przestrzeń Rothbergera

W matematyce przestrzeń Rothbergera jest przestrzenią topologiczną , która spełnia pewną podstawową zasadę selekcji . $każdej$ to przestrzeń, w przestrzeni znajdują się zbiory ${\ Displaystyle U_ {1} \ in {\ mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} \ in {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$ tak, że rodzina ${\ Displaystyle \ {U_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \}}$ obejmuje przestrzeń.

Historia

W 1938 roku Fritz Rothberger przedstawił swoją własność znaną jako ${\ displaystyle C''}$ .

Charakterystyka

Charakterystyka kombinatoryczna

W przypadku podzbiorów linii rzeczywistej właściwość Rothbergera można scharakteryzować za pomocą funkcji ciągłych w przestrzeni Baire'a. ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$ . Podzbiór ${\ displaystyle$ N $displaystyle A}$$mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}} jest możliwy do odgadnięcia$ jeśli istnieje funkcja że ​​zbiory są za { $} } {\ Displaystyle \ {n: f (n) = g (n) \}$ nieskończone dla wszystkich funkcji. ${\ displaystyle f \ in A$ } Podzbiorem linii rzeczywistej jest Rothberger, jeśli każdy ciągły obraz tej przestrzeni w przestrzeni Baire'a jest możliwy do odgadnięcia. $.$ podzbiór rzeczywistej linii jest

Topologiczna charakterystyka gry

Niech $będzie$ przestrzenią topologiczną Gra Rothbergera $gra się$ X grą, w której $X}$ dwóch graczy Alicja i Bob.

Pierwsza runda : Alicja wybiera otwartą okładkę z $.$$X$ } $_$ zestaw _

Druga runda : Alicja wybiera otwartą okładkę z $.$$X$ } Bob $_$ _

itp.

$_$ rodzina $_$ _ _ ${\ Displaystyle {\ tekst {G}} _ {1} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ . W przeciwnym razie Alicja wygrywa.

Gracz ma zwycięską strategię, jeśli wie, jak grać, aby wygrać grę. ${\ Displaystyle {\ tekst {G}} _ {1} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O } )}$ (formalnie strategia wygrywająca jest funkcją).

• Przestrzenią topologiczną jest Rothberger, jeśli Alicja nie ma zwycięskiej strategii w granej $grze$ strategii na tej przestrzeni.
• Niech $będzie$ przestrzenią metryczną $X},$$ma$$strategię$ grze { $displaystyle$ jeśli przestrzeń jest policzalna

Nieruchomości

• Każda przeliczalna przestrzeń topologiczna jest Rothbergerem
• Każdy zestaw Luzina to Rothberger
• Każdy podzbiór Rothbergera prostej ma silną miarę zero .
• W modelu Lavera dla spójności hipotezy Borela każdy podzbiór Rothbergera prostej rzeczywistej jest przeliczalny