Twierdzenie Hilberta-Schmidta

W analizie matematycznej twierdzenie Hilberta-Schmidta , znane również jako twierdzenie o rozwinięciu funkcji własnej , jest podstawowym wynikiem dotyczącym zwartych , samosprzężonych operatorów w przestrzeniach Hilberta . W teorii równań różniczkowych cząstkowych jest bardzo przydatny w rozwiązywaniu eliptycznych zagadnień brzegowych .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ( H , ⟨ , ⟩) będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią Hilberta i niech A : H → H będzie ograniczonym , zwartym, samosprzężonym operatorem. Wtedy istnieje ciąg niezerowych rzeczywistych wartości własnych λ _i , i = 1, …, N , gdzie N jest równe rzędowi A , takie że | λ _ja | jest monotonicznie nierosnący i jeśli N = +∞,

$${\ Displaystyle \ lim _ {i \ do + \ infty} \ lambda _ {i} = 0.}$$

Ponadto, jeśli każda wartość własna A jest powtarzana w sekwencji zgodnie z jej krotnością , to istnieje zbiór ortonormalny φ _i , i = 1, …, N , odpowiednich funkcji własnych, tj.

$${\ Displaystyle A \ varphi _ {i} = \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} {\ mbox {dla}} i = 1, \ kropki, N.}$$

Ponadto funkcje φ _i tworzą bazę ortonormalną dla zakresu A i A można zapisać jako

$${\ Displaystyle Au = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lambda _ {i} \ langle \ varphi _ {i}, u \ rangle \ varphi _ {i} {\ mbox {dla wszystkich}} u \w H.}$$

•   Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty z matematyki stosowanej 13 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 356 . ISBN 0-387-00444-0 . (Twierdzenie 8.94)

•   Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (2017). Analiza rzeczywista (wyd. Czwarte). Nowy Jork: MacMillan. ISBN 0134689496 . (Sekcja 16.6)