Wprowadzenie do 3-Rozmaitości
Wprowadzenie do 3-rozmaitości to książka matematyczna o topologii niskowymiarowej . Został napisany przez Jennifer Schultens i opublikowany przez American Mathematical Society w 2014 roku jako tom 151 ich serii książek Graduate Studies in Mathematics .
Tematy
Rozmaitość to przestrzeń, której topologia w pobliżu dowolnego punktu jest taka sama jak topologia w pobliżu punktu przestrzeni euklidesowej ; jednak jego globalna struktura może być nieeuklidesowa. Znane przykłady rozmaitości dwuwymiarowych obejmują kulę , torus i butelkę Kleina ; ta książka koncentruje się na trójwymiarowych rozmaitościach i dwuwymiarowych powierzchniach w ich obrębie. Szczególny nacisk kładziony jest na podział Heegaarda , dwuwymiarową powierzchnię, która dzieli 3-kolektor na dwa korpusy . Ma na celu przedstawienie głównych idei tego obszaru, ale nie zawiera szczegółowych dowodów dla wielu wyników, które stwierdza, w wielu przypadkach, ponieważ dowody te są długie i techniczne.
Książka ma siedem rozdziałów. Pierwsze dwa są wprowadzające, dostarczając ogólnie materiału o rozmaitościach, Hauptvermutung udowadniający istnienie i równoważność triangulacji dla rozmaitości niskowymiarowych, klasyfikacja powierzchni dwuwymiarowych , przestrzenie pokrywające i grupa klas mapowania . Rozdział trzeci rozpoczyna materiał książki o 3-rozmaitościach oraz o rozkładzie rozmaitości na mniejsze przestrzenie poprzez przecięcie ich wzdłuż powierzchni. Na przykład trójwymiarowe twierdzenie Schoenfliesa stwierdza, że przecięcie przestrzeni euklidesowej przez kulę może dać tylko dwie kule topologiczne; analogiczne twierdzenie JW Alexandra stwierdza, że co najmniej jeden bok dowolnego torusa w przestrzeni euklidesowej musi być torusem bryłowym . Jednak w przypadku bardziej skomplikowanych rozmaitości cięcie wzdłuż nieściśliwych powierzchni może być użyte do skonstruowania rozkładu JSJ rozmaitości. Ten rozdział zawiera również materiał o przestrzeniach włókien Seiferta . Rozdział czwarty dotyczy teorii węzłów , niezmienników węzłów , cienka pozycja i związek między węzłami i ich niezmiennikami do rozmaitości poprzez dopełnienia węzłów , podprzestrzenie przestrzeni euklidesowej po innych stronach torusa.
Recenzent Bruno Zimmermann nazywa rozdziały 5 i 6 „sercem książki”, chociaż recenzent Michael Berg nie zgadza się z tym, uznając rozdział 4 dotyczący teorii węzłów za bardziej centralny. W rozdziale 5 omówiono powierzchnie normalne , powierzchnie przecinające czworościany triangulacji rozmaitości w kontrolowany sposób. Parametryzując te powierzchnie według liczby kawałków każdego możliwego typu, które mogą zawierać w każdym czworościanie triangulacji, można zredukować wiele pytań dotyczących rozmaitości, takich jak rozpoznawanie trywialnych węzłów i trywialnych rozmaitości, do pytań z teorii liczb, dotyczących istnienia rozwiązań do niektórych Równania diofantyczne . Książka wykorzystuje to narzędzie do udowodnienia istnienia i jednoznaczności pierwszych rozkładów rozmaitości. Rozdział 6 dotyczy rozłupań Heegaarda , czyli powierzchni dzielących dany kolektor na dwa korpusy . Obejmuje twierdzenie Reidemeistera i Singera o powszechnych udoskonaleniach („stabilizacjach”) rozszczepień Heegaarda, redukowalności rozszczepień, wyjątkowości rozszczepienia danego rodzaju dla przestrzeni euklidesowej oraz grafikę Rubinsteina – Scharlemanna, narzędzie do badania rozszczepień Heegaarda .
Ostatni rozdział omawia bardziej zaawansowane tematy, w tym hipotezę geometryzacji , operację Dehna , foliacje , laminacje i kompleksy krzywych . Istnieją dwa dodatki, dotyczące pozycji ogólnej i teorii Morse'a .
Publiczność i odbiór
Książka ta, choć napisana w formie podręcznika dla absolwentów na poziomie wprowadzającym, przedstawia wiele najnowszych osiągnięć, co czyni ją interesującą również dla specjalistów w tej dziedzinie. Potrzebna jest niewielka wiedza z zakresu topologii ogólnej , a dodatkowa znajomość topologii algebraicznej i geometrii różniczkowej może być pomocna w czytaniu książki. Zawiera wiele ilustracji i ćwiczeń.
Recenzent Bruno Zimmermann stwierdza, że książka „jest napisana w przyjemny i intuicyjny sposób, dzięki czemu przyjemnie się ją czyta”. Recenzent Michael Berg nazywa to „doskonałą książką, która bogato ilustruje zakres wybranego przez nią tematu… bardzo dobrze napisana, jasna i jednoznaczna w swojej prezentacji”.
Powiązane czytanie
Inne pokrewne książki na temat matematyki 3-rozmaitości obejmują 3-rozmaitości autorstwa Johna Hempla (1976), Węzły, linki, warkocze i 3-rozmaitości autorstwa Victora V. Prasołowa i Aleksieja B. Sosinskiego (1997), Topologia algorytmiczna i klasyfikacja 3 -rozmaitości autorstwa Siergieja W. Matwiejewa (wyd. 2, 2007) oraz zbiór niepublikowanych notatek z wykładów na temat 3-rozmaitości autorstwa Allena Hatchera .