Zasada selekcji

Ten artykuł nie dotyczy zasady antropicznej .

Ilustracja zasady selekcji ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}$

W matematyce zasada selekcji to reguła stwierdzająca możliwość uzyskania przedmiotów istotnych matematycznie poprzez wybranie elementów z zadanych ciągów zbiorów. Teoria zasad selekcji bada te zasady i ich związki z innymi właściwościami matematycznymi. Zasady selekcji opisują głównie właściwości obejmujące, właściwości teorii miary i kategorii oraz właściwości lokalne w przestrzeniach topologicznych, zwłaszcza w przestrzeniach funkcyjnych. Często charakterystyka właściwości matematycznej za pomocą zasady selekcji jest nietrywialnym zadaniem prowadzącym do nowych spostrzeżeń na temat scharakteryzowanej właściwości.

Główne zasady selekcji

W 1924 roku Karl Menger wprowadził następującą własność bazową dla przestrzeni metrycznych: Każda baza topologii zawiera sekwencję zbiorów o znikających średnicach, która obejmuje przestrzeń. Wkrótce potem Witold Hurewicz zauważył, że podstawowa własność Mengera jest równoważna następującej własności selektywnej: dla każdego ciągu otwartych pokryw przestrzeni można wybrać skończenie wiele zbiorów otwartych z każdej pokrywy w ciągu, tak że rodzina wszystkich wybranych zbiorów obejmuje przestrzeń. Przestrzenie topologiczne posiadające tę właściwość pokrycia nazywane są przestrzeniami Mengera .

Przeformułowanie własności Mengera przez Hurewicza było pierwszą ważną własnością topologiczną opisaną przez zasadę wyboru. Niech i $będą$$.$ obiektów W 1996 roku Marion Scheepers przedstawiła następujące hipotezy selekcyjne, ujmując dużą liczbę klasycznych właściwości matematycznych:

• ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}:$ dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle { \ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots }$ elementów z klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ , są elementy ${\ Displaystyle U_ {1} \ in {\ mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} \ in {\ mathcal {U}} _ {2}, \ kropki} takie,$ że ${\ Displaystyle \ {U_ {n}: n \ w \ mathbb {N} \} \ w \ mathbf {B}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}:$ dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$ elementów z klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ istnieją skończone podzbiory ZA ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {2} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ { 2} \ kropki}$ takie, że ${\ Displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} _ {n} \ in \ mathbf {B } }$ .

W przypadku, gdy klasy $okładek$$.$ się z pewnej przestrzeni otoczenia, Scheepers wprowadził również następującą zasadę selekcji

• ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}:$ dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$ elementów z klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ , żaden nie zawiera skończonego podpokrycie, istnieją skończone podzbiory $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {2} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ {2} \ kropki}$ takie, że ${\ Displaystyle \ {\ bigcup {\ mathcal {F}} _ {1}, \ bigcup {\ mathcal {F} }_{2},\dotsc \}\w \mathbf {B} }$ .

Później Boaz Tsaban zidentyfikował rozpowszechnienie następującej powiązanej zasady:

• ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {A}} {\ mathbf {B}}}}:$ Każdy członek klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ zawiera członka klasy ${ \displaystyle \mathbf {B}}$ .

Tak zdefiniowane pojęcia są zasadami selekcji . Instancja zasady wyboru, biorąc pod uwagę określone klasy $i$$)$ właściwość wyboru lub: selektywna . Jednak terminologie te stosowane są w literaturze zamiennie.

Wariacje

Dla zbioru i rodziny podzbiorów podzbiorów ${\ Displaystyle$$X}$ , $X}$ gwiazda w F ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ⊂ $\$ to zbiór ${\ Displaystyle {\ text {St}} (A, {\ mathcal {F}}) = \ bigcup \ {F \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap F \ neq \ emptyset \}}$ .

W 1999 roku Ljubisa DR Kocinac wprowadziła następujące zasady selekcji gwiazd :

• ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} ^ {*} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}:$ dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$ elementów z klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ są elementy ZA ${\ Displaystyle U_ {1} \ in {\ mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} \ in {\ mathcal {U}} _ {2}, \ kropki} takie,$ że ${\ Displaystyle \ {{\ tekst {St}} (U_ {n}, {\ mathcal {U}} _ {n}): n \ w \ mathbb {N} \ }\w \mathbf {B}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} ^ {*} (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}:$ dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {U}} _ {2}, \ ldots}$ elementów z klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ , istnieją skończone podzbiory ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {2} \ subseteq {\ mathcal {U}} _ { 2} \ kropki}$ takie, że ${\ Displaystyle \ {{\ tekst {St}} (\ bigcup {\ mathcal {F}} _ {n },{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B}}$ .

Zasady wyboru gwiazd są szczególnymi przypadkami ogólnych zasad wyboru. Można to zobaczyć $,$ odpowiednio modyfikując definicję rodziny

Właściwości kryjące

Właściwości pokrycia stanowią jądro teorii zasad selekcji. Właściwości wyboru, które nie obejmują właściwości, są często badane przy użyciu implikacji do iz selektywnych właściwości pokrycia powiązanych przestrzeni.

Niech będzie przestrzenią $topologiczną$ . Otwarta okładka to rodzina zbiorów otwartych, których połączeniem $jest$$była$ X $technicznych$ prosimy również, aby cała przestrzeń członkiem okładki. Klasa otwartych okładek przestrzeni $displaystyle$ przez $X}$ . (formalnie ${\ Displaystyle \ mathbf {O} (X)}$$tle$ ale zwykle przestrzeń jest ustalona w .) Wspomniana powyżej właściwość Mengera to zatem ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ . W 1942 roku Fritz Rothberger rozważał silne zbiory zerowe Borela i wprowadził odmianę topologiczną zwaną później przestrzenią Rothbergera (znaną również jako do ${\ displaystyle ''}$ spacja ). $_$ Rothbergera _

Otwarta pokrywa $U$ punktowo zbieżna , ${U}}}$ ma nieskończenie wiele elementów, a każdy punkt do wszystkich. $Displaystyle {\$ ale skończenie wiele zestawów ${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$ . (Ten rodzaj okładki rozważali Gerlits i Nagy w trzeciej pozycji pewnej listy w swoim artykule. Lista została wyliczona greckimi literami, stąd te okładki są często nazywane ${\ Displaystyle \ gamma}$ -covers .) Klasa otwartych okładek punktowo skończonych $Displaystyle$ oznaczona przez $\ mathbf {\ Gamma}}$ . U płetwa ( $\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma$ } .

Otwarta okładka $X}$$displaystyle$ okładką ${\displaystyle {$ każdy skończony podzbiór jest zawarty w jakimś członie $\$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ . Klasa $okładek$ -okładek ${\ displaystyle X}$ jest oznaczona przez $Omega}}$ . Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią γ jeśli spełnia $binom {\ mathbf {\ Omega}}} {\ mathbf {\ Gamma}}}}$ \

Korzystając z hipotez doboru gwiazd, uzyskuje się takie właściwości, jak gwiazda-Menger ( ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} ^ {*} (\ mathbf {O} \ mathbf {O} )}$ ), gwiazda-Rothberger ( ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} ^ {*} (\ mathbf {O} \ mathbf { O} )}$ ) i star-Hurewicz ( ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {fin}} ^ {*} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma})})$ .

Diagram Scheepersa

Istnieje 36 właściwości selekcji postaci ${\ Displaystyle \ Pi (\ mathbf {A}, \ mathbf {B})}$ dla ${\ Displaystyle \ Pi \ in \ {{\ tekst {S}} _ {1}, {\ tekst {S}} _ {\ tekst {fin}}, {\ tekst {U}} _ {\ tekst {fin }}, {\bigl (}~~{\bigr )}\}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ in \ {\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma}, \ mathbf {\ Omega} \}}$ . Niektóre z nich są trywialne (trzymaj dla wszystkich pól lub nie dla wszystkich pól). Ograniczając uwagę do przestrzeni Lindelöfa , poniższy diagram, znany jako Diagram Scheepersa , przedstawia nietrywialne właściwości selekcji powyższej postaci, a każda nietrywialna właściwość selekcji jest równoważna jednej na diagramie. Strzałki oznaczają implikacje.

Właściwości lokalne

Zasady selekcji uwzględniają również ważne właściwości lokalne.

Niech ${\ displaystyle Y}$ będzie przestrzenią topologiczną i ${\ displaystyle y \ in Y}$ . Klasa zbiorów $\$${y}} }$ { \ Displaystyle $mathbf$$Omega$ . Klasa składa się z policzalnych ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega _ {y} ^ {\ tekst {ctbl}}}}$ elementy klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega _ {y}}}$ . Klasa sekwencji w ${$ które zbiegają się do jest $y}}}$ przez ${ \ Displaystyle \ mathbf {\ Gamma _$ .

• Przestrzeń ${\ Displaystyle Y}$ jest Frécheta-Urysohna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {\ Omega _ {y}}} {\ mathbf {\ Gamma _ { y}} }}}$ dla wszystkich punktów ${\ Displaystyle y \ w Y}$ .
• Przestrzeń jest silnie Frécheta-Urysohna $wtedy$ i tylko wtedy, gdy spełnia $\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} (\ mathbf {\ Omega _ { y}}, \ mathbf {\ Gamma _ {y}}}}$ dla wszystkich punktów ${\ Displaystyle y \ w Y}$ .
• Przestrzeń ma policzalną szczelność wtedy i tylko wtedy $,$ gdy spełnia ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {\ Omega _ {y}}} {\ mathbf {\ Omega _$ dla wszystkich punktów ${\ Displaystyle y \ in Y}$ .
• $y$ płetwa $Omega _ {y}} \ mathbf {\ Omega _ {y}}}}$ , ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {fin}$ } ( dla wszystkich punktów ${\ Displaystyle y \ w Y}$ .
• Przestrzeń ma policzalną, silną szczelność wentylatora wtedy i tylko $wtedy,$ spełnia ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {1} (\ mathbf {\ Omega _ { y}}, \ mathbf {\ Omega _ {y}}}}$ dla wszystkich punktów ${\ Displaystyle y \ w Y}$ .

Gry topologiczne

Istnieją ścisłe powiązania między zasadami selekcji a grami topologicznymi .

Gra Mengera

Niech $będzie$ przestrzenią topologiczną ${\ Displaystyle {\ tekst {G}} _ {\ tekst {fin}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ fin na ${\ Displaystyle X}$ to gra dla dwóch graczy, Alicji i Boba. Ma inning na każdą liczbę naturalną ${\ displaystyle n}$ . W $otwartą$ osłonę ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {n}}$ z ${\ Displaystyle X}$ , a Bob wybiera skończony podzbiór ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ z ${\ styl wyświetlania {\ mathcal {U}}}$ . Jeśli rodzina jest pokryciem przestrzeni $}$$\ Displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} _ {n}$ , wtedy Bob wygrywa grę. W przeciwnym razie Alicja wygrywa.

Strategia dla gracza to funkcja określająca ruch gracza, biorąc pod uwagę wcześniejsze ruchy obu graczy . Strategia dla gracza jest strategią wygrywającą , jeśli każda gra, w której ten gracz trzyma się tej strategii, wygrywa ten gracz.

• Przestrzeń topologiczna to ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {fin}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})} wtedy i tylko wtedy, gdy Alice$ nie $_$ grze tej
• Niech ${\ displaystyle X}$ będzie przestrzenią metryczną. $Bob$ grze na przestrzeń $X} wtedy i tylko wtedy$$displaystyle$$,$ gdy przestrzeń jest .

Zauważ, że wśród przestrzeni Lindelöfa metryzowalność jest równoważna regularnym i drugim policzalnym, więc poprzedni wynik można alternatywnie uzyskać, rozważając ograniczone strategie informacyjne . Strategia Markowa to taka, która wykorzystuje tylko ostatni ruch przeciwnika i aktualny numer rundy.

• Niech ${\ displaystyle X}$ będzie regularną przestrzenią. Bob ma zwycięską strategię Markowa w grze ${\ Displaystyle {\ tekst {G}} _ {\ tekst {fin}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ przestrzeń $wtedy i$ tylko wtedy $,$ przestrzeń $.$
• Niech ${\ displaystyle X}$ będzie drugą przeliczalną przestrzenią. Bob ma zwycięską strategię Markowa w grze ${\ Displaystyle {\ tekst {G}} _ {\ tekst {fin}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ przestrzeń $,$ gdy ma zwycięską strategię doskonałej informacji.

W podobny sposób definiujemy gry dla innych zasad selekcji z danego Diagramu Scheepersa. We wszystkich tych przypadkach przestrzeń topologiczna ma właściwość z Diagramu Scheepersa wtedy i tylko wtedy, gdy Alicja nie ma strategii wygrywającej w odpowiedniej grze. Ale ogólnie to się nie sprawdza: Niech $rodziną$ k-pokryć przestrzeni. Oznacza to, że każdy zbiór zwarty w przestrzeni jest przykryty przez jakiś element pokrycia. Francis Jordan zademonstrował przestrzeń, w której zasada selekcji ${\ Displaystyle {\ text {S}} _ {1} (\ mathbf {K}, \ mathbf {O})}$ trzyma się, ale Alice ma zwycięską strategię w grze ${\ Displaystyle { \text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$

Przykłady i właściwości

• Każda przestrzeń ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {fin}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})} jest$ przestrzenią Lindelöfa .
• Każda przestrzeń σ-zwarta (przeliczalna suma przestrzeni zwartych) jest ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gama } )}$ .
• ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {\ Omega}}} {\ mathbf {\ Gamma}}} \ Strzałka w prawo {\ tekst {U }}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma} )\strzałka w prawo {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O},\mathbf {O} )}$ .
• ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {\ Omega}}} {\ mathbf {\ Gamma}}} \ Strzałka w prawo {\ tekst {S }}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\strzałka w prawo {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ .
• Zakładając Hipotezę Continuum , istnieją zbiory liczb rzeczywistych świadczące o tym, że powyższych implikacji nie można odwrócić.
• Każdy zestaw Luzina to ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}, ale$ nie ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma})}$ .
• Każdy zestaw Sierpińskiego to Hurewicz.

Podzbiory linii rzeczywistej $)$ z indukowaną topologią podprzestrzeni posiadające właściwości zasady wyboru, w szczególności przestrzenie Mengera i Hurewicza, można scharakteryzować za pomocą ich ciągłych obrazów w przestrzeni Baire'a ${\ displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ . fa , sol ${N}}}$ , napisz ${\ Displaystyle f \ leq ^ {*} g}$ jeśli ${\ Displaystyle f (n) \ równoważnik g (n)}$ dla wszystkich liczb naturalnych oprócz skończonej liczby ${\ displaystyle n}$ . Niech będzie podzbiorem $\ Displaystyle \ mathbb {N$$^ {\ mathbb {N}}}$ . Zbiór jest ograniczony , jeśli istnieje funkcja $}$$Displaystyle A$ że ${\ Displaystyle f \ równoważnik ^ {*} g}$ dla wszystkich funkcji ${\ Displaystyle f \ w A}$ . Zbiór $jest$ dominujący , jeśli dla każdej funkcji istnieje funkcja $^ {\ mathbb {N}}}$ { \ Displaystyle f \ w \ mathbb {N ${\ displaystyle g \ w A}$ takie, że ${\ Displaystyle f \ równoważnik ^ {*} g}$ .

• Podzbiór prostej rzeczywistej to ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})} wtedy i tylko wtedy,$ gdy każdy ciągły obraz tej przestrzeni w przestrzeń Baire'a nie jest dominujący.
• Podzbiór linii rzeczywistej to ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma})} wtedy i$ tylko jeśli każdy ciągły obraz tej przestrzeni w przestrzeni Baire'a jest ograniczony.

Powiązania z innymi dziedzinami

Topologia ogólna

• Każda przestrzeń ${\ Displaystyle {\ tekst {S}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {O})}$ jest przestrzenią D.

Niech P będzie własnością przestrzeni. Przestrzeń jest produktywnie P $,$$ma$ dla każdej przestrzeni z właściwością $P$ przestrzeń P

• Każda dająca się rozdzielić produkcyjnie parazwarta przestrzeń jest ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma})}$ .
• Zakładając hipotezę kontinuum , każda produktywnie przestrzeń Lindelöfa jest produktywnie ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} _ {\ tekst {płetwa}} (\ mathbf {O}, \ mathbf {\ Gamma}) }$
• Niech $\ Displaystyle$${\ binom {\ mathbf {\ Omega}}} {\ mathbf {\ Gamma}}}}$ podzbiorem linii rzeczywistej i ${\ Displaystyle M}$ być skromnym podzbiorem linii rzeczywistej. $_$ zbiór _

Teoria miary

• Każdy $podzbiór$ . _ _

Przestrzenie funkcyjne

Niech ${\ Displaystyle X}$ będzie przestrzenią Tychonowa i $R$ przestrzenią funkcji ciągłych $}$$Displaystyle f \ okrężnica X \ do \ mathbb {$ z topologią zbieżności punktowej .

• ${\ Displaystyle X}$ spełnia ${\ Displaystyle {\ binom {\ mathbf {\ Omega}}} {\ mathbf {\ Gamma}}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy do $(X) }$ jest Fréchet – Urysohn wtedy i tylko wtedy, $gdy$ – Urysohn
• $_$ tylko $wtedy$ _ ${\ Displaystyle C (X)}$ ma policzalną silną szczelność wentylatora .
• $i$ _ $_$ _ tylko wtedy $wentylatora$ gdy .

Zobacz też

• Kompaktowa przestrzeń
• Sigma-kompaktowy
• Przestrzeń Mengera
• Przestrzeń Hurewicza
• Przestrzeń Rothbergera