Twierdzenie Dunforda-Schwartza

W matematyce , zwłaszcza w analizie funkcjonalnej , twierdzenie Dunforda-Schwartza , nazwane na cześć Nelsona Dunforda i Jacoba T. Schwartza , stwierdza, że ​​średnie potęg pewnych operatorów ograniczonych normami na L ¹ zbiegają się w odpowiednim sensie.

Stwierdzenie twierdzenia

${\ Displaystyle {\ tekst {Niech}} T {\ tekst {będzie operatorem liniowym od}} L ^ {1} {\ tekst {do}} L ^ {1} {\ tekst {z}} \ | T \|_{1}\leq 1{\text{ i }}\|T\|_{\infty }\leq 1{\text{. Następnie}}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {k = 0} ^ {n- 1}T^{k}f}$

${\ Displaystyle {\ tekst {istnieje prawie wszędzie dla wszystkich}} f \ w L ^ {1} {\ tekst {.}}}$

Stwierdzenie nie jest już prawdziwe, gdy warunek ograniczoności jest złagodzony nawet do ${\ Displaystyle \|T \|_ {\ infty} \ równoważnik 1+ \ varepsilon}$ .