Twierdzenie Sz.-Nagy'ego o dylatacji

Twierdzenie o dylatacji Sz.-Nagy'ego ( udowodnione przez Bélę Szőkefalvi-Nagy ) stwierdza, że ​​każde skrócenie T w przestrzeni Hilberta H ma jednostkowe rozszerzenie U do przestrzeni Hilberta K , zawierającej H , z

${\ Displaystyle T ^ {n} = P_ {H} U ^ {n} \ vert _ {H}, \ quad n \ geq 0.}$

Co więcej, taka dylatacja jest wyjątkowa (aż do jednostkowej równoważności), gdy założy się, że K jest minimalne, w tym sensie, że rozpiętość liniowa ∪ _n U ⁿ H jest gęsta w K . Kiedy ten warunek minimalności jest spełniony, U nazywa się minimalnym jednostkowym rozszerzeniem T .

Dowód

Dla skurczu T (tj. $)$ jego operator defektu D _{T jest} (unikatowy) dodatni pierwiastek kwadratowy T ₌ ( - T *T ) ^½ W szczególnym przypadku, gdy S jest izometrią, D _S* jest rzutnikiem i D _S = 0 , stąd jednostkowe rozszerzenie S według Sz. Nagya z wymaganą właściwością wielomianowego rachunku funkcyjnego:

${\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {bmatrix} S&D_ {S ^ {*}} \\ D_ {S} i -S ^ {*} \ koniec {bmatrix}}.}$

Wracając do ogólnego przypadku skurczu T , każdy skurcz T w przestrzeni Hilberta H ma rozszerzenie izometryczne, ponownie z właściwością rachunku różniczkowego, na

${\ Displaystyle \ oplus _ {n \ geq 0} H}$

podane przez

${\ Displaystyle S = {\ rozpocząć {bmatrix} T&0&0&\cdots &\\D_{T}&0&0&&\\0&I&0&\ddots \\0&0&I&\ddots \\\vdots &&\ddots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Zastępując izometrię S tak skonstruowaną dylatacją jednostkową Sz.-Nagy'a , otrzymujemy dylatację jednostkową dla skurczu T :

${\ Displaystyle T ^ {n} = P_ {H} S ^ {n} \ vert _ {H} = P_ {H} (Q_ {H'} U \ vert _ {H'}) ^ {n} \ vert _{H}=P_{H}U^{n}\vert _{H}.}$

Formularz Schaffera

Forma Schaffera unitarnego Sz. Dylatację Nagya można postrzegać jako punkt wyjścia do scharakteryzowania wszystkich dylatacji jednostkowych o wymaganej właściwości dla danego skurczu.

Uwagi

Uogólnienie tego twierdzenia przez Bergera, Foiasa i Lebowa pokazuje, że jeśli X jest zbiorem widmowym dla T , i

${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (X)}$

jest algebrą Dirichleta , to T ma minimalne rozszerzenie normalne δX o powyższej postaci. Konsekwencją tego jest to, że każdy operator z prostym spójnym zbiorem widmowym X ma minimalną normalną dylatację δX .

Aby zobaczyć, że to uogólnia twierdzenie Sz.-Nagy'a, zauważmy, że operatory kontrakcji mają dysk jednostkowy D jako zbiór widmowy, a operatory normalne z widmem w okręgu jednostkowym δ D są unitarne.

• Paulsen, V. (2003). Całkowicie ograniczone mapy i algebry operatorów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
•   Schaffer, JJ (1955). „O jednostkowych rozszerzeniach skurczów”. Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 6 (2): 322. doi : 10.2307/2032368 . JSTOR 2032368 .