Złożona przestrzeń afiniczna

geometria afiniczna to badanie właściwości geometrycznych linii, płaszczyzn i ich analogów o wyższych wymiarach, w których zachowane jest pojęcie „równoległości”, ale nie ma metrycznych pojęć odległości lub kąta. Przestrzenie afiniczne różnią się od przestrzeni liniowych (to znaczy przestrzeni wektorowych) tym, że nie mają wyróżnionego wyboru pochodzenia. Tak więc, mówiąc słowami Marcela Bergera , „Przestrzeń afiniczna to nic innego jak przestrzeń wektorowa, o której pochodzeniu próbujemy zapomnieć, dodając translacje do map liniowych”. W związku z tym złożona przestrzeń afiniczna , czyli przestrzeń afiniczna nad liczbami zespolonymi , jest jak zespolona przestrzeń wektorowa, ale bez wyróżnionego punktu, który mógłby służyć jako początek.

Geometria afiniczna jest jedną z dwóch głównych gałęzi klasycznej geometrii algebraicznej , drugą jest geometria rzutowa . Złożoną przestrzeń afiniczną można uzyskać ze złożonej przestrzeni rzutowej, ustalając hiperpłaszczyznę, którą można traktować jako hiperpłaszczyznę idealnych punktów „w nieskończoności” przestrzeni afinicznej. Aby zilustrować różnicę (na liczbach rzeczywistych), parabola na płaszczyźnie afinicznej przecina linię w nieskończoności, podczas gdy elipsa nie. Jednak dowolne dwa przekroje stożkowe są rzutowo równoważne. Tak więc parabola i elipsa są tym samym , gdy myśli się o nich rzutowo, ale różnią się, gdy traktuje się je jako obiekty afiniczne. Nieco mniej intuicyjnie, w przypadku liczb zespolonych, elipsa przecina linię w nieskończoności w parze punktów , podczas gdy parabola przecina linię w nieskończoności w jednym punkcie. Tak więc z nieco innego powodu elipsa i parabola są nierównoważne na zespolonej płaszczyźnie afinicznej, ale pozostają równoważne na (zespolonej) płaszczyźnie rzutowej.

Każda złożona przestrzeń wektorowa jest przestrzenią afiniczną: wystarczy zapomnieć o pochodzeniu (i ewentualnie o dowolnej dodatkowej strukturze, takiej jak iloczyn wewnętrzny ). Na przykład złożoną przestrzeń afiniczną można uznać za złożoną przestrzeń afiniczną, gdy interesują nas tylko jej właściwości afiniczne (w przeciwieństwie do właściwości liniowych lub $.$ , Na przykład). Ponieważ dowolne dwie przestrzenie afiniczne tego samego wymiaru są izomorficzne , w niektórych $.$ należy je identyfikować za pomocą , przy założeniu, że tylko pojęcia niezmienne afinicznie mają ostatecznie . To użycie jest bardzo powszechne we współczesnej geometrii algebraicznej.

Struktura afiniczna

Istnieje kilka równoważnych sposobów określenia struktury afinicznej n -wymiarowej zespolonej przestrzeni afinicznej A . Najprostszy obejmuje przestrzeń pomocniczą V , zwaną przestrzenią różnicową , która jest przestrzenią wektorową nad liczbami zespolonymi. Wtedy przestrzeń afiniczna jest zbiorem A wraz z prostym i przechodnim działaniem V na A . (Oznacza to, że A jest V -torsorem).

Innym sposobem jest zdefiniowanie pojęcia kombinacji afinicznej, spełniającej określone aksjomaty. Afiniczna kombinacja punktów $p 1, \dots, p k ∊ A$ jest wyrażona jako suma postaci

{\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {p} _ {1} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {p} _ {k}}

gdzie skalary $a i$ są liczbami zespolonymi, które sumują się do jedności.

Przestrzeń różnic można utożsamiać ze zbiorem „różnic formalnych” $p - q$ , modulo relacji, że różnice formalne w oczywisty sposób respektują kombinacje afiniczne.

Funkcje afiniczne

Funkcja $nazywana$ afiniczną jeśli . Więc

{\ Displaystyle f (a_ {1} \ mathbf {p} _ {1} +\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k})=a_{1}f(\mathbf {p} _{1})+\cdots +a_{k}f(\mathbf {p} _{k})}

dla dowolnej kombinacji afinicznej

{\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {p} _ {1} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {p} _ {k}}

w ZA .

Przestrzeń funkcji afinicznych $A *$ jest przestrzenią liniową. Podwójna przestrzeń wektorowa $A *$ jest naturalnie izomorficzna z ( n +1)-wymiarową przestrzenią wektorową $F(A)$ , która jest swobodną przestrzenią wektorową na A modulo relacji, że kombinacja afiniczna w A zgadza się z kombinacją afiniczną w $F(A)$ . Dzięki tej konstrukcji afiniczną strukturę przestrzeni afinicznej A można całkowicie odzyskać z przestrzeni funkcji afinicznych.

Algebra wielomianów w funkcjach afinicznych na A definiuje pierścień funkcji, zwany pierścieniem współrzędnych afinicznych w geometrii algebraicznej. Pierścień ten ma filtrację stopniową w funkcjach afinicznych. I odwrotnie, możliwe jest odzyskanie punktów przestrzeni afinicznej jako zbioru homomorfizmów algebry z pierścienia współrzędnych afinicznych do liczb zespolonych. Nazywa się to maksymalnym widmem pierścienia, ponieważ pokrywa się z jego zbiorem maksymalnych ideałów . W tym maksymalnym widmie istnieje unikalna struktura afiniczna, która jest zgodna z filtracją na afinicznym pierścieniu współrzędnych.

Niskowymiarowe przykłady

Jeden wymiar

Jednowymiarowa złożona przestrzeń afiniczna lub złożona linia afiniczna jest torsorem jednowymiarowej przestrzeni $liniowej$ . Najprostszym przykładem jest sama płaszczyzna Arganda $zespolonych$ . Ma to kanoniczną strukturę liniową, a więc „zapomnienie” pochodzenia nadaje mu kanoniczną strukturę afiniczną.

Dla innego przykładu załóżmy, że X jest dwuwymiarową przestrzenią wektorową nad liczbami zespolonymi. Niech ${\ Displaystyle \ alfa: \ mathbf {X} \ do \ mathbb {C}}$ będzie funkcjonałem liniowym . Powszechnie wiadomo, że zbiór rozwiązań $α (x) = 0$ , jądro $α$ , jest jednowymiarową liniową podprzestrzenią (to znaczy zespoloną linią przechodzącą przez początek X ). Ale jeśli c jest niezerową liczbą zespoloną, to zbiór A rozwiązań $α (x) = c$ jest linią afiniczną w X , ale nie jest podprzestrzenią liniową, ponieważ nie jest domknięty dowolną kombinacją liniową. Przestrzeń różnicowa V jest jądrem $α$ , ponieważ różnica dwóch rozwiązań niejednorodnego równania $α (x) = c$ leży w jądrze.

Analogiczna konstrukcja dotyczy rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Rozwiązania jednorodnego równania różniczkowego

{\ Displaystyle y '(x) + \ mu (x) y (x) = 0}

jest jednowymiarową przestrzenią liniową, natomiast zbiór rozwiązań problemu niejednorodnego

{\ Displaystyle y '(x) + \ mu (x) y (x) = f (x)}

jest jednowymiarową przestrzenią afiniczną A . Rozwiązanie ogólne jest równe rozwiązaniu szczególnemu równania plus rozwiązaniu równania jednorodnego. Przestrzeń rozwiązań równania jednorodnego to przestrzeń różnicowa V .

Rozważmy jeszcze raz ogólny przypadek dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej X wyposażonej w postać liniową $α$ . Przestrzeń afiniczna A ( c ) jest dana przez rozwiązanie $α(x) = c$ . Zauważ, że dla dwóch różnych niezerowych wartości c , powiedzmy $c 1$ i $c 2$ , przestrzenie afiniczne $A (c 1)$ i $A (c 2)$ są naturalnie izomorficzne : skalowanie przez $c 2 / c 1$ odwzorowuje $A (c 1)$ do $A (do 2)$ . Tak więc w tej sytuacji warto rozważyć tylko jedną przestrzeń afiniczną, nazwijmy ją A , której punktami są linie przechodzące przez początek X , które nie leżą na jądrze $α$ .

Algebraicznie opisana właśnie zespolona przestrzeń afiniczna A jest przestrzenią rozszczepień dokładnej sekwencji

{\ Displaystyle 0 \ do \ ker \ alfa \, {\ overset {\ subseteq} {\ rightarrow}} \, X \ xrightarrow {\ alfa} \ mathbb {C } \do 0.}

Dwa wymiary

Złożona płaszczyzna afiniczna to dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad liczbami zespolonymi. Przykładem jest dwuwymiarowa zespolona przestrzeń współrzędnych $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ . Ma to naturalną strukturę liniową, a więc dziedziczy strukturę afiniczną pod zapominalnym funktorem. Innym przykładem jest zbiór rozwiązań niejednorodnego liniowego równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu (na liczbach zespolonych). Wreszcie, analogicznie do przypadku jednowymiarowego, przestrzeń podziałów dokładnego ciągu

{\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {C} ^ {2} \ do \ mathbb {C} ^ {3} \ do \ mathbb {C} \ do 0}

jest przestrzenią afiniczną drugiego wymiaru.

Cztery wymiary

Konformalną grupą spinową grupy Lorentza jest SU(2,2), która działa na czterowymiarową zespoloną przestrzeń wektorową T (zwaną przestrzenią twistorową ). Konforemna grupa Poincarego, jako podgrupa SU (2,2), stabilizuje dokładną sekwencję postaci

{\ Displaystyle 0 \ do \ Pi \ do \ mathbf {T} \ do \ Omega \ do 0}

gdzie $Π$ jest maksymalną izotropową podprzestrzenią T . Przestrzeń rozszczepień tego ciągu jest czterowymiarową przestrzenią afiniczną: (zespoloną) przestrzenią Minkowskiego .

Współrzędne afiniczne

Niech A będzie n -wymiarową przestrzenią afiniczną. Zbiór n afinicznie niezależnych funkcji afinicznych ${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ kropki, z_ {n}: \ mathbf {A} \ do \mathbb {C} }$ to afiniczny układ współrzędnych na A . Afiniczny układ współrzędnych na $,$ ustanawia bijekcję A z zespoloną przestrzenią współrzędnych której elementami są -krotki liczb zespolonych.

I odwrotnie, jest czasami określany jako złożona afiniczna n $-przestrzeń$ , gdzie rozumie się, że jest to jej struktura jako przestrzeni afinicznej (w przeciwieństwie na przykład status jako przestrzeń liniowa lub jako przestrzeń współrzędnych ), która jest przedmiotem zainteresowania. Takie użycie jest typowe dla geometrii algebraicznej .

Powiązana przestrzeń rzutowa

Złożona przestrzeń afiniczna A ma kanoniczne dopełnienie rzutowe P ( A ), zdefiniowane w następujący sposób. Utwórz przestrzeń wektorową F( A ), która jest swobodną przestrzenią wektorową na A modulo relacji, że kombinacja afiniczna w F( A ) jest zgodna z kombinacją afiniczną w A . Wtedy $dim F(A) = n + 1$ , gdzie n jest wymiarem A . Dopełnieniem rzutowym A jest przestrzeń rzutowa jednowymiarowych zespolonych liniowych podprzestrzeni F( A ).

Grupa strukturalna i automorfizmy

Grupa $Aut(P (A)) = PGL(F(A)) ≅ PGL(n + 1, C)$ działa na P ( A ). Stabilizatorem hiperpłaszczyzny w nieskończoności jest podgrupa paraboliczna, która jest grupą automorfizmu A . Jest izomorficzny (ale nie naturalnie izomorficzny) z iloczynem półprostym grupy $GL(V)$ i V. Podgrupa $GL(V)$ jest stabilizatorem pewnego stałego punktu odniesienia o („początku”) w A , działając jako liniowa grupa automorfizmu przestrzeni wektora emanującego z o , a V działa przez translację.

Grupa automorfizmów przestrzeni rzutowej $P (A)$ jako rozmaitość algebraiczna to nic innego jak grupa kolineacji $PGL(F(A))$ . Natomiast grupa automorfizmów przestrzeni afinicznej A jako odmiany algebraicznej jest znacznie większa. Rozważmy na przykład samomapę płaszczyzny afinicznej zdefiniowaną za pomocą pary współrzędnych afinicznych przez

{\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto (z_ {1}, z_ {2} + f ( z_{1}))}

gdzie f jest wielomianem w jednej zmiennej. Jest to automorfizm rozmaitości algebraicznej, ale nie automorfizm struktury afinicznej. Wyznacznikiem Jakobianu takiego algebraicznego automorfizmu jest z konieczności niezerowa stała. Uważa się, że jeśli jakobian mapy własnej złożonej przestrzeni afinicznej jest niezerową stałą, to mapa jest (algebraicznym) automorfizmem. Jest to znane jako hipoteza Jakobiana .

Złożona struktura

Funkcja na zespolonej przestrzeni afinicznej jest holomorficzna , jeśli jej zespolony koniugat jest wyprowadzany wzdłuż przestrzeni różnicowej V . Daje to dowolnej złożonej przestrzeni afinicznej strukturę złożonej rozmaitości .

Każda funkcja afiniczna od A do liczb zespolonych jest holomorficzna. Stąd też każdy wielomian w funkcjach afinicznych.

Topologie

Powszechnie stosowane są dwie topologie złożonej przestrzeni afinicznej.

Topologia analityczna jest początkową topologią dla rodziny funkcji afinicznych w liczbach zespolonych, gdzie liczby zespolone mają swoją zwykłą topologię euklidesową indukowaną przez zespoloną wartość bezwzględną jako normę. Jest to również początkowa topologia rodziny funkcji holomorficznych.

Topologia analityczna ma podstawę składającą się z wielodysków . Powiązany z dowolnymi n niezależnymi funkcjami afinicznymi ${\ Displaystyle z_ {1}, \ kropki, z_ {n}: \ mathbf {A} \ do \ mathbb {C}}$ na A , jednostka wielodyskowa jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle B (z_ {1}, \ kropki, z_ {n}) = \ lewo \ {\ mathbf {z} \ in \ mathbf {A} \,: \, \ lewo | z_ {1} (\ mathbf {z} )\prawo|<1,\kropki ,\lewo|z_{n}(\mathbf {z})\prawo|<1\prawo\}.}

Każdy zbiór otwarty w topologii analitycznej jest sumą przeliczalnego zbioru polidysków jednostkowych.

Topologia Zariskiego jest początkową topologią dla afinicznych funkcji o wartościach zespolonych, ale zamiast tego nadaje linii zespolonej topologię skończonego dopełnienia. Tak więc w topologii Zariskiego podzbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem zerowym pewnego zbioru funkcji wielomianowych o wartościach zespolonych na A . Podbazą topologii Zariskiego jest zbiór dopełnień nieredukowalnych zbiorów algebraicznych .

Topologia analityczna jest dokładniejsza niż topologia Zariskiego, co oznacza, że każdy zbiór otwarty w topologii Zariskiego jest również otwarty w topologii analitycznej. Odwrotność nie jest prawdziwa. Na przykład polidysk jest otwarty w topologii analitycznej, ale nie w topologii Zariskiego.

Metrykę można zdefiniować na złożonej przestrzeni afinicznej, czyniąc ją przestrzenią euklidesową , wybierając iloczyn wewnętrzny na V . Odległość między dwoma punktami p i q z A jest następnie podana w kategoriach powiązanej normy na V przez

{\ Displaystyle d (\ mathbf {p} \ mathbf {q}) = \ lewo \ | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} \ prawo \ |.}

Otwarte kule powiązane z metryką tworzą podstawę topologii, która jest taka sama jak topologia analityczna.

Snop funkcji analitycznych

Rodzina funkcji holomorficznych na złożonej przestrzeni afinicznej A tworzy na niej snop pierścieni . Z definicji $taki$ snop wiąże się z każdym (analitycznym) otwartym podzbiorem pierścienia wszystkich funkcji holomorficznych o wartościach U .

Wyjątkowość kontynuacji analitycznej polega na tym, że dane dwie funkcje holomorficzne na spójnym podzbiorze otwartym U z Cn , jeśli pokrywają się na niepustym podzbiorze otwartym U , zgadzają się na ^U . Jeśli chodzi o teorię snopów, wyjątkowość implikuje, że $rozpatrywana$ jako przestrzeń étalé przestrzenią topologiczną Hausdorffa .

Twierdzenie Oki o koherencji $stwierdza,$ snop struktury złożonej przestrzeni afinicznej jest spójny . Jest to podstawowy wynik w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych ; na przykład natychmiast implikuje to, że snop struktury zespolonej przestrzeni analitycznej (np. zespolonej rozmaitości ) jest spójny.

Każda złożona przestrzeń afiniczna jest domeną holomorfii . W szczególności jest to rozmaitość Steina .

Zobacz też

MK Bennett (1995), Geometria afiniczna i rzutowa , Wiley
Nicolas Bourbaki (1970), Algèbre , tom. I, Masson , §II.9.
Harold Scott Macdonald Coxeter (1987), Geometria rzutowa (wyd. 2), Springer .
Harold Scott Macdonald Coxeter (1961), Wprowadzenie do geometrii , Wiley
Hansa Grauerta ; Reinhold Remmert (1984), Spójne snopy analityczne , Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer .