Zome

Zome w pierwotnym znaczeniu to budynek o nietypowych geometriach (inny niż standardowy dom lub inny budynek, który jest zasadniczo jednym lub szeregiem prostokątnych pudeł) . Słowo „zome” zostało ukute w 1968 roku przez Steve'a Durkee, obecnie znanego jako Nooruddeen Durkee , łącząc słowa kopuła i zonohedron . Jeden z najwcześniejszych modeli znalazł się jako duża konstrukcja wspinaczkowa w Lama Foundation .

Zometool to zabawka konstrukcyjna wyprodukowana przez Zometool, Inc. Według firmy Zometool został zaprojektowany przede wszystkim dla dzieci. Zometool był również używany w innych dziedzinach, w tym w matematyce i fizyce. Na przykład aperiodyczne nachylenia, takie jak nachylenia Penrose'a, można modelować za pomocą Zometool.

Zarówno budynek, jak i narzędzie do nauki są dziełem wynalazcy/projektanta Steve'a Baera , jego żony Holly i współpracowników.

Termin „system Zome” odnosi się do matematyki leżącej u podstaw fizycznego systemu konstrukcyjnego.

Jako koncepcja budynku

Po ukończeniu studiów w Amherst College i UCLA, Steve Baer studiował matematykę w Eidgenössische Technische Hochschule (Zurych, Szwajcaria). Tu zainteresował się możliwościami budowania nowatorskich konstrukcji z wykorzystaniem wielościanów . Baer i jego żona Holly wrócili do Stanów Zjednoczonych, osiedlając się w Albuquerque w Nowym Meksyku na początku lat 60. W Nowym Meksyku eksperymentował z konstruowaniem budynków o niezwykłej geometrii (nazywając je terminem swojego przyjaciela Steve’a Durkee: „zomy” — patrz „ Drop City ") - budynki, które miały być odpowiednie dla ich otoczenia, zwłaszcza w celu dobrego wykorzystania energii słonecznej . Baer był zafascynowany geometrią kopuły spopularyzowaną przez architekta R. Buckminstera Fullera . Baer był okazjonalnym gościem w Drop City, artystycznej i eksperymentalnej społeczności niedaleko Trynidadu , Kolorado. Chciał projektować i budować budynki, które nie cierpią z powodu niektórych ograniczeń mniejszych, budowanych przez właścicieli wersji kopuł geodezyjnych (o „czystym projekcie Fullera”). [

W ostatnich latach francuscy budowniczowie w Pirenejach przyjęli niekonwencjonalne podejście do projektowania budynków „zome” z jego wieloaspektowymi liniami geometrycznymi. Home Work , książka opublikowana w 2004 roku pod redakcją Lloyda Kahna , zawiera sekcję przedstawiającą te budynki. Podczas gdy wiele zomów zbudowanych w ciągu ostatnich kilku dekad miało drewnianą ramę i wykorzystywało drewniane poszycie, wiele z tego, co sam Baer pierwotnie zaprojektował i zbudował, obejmowało metalowe ramy z zewnętrzną powłoką z blachy.

Zomy znalazły również zastosowanie w obszarach artystycznych, rzeźbiarskich i meblowych. Firma Zomadic, z siedzibą w San Francisco w Kalifornii, założona przez Roba Bella, włącza geometrię zome do artystycznych struktur zbudowanych głównie z elementów ze sklejki obrabianej CNC. Bell jest częstym gościem Burning Man , corocznej imprezy artystycznej odbywającej się na pustyni Black Rock w Nevadzie.

Richie Duncan z Kodama Zomes z południowego Oregonu wynalazł system konstrukcyjny oparty na wiszącej geometrii zome, zawieszonej na górnym punkcie kotwiczącym. Konstrukcje zbudowane z metalowych elementów ściskających i rozciągliwych elementów taśmowych są składane i demontowane. Ten zawieszony system zome był używany w meblach, sztukach scenicznych i zastosowaniach w domkach na drzewie.

Yann Lipnick z firmy Zomadic Concepts we Francji przeprowadził obszerne badania i zrealizował wiele projektów stref z wielu różnych materiałów. Podkreśla uniwersalny urok i uzdrawiającą atmosferę, jaką zapewniają zome, a także prowadzi zajęcia szkoleniowe i podręczniki dotyczące budowy zome.

Zestaw konstrukcyjny Zometool

logo Zometoola

The Great Grand Stellated 120-Cell modelowany w Zometool

Plastikowa zabawka konstrukcyjna Zometool jest produkowana przez prywatną firmę o tej samej nazwie, z siedzibą poza Longmont w Kolorado , która wyewoluowała z firmy Baer ZomeWorks . Jego elementy składają się z małych węzłów łączników i rozpórek w różnych kolorach. Ogólny kształt węzła łącznika ma kształt niejednorodnego małego rombikozydodekahedru z każdą twarzą zastąpioną małą dziurą. Końce rozpórek są zaprojektowane tak, aby pasowały do ​​​​otworów węzłów łączników, co pozwala na syntezy różnych struktur. Pomysł kodowania kształtu trzech rodzajów rozpórek został opracowany przez Marca Pelletiera i Paula Hildebrandta. Aby stworzyć „kulki” lub węzły, Pelletier i Hildebrandt wymyślili system 62 sworzni hydraulicznych, które połączyły się, tworząc formę. Pierwszy węzeł łączący wyłonił się z formy doskonale 1 kwietnia 1992 roku.

W latach od 1992 roku Zometool rozszerzył swoją linię produktów, chociaż podstawowa konstrukcja węzła złącza nie uległa zmianie, więc wszystkie dotychczasowe części są ze sobą kompatybilne. Od 1992 do 2000 roku Zometool produkował zestawy z węzłami łączącymi oraz niebieskimi, żółtymi i czerwonymi rozpórkami. W 2000 roku Zometool wprowadził zielone rozpórki, zainspirowane przez francuskiego architekta Fabiena Vienne, które można wykorzystać do budowy czworościanu foremnego i ośmiościanu. W 2003 roku Zometool nieznacznie zmienił styl rozpórek. Rozpórki „na klik” mają inną fakturę powierzchni, a także mają dłuższe wypustki, które pozwalają na solidniejsze połączenie węzła łącznika z rozporą.

Charakterystyka Zometoola

Kolor rozpórki Zometool jest związany z jej przekrojem, a także z kształtem otworu węzła łącznika, w który pasuje. Każda niebieska rozpórka ma przekrój prostokątny, każda żółta rozpórka ma trójkątny przekrój, a każda czerwona rozpórka ma przekrój pięciokątny. Przekrój poprzeczny zielonej rozpórki jest rombem o współczynniku kształtu √2, ale ponieważ węzły łączące nie zawierają otworów w wymaganych pozycjach, zamiast tego zielone rozpórki pasują do dowolnego z 12 pięciokątnych otworów z 5 możliwymi orientacjami na otwór, 60 możliwe orientacje we wszystkich; korzystanie z nich nie jest tak proste, jak w przypadku innych rozpórek.

W swoich punktach środkowych każda z żółtych i czerwonych rozpórek ma skręt, w którym odwraca się kształt przekroju poprzecznego. Ta cecha konstrukcyjna wymusza, aby węzły łączące na końcach pręta miały tę samą orientację. Podobnie przekrój poprzeczny niebieskiej podpory jest prostokątem niekwadratowym, ponownie zapewniając, że dwa węzły na końcach mają tę samą orientację. Zamiast skręcenia, zielone rozpórki mają dwa zagięcia, które pozwalają im dopasować się do pięciokątnych otworów węzła łącznika, które są lekko przesunięte względem osi rozpórki.

Między innymi słowo zome pochodzi od terminu strefa. System zome dopuszcza nie więcej niż 61 stref. Kształty przekrojów odpowiadają kolorom, a te z kolei odpowiadają kolorom stref. Stąd system zome ma 15 stref niebieskich, 10 stref żółtych, 6 stref czerwonych i 30 stref zielonych. Z niebieskim kojarzone są dwa kształty. Niebieskie rozpórki o prostokątnym przekroju są zaprojektowane tak, aby leżały w tych samych strefach co niebieskie rozpórki, ale mają połowę długości niebieskiego rozpórki; stąd te rozpórki są często nazywane „pół-niebieskimi” (i pierwotnie były wykonane w kolorze jasnoniebieskim). Niebiesko-zielone rozpórki o przekroju rombowym leżą w tych samych strefach co zielone rozpórki, ale są tak zaprojektowane, że stosunek rombowej niebiesko-zielonej rozpórki do niebieskiej rozpórki wynosi 1:1 (w przeciwieństwie do rozpórki zielonej √2:1). Ważne jest, aby zrozumieć, że ze względu na ten stosunek długości niebiesko-zielone rozpórki o przekroju rombowym nie należą matematycznie do systemu zome.

Definicja systemu zome

Oto matematyczna definicja systemu zome, na którym opiera się fizyczny zestaw konstrukcyjny Zometool. Jest zdefiniowany w kategoriach przestrzeni wektorowej $również$ jako trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa.

Niech oznacza złoty podział $i$ niech $oznacza$ symetrii konfiguracji wektorów $varphi, \ pm 1)}$${\ Displaystyle (0, \$ , ${\ Displaystyle (\ pm \ varphi, \ pm 1,0)$ i ${\ Displaystyle (\ pm 1,0, \ pm \ varphi)}$ . Grupa $,$ przykład grupy Coxetera , jest znana jako grupa dwudziestościanu, ponieważ jest to grupa symetrii dwudziestościanu foremnego, którego te wektory. Podgrupa $}$${$ \ .

Zdefiniuj „standardowe niebieskie wektory” jako $wektora$${\ displaystyle (2,0,0$ } . Zdefiniuj „standardowe żółte wektory” jako $-orbitę$ wektora $\ Displaystyle (1,1,1)$ . Zdefiniuj „standardowe czerwone wektory” jako orbitę wektora ${\ Displaystyle A_ {5}}$${\ Displaystyle (0, \ varphi, 1)}$ . „Rozpórka” systemu zome to dowolny $gdzie$$, który można uzyskać ze standardowych wektorów$ powyżej przez skalowanie o dowolną potęgę , liczbą całkowitą. „Węzłem” systemu $jest$ dowolny element podgrupy przez rozpórki. Wreszcie „system zome” to zbiór wszystkich par $\ Displaystyle (N, S)}$$Displaystyle$ , gdzie $N}$ to zbiór węzłów i to zbiór par ${\ Displaystyle (v, w) }$ takie, że $rozpórką$$a$ w N $,$$N}$ displaystyle różnica

Można sprawdzić, czy istnieje 30, 20 i 12 wektorów standardowych o kolorach odpowiednio niebieskim, żółtym i czerwonym. Odpowiednio, podgrupa stabilizatora niebieskiego, żółtego lub czerwonego rozpórki jest izomorficzna z grupą cykliczną rzędu odpowiednio 2, 3 lub 5. W związku z tym można również opisać niebieskie, żółte i czerwone rozpórki odpowiednio jako „prostokątne”, „trójkątne” i „pięciokątne”.

System zome można rozszerzyć o sąsiednie zielone wektory. „Standardowe zielone wektory” obejmują $który$ wektora ${\ Displaystyle (2,2,0)}$ i „zieloną rozpórkę”, jak każdy wektor można uzyskać, skalując standardowy zielony wektor o dowolną potęgę całkowitą . ${\ displaystyle \ varphi ^ {n}}$ . Jak wyżej, można sprawdzić, czy istnieją ${\ Displaystyle | A_ {5} |}$ =60 standardowych zielonych wektorów. Następnie można ulepszyć system zome, włączając te zielone rozpórki. Nie ma to wpływu na zestaw węzłów.

Zdefiniowany powyżej abstrakcyjny system zome jest istotny z powodu następującego faktu: Każdy połączony model zome ma wierny obraz w systemie zome. Odwrotność tego faktu jest tylko częściowo prawdziwa, ale wynika to tylko z praw fizyki. Na przykład promień węzła zometool jest dodatni (w przeciwieństwie do węzła będącego matematycznie pojedynczym punktem), więc nie można stworzyć modelu zometool, w którym dwa węzły są oddzielone dowolnie małą określoną odległością. Podobnie, kiedykolwiek zostanie wyprodukowana tylko skończona liczba długości rozpórek, a zielonej rozpórki nie można umieścić bezpośrednio obok czerwonej rozpórki lub innej zielonej rozpórki, z którą dzieli ten sam otwór (mimo że są one matematycznie różne).

Zome jako system modelowania

Złożony z pięciu kostek, renderowany w ZomeCAD

Związek pięciu czworościanów, renderowany w vZome

System zome jest szczególnie dobry w modelowaniu 1-wymiarowych szkieletów wysoce symetrycznych obiektów w 3- i 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Najbardziej widoczne wśród nich to pięć brył platońskich i czterowymiarowe politopy związane ze 120-ogniwowymi i 600-ogniwowymi komórkami . Jednak lista obiektów matematycznych, które można poddać zome, jest długa i nie ma jeszcze wyczerpującej listy. Oprócz już wymienionych, zome można użyć do modelowania następujących obiektów matematycznych:

• Trzy z czterech wielościanów Keplera-Poinsota
• Regularne związki wielościenne
• Regularne 4-wymiarowe polytopy i niektóre związki
• Wiele stelacji rombowego triakontaedru
• Wiele stelacji regularnego dwudziestościanu
• Zonohedra , zwłaszcza rombowy enneacontahedron i rombowy triacontahedron
• Hipersześciany o wymiarach 61 lub mniejszych
• Najbardziej jednolite wielościany (głównym wyjątkiem są te utworzone za pomocą operacji snub )
• Wiele jednolitych 4-politopów
• Wyjątkowe półregularne polytopy Thorolda Gosseta w 6, 7 i 8 wymiarach
• Kilka ciał stałych Johnsona
• Usuń konfigurację
• Dwie katalońskie bryły
• Klasyczne i wyjątkowe systemy korzeniowe
• Próba (z teorii kłamstw)

Inne zastosowania zome

Zastosowania zo nie ograniczają się do czystej matematyki. Inne zastosowania obejmują badanie problemów inżynierskich, zwłaszcza konstrukcji stalowych kratownic, badanie niektórych molekularnych , nanorurkowych i wirusowych oraz tworzenie powierzchni mydła .

Notatki

• Steve'a Baera. Zome Primer. Korporacja Zomeworks, 1970.
• Davida Bootha. „The New Zome Primer” w Fivefold Symmetry, István Hargittai (redaktor). Światowe Wydawnictwo Naukowe, 1992.
•   Coxeter, HSM Regularne Polytopes , wydanie 3, Dover, 1973. ISBN 0-486-61480-8 .
•   Briana C. Halla. Grupy kłamstw, algebry kłamstw i reprezentacje: elementarne wprowadzenie , Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9 .
• George Hart , Czterowymiarowa projekcja Polytope w stodole. Proceedings, szósta międzynarodowa konferencja Towarzystwa Sztuki, Matematyki i Architektury, Texas A&M University. maj 2007.
•   George'a Harta i Henriego Picciotto. Geometria Zome: praktyczna nauka z modelami Zome. Key Curriculum Press, 2001. ISBN 1-55953-385-4 .
• Paul R. Hildebrandt i Marc G. Pelletier (1985). „Zestaw do modelowania geometrycznego i sposób jego wykonania” . Patent Stanów Zjednoczonych nr 4,701,131.
• Pawła Hildebrandta. Rzeźba inspirowana Zome. Proceedings, Bridges London: Połączenia między matematyką, sztuką i muzyką , Reza Sarhangi i John Sharp (redaktorzy). (2006) 335–342.
• Paul Hildebrandt i Clark Richert (2012). „Kopuły, Zomy i Drop City” . Mosty 2012 .
• Cass Wester (1973). „Steve Baer i Holly Baer: entuzjaści Dome Home” . Matka Ziemia Wiadomości 22 .
• Davida A. Richtera. Dwa wyniki dotyczące modelu Zome 600-ogniwowego. Proceedings, Renaissance Banff: Matematyczne powiązania między matematyką, sztuką i muzyką , Robert Moody i Reza Sarhangi (redaktorzy). (2005) 419–426.
• Davida A. Richtera i Scotta Vorthmanna. Zielone kwaterniony, wytrwała symetria i ośmiościenna strefa. Proceedings, Bridges London: Połączenia między matematyką, sztuką i muzyką , Reza Sarhangi i John Sharp (redaktorzy). (2006) 429–436.
• Steven F. Rogers i Paul R. Hildebrandt (2002) „Połączenia dla zestawu do modelowania geometrycznego” . Patent Stanów Zjednoczonych nr 6 840 699 B2.
• Sadler, Szymon (2006). „Ponowne odwiedziny w Drop City” . Journal of Architectural Education 59 (3), s. 5-14.
• Michael Stranahan, Carlos Neumann i Paul Hildebrandt (2011). „Jak nie wprowadzać swojego produktu na rynek” . Mosty 2011.

Linki zewnętrzne

Budynki Zome:

• Wyjaśnienie koncepcji budowy zoom
• Przykłady europejskich budynków zome
• Przykłady zastosowania zome w prefabrykowanym budownictwie mieszkaniowym w Ameryce Północnej

Zomy jako sztuka:

• Zomy Kodamy
• Zomadic
• Heliss

System modelowania Zome:

• Modelowanie stref — Modelowanie stref — wtyczka Open-Source Sketchup
• Zome Creator — kod źródłowy darmowego oprogramowania do modelowania Zome
• Weisstein, Eric W. „Zome” . MathWorld .
• Zometool Strona producenta.
• Zaawansowane projekty Zome autorstwa Davida Richtera
• Geometria Zome autorstwa George'a W. Harta i Henri Picciotto
• vZome do budowania wirtualnych modeli Zome
• Zome w Bridges London w London Knowledge Lab
• Japan Zome Club klub użytkownika w Japonii (japoński)
• Metazome projekt tworzenia modeli Zome za pomocą Zome

Firma zarządzająca energią:”

• [1] ZOME Energy Networks, inteligentna firma energetyczna