilustruje, w jaki sposób uzyskuje się wysokości nut w odniesieniu do D ( nuta podstawowa ) w skali opartej na D ( bardziej szczegółowe wyjaśnienie można znaleźć w strojeniu Pitagorasa ).

Dla każdej nuty w podstawowej oktawie tabela zawiera umowną nazwę interwału od D (nuta bazowa), wzór do obliczania jego stosunku częstotliwości oraz przybliżone wartości jego stosunku częstotliwości i wielkości w centach.

Notatka	Interwał od D	Formuła	Częstotliwość stosunek	Rozmiar (centy)	Rozmiar ( 31-ET )
♭ _	zmniejszona piąta	${\ Displaystyle x ^ {- 6} \ cdot 2 ^ {4} = {\ Frac {16 {\ sqrt {5}}} {25}}}$	1.4311	620,5	16.03
E ♭	mała sekunda	${\ Displaystyle x ^ {- 5} \ cdot 2 ^ {3} = {\ Frac {8 {\ sqrt {5}} x} {25}}}$	1.0700	117,1	3.03
B ♭	mała szósta	${\ Displaystyle x ^ {- 4} \ cdot 2 ^ {3} = {\ Frac {8} {5}}}$	1.6000	813,7	21.02
F	tercja mała	${\ Displaystyle x ^ {- 3} \ cdot 2 ^ {2} = {\ Frac {4x} {5}}}$	1.1963	310.3	8.02
C	mała siódemka	${\ Displaystyle x ^ {- 2} \ cdot 2 ^ {2} = {\ Frac {4 {\ sqrt {5}}} {5}}}$	1,7889	1006,8	26.01
G	idealne czwarte	${\ Displaystyle x ^ {- 1} \ cdot 2 ^ {1} = {\ Frac {2 {\ sqrt {5}} x} {5}}}$	1,3375	503.4	13.00
D	unisono	${\ Displaystyle x ^ {0} \ cdot 2 ^ {0} = 1}$	1.0000	0,0	0.00
A	doskonała piątka	${\ Displaystyle x ^ {1} \ cdot 2 ^ {0} = x}$	1.4953	696,6	18.00
mi	duża sekunda	${\ Displaystyle x ^ {2} \ cdot 2 ^ {- 1} = {\ Frac {\ sqrt {5}} {2}}}$	1.1180	193.2	4,99
B	wielka szósta	${\ Displaystyle x ^ {3} \ cdot 2 ^ {- 1} = {\ Frac {{\ sqrt {5}} x} {2}}}$	1.6719	889,7	22,98
F ♯	tercja wielka	${\ Displaystyle x ^ {4} \ cdot 2 ^ {- 2} = {\ Frac {5} {4}}}$	1.2500	386,3	9,98
C♯ _	wielka siódemka	${\ Displaystyle x ^ {5} \ cdot 2 ^ {- 2} = {\ Frac {5x} {4}}}$	1,8692	1082,9	27,97
G ♯	zwiększona czwarta	${\ Displaystyle x ^ {6} \ cdot 2 ^ {-3} = {\ Frac {5 {\ sqrt {5}}} {8}}}$	1,3975	579,5	14.97

We wzorach x = ⁴ √ 5 = 5 ^{1 ⁄ 4} jest wielkością temperowanej kwinty doskonałej, a stosunki x : 1 lub 1: x reprezentują rosnącą lub malejącą kwintę temperowaną (tj. wzrost lub spadek częstotliwości o x ), podczas gdy 2:1 lub 1:2 reprezentują rosnącą lub opadającą oktawę.

Podobnie jak w przypadku strojenia pitagorejskiego, ta metoda generuje 13 tonów, z A ♭ i G ♯ oddalonymi od siebie o prawie ćwierć tonu. Aby zbudować 12-tonową skalę, A ♭ jest zwykle odrzucane.

Tabele konstrukcyjne oparte na języku C

Powyższa tabela pokazuje stos piątych oparty na D (tj. stos, w którym wszystkie proporcje są wyrażone względem D, a D ma stosunek 1/1). Ponieważ jest wyśrodkowany w D, nucie podstawowej, ten stos można nazwać symetrycznym opartym na D :

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F –C –G– D –A –E –B –F ♯ –C ♯ –G ♯

Przyjmując kwintę doskonałą jako ⁴ √ 5 , końce tej skali są oddalone od siebie o stosunek częstotliwości 125/128 . 125 , co powoduje przerwę (około dwóch piątych półtonu) między jej końcami, jeśli są one znormalizowane do tej samej oktawy Jeśli ostatni krok (tutaj G ♯ ) zostanie zastąpiony kopią A ♭ , ale w tej samej oktawie co G ♯ , zwiększy to interwał C ♯ –G ♯ do dysonansu zwanego wilczą kwintą .

Z wyjątkiem wielkości kwinty, jest to identyczne ze stosem tradycyjnie używanym w strojeniu pitagorejskim . Niektórzy autorzy wolą pokazywać stos kwint oparty na C, od A ♭ do G ♯ . Ponieważ C nie znajduje się w środku, stos ten nazywany jest asymetrycznym opartym na C :

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G –D –A –E –B –F ♯ –C ♯ –G ♯

Ponieważ granice tego stosu (A ♭ i G ♯ ) są identyczne z granicami stosu symetrycznego opartego na D, nazwy nut 12-tonowej skali wytwarzanej przez ten stos są również identyczne. Jedyna różnica polega na tym, że tabela konstrukcji pokazuje interwały od C, a nie od D. Zauważ, że 144 interwały można utworzyć z 12-tonowej skali (patrz tabela poniżej), która obejmuje interwały od C, D i wszelkie inne nuty. Jednak tabela konstrukcji pokazuje tylko 12 z nich, w tym przypadku zaczynających się od C. Jest to jednocześnie główna zaleta i główna wada stosu asymetrycznego opartego na C, ponieważ odstępy od C są powszechnie stosowane, ale ponieważ C nie znajduje się na środku tego stosu, niestety zawiera an zwiększona kwinta (tj. interwał od C do G ♯ ), zamiast małej seksty (od C do A ♭ ). Ta zwiększona kwinta jest wyjątkowo dysonansowym interwałem wilka , ponieważ odbiega o 41,1 centa ( diesis o stosunku 128:125, prawie dwa razy przecinek syntoniczny ) od odpowiedniego czystego interwału 8: 5 lub 813,7 centa.

Wręcz przeciwnie, interwały od D pokazane w powyższej tabeli, ponieważ D znajduje się na środku stosu, nie obejmują interwałów wilka i obejmują czystą małą szóstą (od D do B ♭ ), zamiast nieczystej, zwiększonej kwinty . Zauważ, że w wyżej wymienionym zestawie 144 interwałów częściej obserwuje się czyste seksty małe niż kwinty nieczyste powiększone (patrz tabela poniżej) i jest to jeden z powodów, dla których nie jest pożądane pokazywanie nieczystej kwinty powiększonej w tabeli konstrukcji . symetryczny oparty na C , aby uniknąć wyżej wymienionej wady:

G ♭ –D ♭ –A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C –G –D –A –E –B –F ♯

W tym stosie G ♭ i F ♯ mają podobną częstotliwość, a G ♭ jest zwykle odrzucane. Ponadto nuta między C i D nazywa się D ♭ zamiast C ♯ , a nuta między G i A nazywa się A ♭ zamiast G ♯ . Symetryczny stos oparty na C jest rzadko używany, prawdopodobnie dlatego, że tworzy kwintę wilka w niezwykłej pozycji F ♯ –D ♭ zamiast G ♯ –E ♭ , gdzie spodziewali się tego muzycy używający strojenia pitagorejskiego).

Prawidłowo intonowany ćwierć przecinek oznaczał jeden

Właściwa wersja intonacyjna temperamentu ćwierćprzecinkowego oznaczającego może być skonstruowana w taki sam sposób, jak racjonalna wersja 12-TET Johanna Kirnbergera . Wartość 5 ^{1 ⁄ 8} · 35 ^{1 ⁄ 3} jest bardzo bliska 4, dlatego 7-graniczny przedział 6144:6125 (co jest różnicą między 5-granicznym diesis 128:125 a septimal diesis 49:48 ), równa 5,362 centa, pojawia się bardzo blisko ćwiartki przecinka ( 81 / 80 ) ^{1 / 4} z 5,377 centów. Zatem kwinta doskonała ma stosunek 6125:4096, co stanowi różnicę między trzema tercjami wielkimi a dwiema septymalnymi sekundami wielkimi ; cztery takie piąte przekraczają stosunek 5:1 o maleńki przedział 0,058 centa. piąta wilka to 49:32, różnica między septymą małą septymą a septymą wielką sekundą .

Półtony większe i mniejsze

Jak omówiono powyżej, ćwiartka przecinka oznaczała jeden temperament,

• stosunek półtonu wynosi S = 8:5 ^{5 / 4} ,
• stosunek tonu wynosi T = √ 5 :2.

Tony w skali diatonicznej można podzielić na pary półtonów. Ponieważ jednak S ² nie jest równe T , każdy ton musi składać się z pary nierównych półtonów S i X :

${\ Displaystyle S \ cdot X = T.}$

Stąd,

${\ Displaystyle X = {\ Frac {T} {S}} = {\ Frac {\ sqrt {5}}} {2}} {\ Bigg /}{ \ Frac {8} {5} ^ {\ Frac {5} {4}}}}={\frac {5^{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {5}{4}}}{8\cdot 2}}={\frac { 5^{\frac {7}{4}}}{16}}.}$

Zauważ, że S to 117,1 centa, a X to 76,0 centa. Zatem S jest większym półtonem, a X mniejszym. S jest powszechnie nazywany diatonicznym półtonem (lub małą sekundą ), podczas gdy X jest nazywany chromatycznym półtonem (lub rozszerzonym unisono ).

Rozmiary S i X można porównać do właśnie zaintonowanego stosunku 18:17, który wynosi 99,0 centów. S odbiega od niej o +18,2 centa, a X o -22,9 centa. Te dwa odchylenia są porównywalne z przecinkiem syntonicznym (21,5 centa), który ten system ma na celu dostrojenie się do pitagorejskiej tercji wielkiej. Ponieważ jednak nawet właśnie zaintonowana proporcja 18:17 brzmi wyraźnie dysonansowo, odchylenia te uznaje się za dopuszczalne w półtonie.

W znaczeniu ćwiartki przecinka, mała sekunda jest uważana za akceptowalną, podczas gdy rozszerzony unisono brzmi dysonansowo i należy go unikać.

Rozmiar interwałów

Powyższa tabela pokazuje tylko interwały od D. Jednak interwały można tworzyć, zaczynając od każdej z wyżej wymienionych 12 nut. W ten sposób dla każdego typu interwału można zdefiniować dwanaście interwałów (dwanaście unisonów, dwanaście półtonów , dwanaście interwałów złożonych z 2 półtonów, dwanaście interwałów złożonych z 3 półtonów itd.).

Jak wyjaśniono powyżej, jedna z dwunastu piątych ( wilcza piąta ) ma inną wielkość w stosunku do pozostałych jedenastu. Z podobnego powodu każdy z pozostałych typów interwałów, z wyjątkiem unisonów i oktaw, ma dwa różne rozmiary w ćwiartce przecinka. To cena, jaką płaci się za poszukiwanie właściwej intonacji . Poniższa tabela przedstawia ich przybliżoną wielkość w centach. Nazwy interwałów podano w ich standardowej skróconej formie. Na przykład wielkość przedziału od D do A, który jest idealną kwintą (P5), można znaleźć w siódmej kolumnie wiersza oznaczonego jako D . Ściśle sprawiedliwe (lub czyste ) interwały są pokazane pogrubioną czcionką. Interwały wilka są podświetlone na czerwono.

Przybliżony rozmiar w centach ze 144 interwałów w strojeniu ćwiartkowym przecinkiem opartym na D. Nazwy interwałów podano w ich standardowej skróconej formie. Czyste interwały są pokazane pogrubioną czcionką. Interwały wilka są podświetlone na czerwono.

Co zaskakujące, chociaż ten system strojenia został zaprojektowany do odtwarzania czystych tercji wielkich, tylko osiem z nich jest czystych (5:4, czyli około 386,3 centa).

Powodem, dla którego rozmiary interwałów różnią się w całej skali, jest to, że wysokość tonów tworzących skalę jest nierównomiernie rozmieszczona. Mianowicie, jak wspomniano powyżej, częstotliwości określone konstrukcyjnie dla dwunastu nut wyznaczają dwa różne rodzaje półtonów (tj. odstępy między sąsiednimi nutami):

• Sekunda mała (m2), zwana także półtonem diatonicznym, o rozmiarze

${\ Displaystyle S \ ({\ tekst {lub}} S_ {1}) = {\ frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}\około 117,1{\text{centów}}}$

(na przykład między D i E ♭ )

• Unisono rozszerzone (A1), zwane także półton chromatyczny, o rozmiarze

${\ Displaystyle X \ ({\ tekst {lub}} S_ {2}) = {\ Frac {5 ^ {\ Frac {7} {4}}} {16}} \ około 76,0 {\ tekst {centów }}}$

(na przykład między C a C ♯ )

I odwrotnie, w równomiernie temperowanej skali chromatycznej, z definicji dwanaście tonów jest równo rozmieszczonych, a wszystkie półtony mają rozmiar dokładnie

${\ Displaystyle S_ {E} = {\ sqrt [{12}] {2}} = 100 {\ tekst {centów}}.}$

W konsekwencji wszystkie interwały dowolnego typu mają ten sam rozmiar (np. wszystkie tercje wielkie mają ten sam rozmiar, wszystkie kwinty mają ten sam rozmiar itp.). Cena zapłacona w tym przypadku polega na tym, że żaden z nich nie jest dobrze nastrojony i doskonale spółgłoskowy, z wyjątkiem, oczywiście, unisono i oktawy.

Aby porównać z innymi systemami strojenia, zobacz także tę tabelę .

Z definicji w ćwiartce przecinka oznaczało 11 doskonałych piątych (P5 w tabeli) ma rozmiar około 696,6 centów (700 - ε centów, gdzie ε ≈ 3,422 centa); ponieważ średni rozmiar 12 piątych musi wynosić dokładnie 700 centów (jak w przypadku równotemperaturowego), drugi musi mieć rozmiar 700 + 11 ε centów , czyli około 737,6 centów ( wilcza piąta ). Zauważ, że, jak pokazano w tabeli, ten drugi interwał, chociaż pod względem enharmonicznym równoważny kwincie, jest właściwiej nazywany szóstą zmniejszoną ( d6 ). Podobnie,

• 10 sekund wielkich ( M2 ) to ≈ 193,2 centa (200 - 2 ε ), 2 tercje zmniejszone ( d3 ) to ≈ 234,2 centa (200 + 10 ε ), a ich średnia wynosi 200 centów;
• 9 małych tercji ( m3 ) to ≈ 310,3 centa (300 + 3 ε ), 3 sekundy zwiększone ( A2 ) to ≈ 269,2 centa (300 − 9 ε ), a ich średnia wynosi 300 centów;
• 8 tercji wielkich ( M3 ) to ≈ 386,3 centa (400 - 4 ε ), 4 kwarty zmniejszone ( d4 ) to ≈ 427,4 centa (400 + 8 ε ), a ich średnia wynosi 400 centów;
• półtonów diatonicznych ( m2 ) to ≈ 117,1 centów (100 + 5 ε ), 5 półtonów chromatycznych ( A1 ) to ≈ 76,0 centów (100 − 7 ε ), a ich średnia to 100 centów.

Krótko mówiąc, podobne różnice w szerokości obserwuje się dla wszystkich typów interwałów, z wyjątkiem unisonów i oktaw, i wszystkie one są wielokrotnościami ε, różnicy między ćwiartką przecinka oznaczającą kwintę a średnią kwintę.

Zauważ, że w oczywistej konsekwencji każdy zwiększony lub zmniejszony interwał jest dokładnie o 12 ε centów (≈ 41,1 centa) szerszy lub węższy niż jego enharmoniczny odpowiednik. Na przykład, zmniejszona szósta (lub kwinta wilka) jest o 12 ε centów szersza niż każda doskonała kwinta, a każda zwiększona sekunda jest o 12 ε centów węższa niż każda mała tercja. Ten przedział o rozmiarze 12 ε jest znany jako diesis lub sekunda zmniejszona . Oznacza to, że ε można również zdefiniować jako jedną dwunastą diesis.

Triady w skali chromatycznej

Triadę durową można zdefiniować za pomocą pary interwałów od prymy: tercji wielkiej (interwał obejmujący 4 półtony) i kwinty doskonałej (7 półtonów). Triadę molową można również zdefiniować za pomocą tercji małej (3 półtony) i kwinty doskonałej (7 półtonów).

Jak pokazano powyżej, skala chromatyczna ma dwanaście interwałów obejmujących siedem półtonów. Jedenaście z nich to doskonałe kwinty, a dwunasta to pomniejszona szósta. Ponieważ obejmują one tę samą liczbę półtonów, kwinty doskonałe i seksty zmniejszone są uważane za ekwiwalenty enharmoniczne . W równo -dostrojona skala chromatyczna, kwinty doskonałe i seksty zmniejszone mają dokładnie ten sam rozmiar. To samo dotyczy wszystkich enharmonicznie równoważnych interwałów obejmujących 4 półtony (tercje wielkie i kwarty zmniejszone) lub 3 półtony (tercje małe i sekundy zwiększone). Jednak w średnim temperamencie nie jest to prawdą. W tym systemie strojenia interwały równoważne enharmonicznie mogą mieć różne rozmiary, a niektóre interwały mogą znacznie odbiegać od ich odpowiednio dostrojonych idealnych proporcji. Jak wyjaśniono w poprzedniej sekcji, jeśli odchylenie jest zbyt duże, dany interwał nie nadaje się do użytku ani sam, ani w akordzie.

Poniższa tabela skupia się tylko na wyżej wymienionych trzech typach interwałów, używanych do tworzenia triad durowych i mollowych. Każdy wiersz przedstawia trzy interwały różnych typów, ale mające tę samą prymę. Każdy interwał jest określony przez parę nut. Po prawej stronie każdego interwału znajduje się wzór na stosunek interwałów . Interwały zmniejszonej czwartej, zmniejszonej szóstej i zwiększonej sekundy można uznać za interwały wilka i zostały one zaznaczone na czerwono . S i X oznaczają stosunek dwóch wyżej wymienionych rodzajów półtonów (sekundy małej i unisono zwiększonego).

3 półtony (m3 lub A2)		4 półtony (M3 lub d4)		7 półtonów (P5 lub d6)
Interwał	Stosunek	Interwał	Stosunek	Interwał	Stosunek
C-E ♭	S 2 · X	C – E	S 2 · X 2	C-G	S 4 · X 3
C ♯ –E	S 2 · X	C ♯ –F	S 3 · X	C ♯ –G ♯	S 4 · X 3
D–F	S 2 · X	D-F ♯	S 2 · X 2	D-A	S 4 · X 3
mi ♭ –f ♯	S · X 2	E ♭ –G	S 2 · X 2	E ♭ –B ♭	S 4 · X 3
NP	S 2 · X	E-G ♯	S 2 · X 2	E–B	S 4 · X 3
F – G ♯	S · X 2	FA	S 2 · X 2	F-C	S 4 · X 3
F ♯ –A	S 2 · X	F ♯ –B ♭	S 3 · X	F ♯ –C ♯	S 4 · X 3
G – B ♭	S 2 · X	G – B	S 2 · X 2	G – D	S 4 · X 3
G ♯ –B	S 2 · X	G ♯ –C	S 3 · X	G ♯ –E ♭	S 5 · X 2
A–C	S 2 · X	A – C ♯	S 2 · X 2	A – E	S 4 · X 3
B ♭ –C ♯	S · X 2	B ♭ –D	S 2 · X 2	B ♭ –F	S 4 · X 3
B – D	S 2 · X	B-E ♭	S 3 · X	B-F ♯	S 4 · X 3

Najpierw spójrz na dwie ostatnie kolumny po prawej stronie. Wszystkie interwały 7-półtonowe z wyjątkiem jednego mają stosunek

${\ Displaystyle S ^ {4} \ cdot X ^ {3} \ około 1,4953 \ około 696,6 {\ tekst {centów}}}$

co odbiega o -5,4 centa od zaledwie 3: 2 z 702,0 centów. Pięć centów to mało i do zaakceptowania. Z drugiej strony, pomniejszona szósta od G ♯ do E ♭ ma stosunek

${\ Displaystyle S ^ {5} \ cdot X ^ {2} \ około 1,5312 \ około 737,6 {\ tekst {centów}}}$

co odbiega o +35,7 centa od idealnej piątej. Trzydzieści pięć centów przekracza dopuszczalny zakres.

Teraz spójrz na dwie kolumny pośrodku. Osiem z dwunastu 4-półtonowych interwałów ma stosunek

${\ Displaystyle S ^ {2} \ cdot X ^ {2} = 1,25 \ około 386,3 {\ tekst {centów}}}$

czyli dokładnie 5:4. Z drugiej strony, cztery kwarty zmniejszone z korzeniami w C ♯ , F ♯ , G ♯ i B mają stosunek

${\ Displaystyle S ^ {3} \ cdot X = 1,28 \ około 427,4 {\ tekst {centów}}}$

co odbiega o +41,1 centa od właściwej tercji wielkiej. Ponownie, to brzmi źle z melodii.

Trójdźwięki durowe składają się zarówno z tercji wielkich, jak i kwint. Jeśli którykolwiek z dwóch przedziałów zostanie zastąpiony przedziałem wilka (d6 zamiast P5 lub d4 zamiast M3), triada jest nie do przyjęcia. Dlatego triady durowe z prymami C ♯ , F ♯ , G ♯ i B nie są używane w skalach średniotonowych, których podstawową nutą jest C.

Teraz spójrz na pierwsze dwie kolumny po lewej stronie. Dziewięć z dwunastu 3-półtonowych interwałów ma stosunek

${\ Displaystyle S ^ {2} \ cdot X \ około 1,1963 \ około 310,3 {\ tekst {centów}}}$

co odbiega o -5,4 centa od zaledwie 6: 5 z 315,6 centa. Pięć centów jest dopuszczalne. Z drugiej strony, trzy zwiększone sekundy, których korzenie to E ♭ , F i B ♭ mają stosunek

${\ Displaystyle S \ cdot X ^ {2} \ około 1,1682 \ około 269,2 {\ tekst {centów}}}$

co odbiega o -46,4 centa od zaledwie tercji małej. Jest to jednak bliskie dopasowanie do 7: 6 septymowej małej tercji wynoszącej 266,9 centa, z odchyleniem o +2,3 centa. Te zwiększone sekundy, choć same w sobie wystarczająco spółgłoskowe, zabrzmią „egzotycznie” lub nietypowo, gdy zostaną zagrane razem z idealną kwintą.

Triady molowe składają się zarówno z małych tercji, jak i kwint. Jeśli którykolwiek z dwóch interwałów zostanie zastąpiony interwałem równoważnym enharmonicznie (d6 zamiast P5 lub A2 zamiast m3), triada nie będzie brzmiała dobrze. Dlatego triady molowe z prymami E ♭ , F, G ♯ i B ♭ nie są używane w zdefiniowanej powyżej skali średniotonowej.

• Użyteczne są następujące triady główne: C, D, E ♭ , E, F, G, A, B ♭ .
• Użyteczne są następujące triady molowe: C, C ♯ , D, E, F ♯ , G, A, B.
• Następujące prymy są przydatne zarówno dla trójdźwięków durowych, jak i mollowych: C, D, E, G i A. Zwróć uwagę, że te pięć tonów tworzy skalę pentatoniczną durową .
• Następujące prymy są przydatne tylko w triadach durowych: E ♭ , F, B ♭ .
• Następujące prymy są przydatne tylko dla triad molowych: C ♯ , F ♯ , B.
• Następująca nuta prymy nie jest przydatna ani dla triady durowej, ani molowej: G ♯ .

Konstrukcja alternatywna

Jak omówiono powyżej, ćwiartka przecinka oznaczała jeden temperament,

• stosunek półtonu większego (diatonicznego) wynosi S = 8:5 ^{5 / 4} ,
• stosunek półtonu mniejszego (chromatycznego) wynosi X = 5 ^{7 ⁄ 4:16} ,
• stosunek większości całych tonów wynosi T = √ 5 :2,
• stosunek większości piątych wynosi P = ⁴ √ 5 .

Można zweryfikować za pomocą obliczeń, że większość całych tonów (mianowicie sekund głównych) składa się z jednego większego i jednego mniejszego półtonu:

${\ Displaystyle T = S \ cdot X = {\ Frac {8} {5 ^ {\ Frac {5} {4}}}} \ cdot {\ Frac {5 ^ {\ Frac {7} {4}}} {16}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.}$

Podobnie kwinta składa się zazwyczaj z trzech tonów i jednego większego półtonu:

${\ Displaystyle P = T ^ {3} \ cdot S = {\ Frac {5 ^ {\ Frac {3} {2} }}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}={\sqrt[{4}]{5}},}$

co odpowiada czterem większym i trzem mniejszym półtonom:

${\ Displaystyle P = T ^ {3} \ cdot S = S ^ {4} \ cdot X ^ {3}.}$

Skala diatoniczna

Skalę diatoniczną można skonstruować, zaczynając od nuty podstawowej i mnożąc ją przez T , aby przejść w górę o ton, lub przez S , aby przejść w górę o pół tonu.

 CDEFGABC′ |----|----|----|----|----|----|----|  TTSTTTS 

Wynikowe rozmiary interwałów w odniesieniu do nuty podstawowej C przedstawiono w poniższej tabeli:

Notatka	Formuła	Stosunek	Centy	Centy pitagorejskie	centów EQT
C	1	1.0000	0,0	0,0	0
D	T	1.1180	193.2	203,9	200
mi	T 2	1.2500	386,3	407,8	400
F	T2 S _	1,3375	503.4	498,0	500
G	P	1.4953	696,6	702.0	700
A	PT	1.6719	889,7	905.9	900
B	PT 2	1,8692	1082,9	1109,8	1100
C'	PT 2 S	2.0000	1200,0	1200,0	1200

  Zagraj tonikowy akord durowy   Zagraj tercję wielką   Zagraj kwintę doskonałą

Skala chromatyczna

Konstrukcja ćwierćprzecinkowej skali chromatycznej oznaczającej jeden ton może przebiegać poprzez ułożenie serii 12 półtonów, z których każdy może być diatoniczny ( S ) lub chromatyczny ( X ).

 CC  ♯  DE  ♭  EFF  ♯  GG  ♯  AB  ♭  BC′ |----|----|----|----|----|----|----|-- --|----|----|----|----|  XSSXSXSXSSXS 

Zauważ, że ta skala jest rozszerzeniem skali diatonicznej pokazanej w poprzedniej tabeli. Dodano tylko pięć nut: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ i B ♭ ( skala pentatoniczna ).

Jak wyjaśniono powyżej, identyczna skala została pierwotnie zdefiniowana i utworzona przy użyciu sekwencji hartowanych kwint, od E ♭ (pięć piątych poniżej D) do G ♯ (sześć piątych powyżej D), zamiast sekwencji półtonów. To bardziej konwencjonalne podejście, podobne do pitagorejskiego systemu strojenia opartego na D , wyjaśnia powód, dla którego półtony X i S są ułożone w określonej i pozornie arbitralnej kolejności pokazanej powyżej.

Wielkości interwałów w odniesieniu do nuty bazowej C przedstawiono w poniższej tabeli. Współczynniki częstotliwości są obliczane zgodnie ze wzorami. Delta to różnica w centach między średnią a 12-TET. 1 ⁄ 4 -c to różnica w ćwiartkach przecinków między strojeniem średnim a pitagorejskim.

Notatka	Formuła	Stosunek	Centy	12 TET	Delta	1 / 4 -c
C	1	1.0000	0,0	0	0,0	0
C♯ _	X	1,0449	76,0	100	−24,0	−7
D	T	1.1180	193.2	200	−6,8	−2
E ♭	TS	1.1963	310.3	300	+10,3	3
mi	T 2	1.2500	386,3	400	−13,7	−4
F	T2 S _	1,3375	503.4	500	+3,4	1
F ♯	T 3	1,3975	579,5	600	−20,5	−6
G	P	1.4953	696,6	700	−3,4	−1
G ♯	PX	1,5625	772,6	800	−27,4	−8
A	PT	1.6719	889,7	900	−10,3	−3
B ♭	PTS	1,7889	1006,8	1000	+6,8	2
B	PT 2	1,8692	1082,9	1100	−17.1	−5
C	PT 2 S	2.0000	1200,0	1200	0,0	0

Porównanie z 31-tonowym jednakowym temperamentem

Doskonała kwinta ćwiartki przecinka oznaczanego, wyrażona jako ułamek oktawy, to 1/4 log transcendentalne 2 _5. Ponieważ log ₂ 5 jest , łańcuch kwint średnich nigdy się nie zamyka (tj. nigdy nie równa się łańcuchowi oktaw) . Jednak ciągłe przybliżenia ułamków do tej niewymiernej liczby ułamków pozwalają nam znaleźć równe podziały oktawy, które są bliskie; ich mianowniki to 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789 ... Z tego wynika, że ​​31 ćwiartek przecinka oznaczało jedną piątą blisko zamknięcia i odwrotnie 31 równy temperament stanowi dobre przybliżenie ćwiartki przecinka oznaczanego.

Linki zewnętrzne

• „ Ćwierć przecinek oznaczało jeden ” na Xenharmonic Wiki .