Geometria topologiczna

Geometria topologiczna zajmuje $się strukturami padania składającymi$$podzbiorów$ ze zbioru punktów i rodziny zwanych liniami lub okręgami itp. $\ displaystyle P}$$topologię , a wszystkie operacje geometryczne, takie jak$ mają $.$ punktów linią lub przecinające się linie, są ciągłe Podobnie jak w przypadku grup topologicznych , wiele głębszych wyników wymaga, aby przestrzeń punktowa była (lokalnie) zwarta i spójna. To uogólnia obserwację, że linia łącząca dwa różne punkty na płaszczyźnie euklidesowej zależy w sposób ciągły od pary punktów, a punkt przecięcia dwóch prostych jest funkcją ciągłą tych linii.

Geometria liniowa

Geometrie liniowe to struktury padania , w $xy}$ dowolne dwa różne punkty $i$ są połączone unikalną linią ${ \$ . Takie geometrie nazywane są topologicznymi , jeśli zależy w $displaystyle (x, y)} w odniesieniu do$ ciągły od pary $\$ topologii w zbiorze punktów i zbiorze linii. Podwójny _ geometrii liniowej uzyskuje się poprzez zamianę ról punktów i linii. Przegląd liniowych geometrii topologicznych znajduje się w rozdziale 23 Podręcznika geometrii padania . Najszerzej zbadane topologiczne geometrie liniowe to te, które są również dualnymi topologicznymi geometriami liniowymi. Takie geometrie są znane jako topologiczne płaszczyzny rzutowe .

Historia

Systematyczne badanie tych samolotów rozpoczęło się w 1954 roku od artykułu Skorniakowa. Wcześniej właściwości topologiczne płaszczyzny rzeczywistej wprowadzano poprzez relacje porządkowe na liniach afinicznych, patrz np. Hilbert , Coxeter i O. Wyler. Kompletność uporządkowania jest równoważna $,$ zwartości i implikuje że linie afiniczne są homeomorficzne z i że przestrzeń punktowa jest połączona . Zauważ, że liczby wymierne nie wystarczą do opisania naszych intuicyjnych wyobrażeń o geometrii płaszczyzny i że konieczne jest pewne rozszerzenie pola wymiernego. $W$ równanie ma

Topologiczne płaszczyzny rzutowe

Podejście do własności topologicznych płaszczyzn rzutowych poprzez relacje porządkujące nie jest jednak możliwe dla płaszczyzn skoordynowanych przez liczby zespolone , kwaterniony lub algebrę oktonionową . Przestrzenie punktowe, jak również przestrzenie liniowe tych klasycznych płaszczyzn (na liczbach rzeczywistych, liczbach zespolonych, kwaternionach i oktonionach) są zwartymi rozmaitościami o wymiarze ${\ Displaystyle 2 ^ {m },\,1\równik m\równik 4}$ .

Wymiar topologiczny

Pojęcie wymiaru przestrzeni topologicznej odgrywa znaczącą rolę w badaniu topologii, w szczególności zwartych połączonych płaszczyzn. Dla normalnej przestrzeni wymiar $displaystyle \ dim X}$${\$ można scharakteryzować w następujący sposób: X {\ displaystyle

Jeśli ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {n}}$$oznacza$ - , to ${\ Displaystyle \ dim X \ równoważnik n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla $\ Displaystyle$ zamknięta podprzestrzeń ma ciągłe rozszerzenie $\ varphi: A \ do \ mathbb {S} _ {n}}$ ciągłe rozszerzenie ${\ Displaystyle \ psi: X \ do \ mathbb {S} _ {n}}$ .

Szczegółowe informacje i inne definicje wymiaru można znaleźć w podanych tam odniesieniach, w szczególności Engelking lub Fedorchuk.

Płaszczyzny 2-wymiarowe

Linie zwartej płaszczyzny topologicznej z dwuwymiarową przestrzenią punktową tworzą rodzinę krzywych homeomorficznych do koła i fakt ten charakteryzuje te płaszczyzny wśród topologicznych płaszczyzn rzutowych. Równoważnie, przestrzeń punktowa jest powierzchnią . Wczesne przykłady, które nie są izomorficzne z klasyczną płaszczyzną rzeczywistą, $podane$ przez Hilberta i Moultona . Właściwości ciągłości tych przykładów nie były wówczas wyraźnie brane pod uwagę, mogły być brane za pewnik. Konstrukcję Hilberta można zmodyfikować, aby uzyskać niezliczoną liczbę par nieizomorficznych ${\ displaystyle 2}$ -wymiarowe zwarte płaszczyzny. Tradycyjnym sposobem odróżnienia od innych płaszczyzn $dwuwymiarowych$ jest ważność twierdzenia Desarguesa lub twierdzenia Papposa $( zob.$ omówienia tych dwóch twierdzeń o konfiguracji). Wiadomo, że to drugie implikuje pierwsze ( Hessenberg ). Twierdzenie Desarguesa wyraża rodzaj jednorodności płaszczyzny. Ogólnie rzecz biorąc, zachodzi na płaszczyźnie rzutowej wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna może być koordynowana przez pole (niekoniecznie przemienne), stąd implikuje, że grupa automorfizmów jest przechodnia na zbiorze czworokątów ( ${\ displaystyle 4 }$ punkty nr ${\ displaystyle 3}$ z których są współliniowe). W obecnym ustawieniu znacznie słabszy warunek jednorodności charakteryzuje się: ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ :

Twierdzenie. Jeśli grupa automorfizmu $-wymiarowej$ płaszczyzny zwartej $jest$ przechodnia na zbiorze punktów \ $Sigma$$}$ ma zwartą podgrupę , która jest nawet przechodnia na zbiorze flag ${\ mathcal {P}}$ (= pary punkt-linia incydentu), jest klasyczna ${\ Displaystyle \ Phi}$ .

Grupa automorfizmu ${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$ 2 ${\ Displaystyle 2}$ -wymiarowej płaszczyzny zwartej $mathcal {P}} }$ , wzięte za pomocą topologii zbieżności jednostajnej w przestrzeni punktów, jest $lokalnie$ zwartą grupą wymiarów co najwyżej w rzeczywistości nawet grupą Liego . Wszystkie płaszczyzny wymiarowe takie, że ${\ displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$ można opisać wprost; te z ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 4}$ to dokładnie płaszczyzny Moultona, płaszczyzna klasyczna $}$ jedyną płaszczyzną wymiarową mi ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 4$ ze ${\ Displaystyle \ słaby \ Sigma > 4}$ ; Zobacz też.

Kompaktowe połączone płaszczyzny

Wyniki na płaszczyznach $-wymiarowych$ zostały rozszerzone na płaszczyzny zwarte o wymiarze $> 2}$ . Jest to możliwe dzięki następującemu podstawowemu twierdzeniu:

Topologia płaszczyzn zwartych. Jeśli wymiar przestrzeni punktowej zwartej połączonej płaszczyzny rzutowej jest skończony, to $Displaystyle \ dim P = 2 ^ {m}$$P$ z ${\ Displaystyle m \ w \ {1,2,3,4 \}}$ . Co więcej, każda linia jest kulą homotopii o wymiarze ${\ Displaystyle 2 ^ {m-1}}$ patrz lub.

Specjalne aspekty płaszczyzn 4-wymiarowych są omówione w, nowsze wyniki można znaleźć w. Linie $- wymiarowej zwartej płaszczyzny są$$-sferą$ z ; w przypadkach $,$ że linie są rozmaitościami, ale we wszystkich dotychczas znalezionych przykładach linie Mówi się, że płaszczyzna podrzędna płaszczyzny rzutowej jest $p$$displaystyle {\ mathcal {P}}}$ Baera ${\$ jeśli każdy punkt incydentu z linią $}}}$ każdą linią $P }}}$$displaystyle {\ mathcal {$ zawiera punkt ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ . Zamknięta podpłaszczyzna $jest$ podpłaszczyzną Baera zwartej połączonej płaszczyzny $B$ i tylko wtedy, gdy przestrzeń punktowa ${\mathcal {B}}}$$\$ a linia $ten$ sam wymiar. Stąd linie 8-wymiarowej płaszczyzny są homeomorficzne z kulą, jeśli ${S} _ {4}}$$mathbb$$P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {}$ ma zamkniętą podpłaszczyznę Baera.

Płaszczyzny jednorodne. Jeśli jest zwartą spójną płaszczyzną rzutową i jeśli $jest$ przechodnia w punkcie $}}$ zbiór ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ , to ma zwartą podgrupę przechodnią flagi i $\ Phi}$$Displaystyle$ i $}}$ jest klasyczny , patrz lub . W rzeczywistości, ${\ displaystyle \ Phi}$ jest eliptyczną grupą ruchu.

Niech będzie zwartą płaszczyzną o wymiarze $2$$\ Displaystyle 2 ^ {m}, \; m = 2,3,4$ i pisać ${\ Displaystyle \ Sigma = \ nazwa operatora {Aut} {\ mathcal {P}}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma > 8,18,40}$ , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ jest klasyczna, a ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$ jest prostą grupą kłamstw wymiaru ${\ Displaystyle 16 ,35,78}$ odpowiednio. Wszystkie $znane$ o $_$ _ Samoloty z ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 40}$ są dokładnie domknięciami rzutowymi płaszczyzn afinicznych koordynowanych przez tak zwaną mutację ${\ Displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ circ )}$ algebry octonion ${\ Displaystyle \ circ}$$gdzie$ nowe mnożenie liczbę rzeczywistą numer ${\ Displaystyle t}$ z ${\ Displaystyle 1/2 <t \ neq 1}$ i umieścić ${\ Displaystyle a \ circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$ . Systematycznie odkryto rozległe rodziny płaszczyzn z grupą o dużym wymiarze, wychodząc od założeń o ich grupach automorfizmów, zob. np. Wiele z nich to rzutowe domknięcia płaszczyzn translacji (płaszczyzny afiniczne dopuszczające ostro przechodnią grupę automorfizmów odwzorowujących każdą linię na równoległość), por.; $m = 4}$ nowsze wyniki w przypadku i $displaystyle$ { \

Kompaktowe przestrzenie rzutowe

Podpłaszczyzny przestrzeni rzutowych o wymiarze geometrycznym co najmniej 3 są koniecznie Desarguesianem, patrz §1 lub §16 lub. Dlatego wszystkie zwarte połączone przestrzenie rzutowe mogą być koordynowane przez liczby rzeczywiste lub zespolone lub pole kwaternionów.

Stabilne samoloty

Klasyczna nieeuklidesowa płaszczyzna hiperboliczna może być reprezentowana przez przecięcia prostych w płaszczyźnie rzeczywistej z otwartym okrągłym dyskiem. Mówiąc bardziej ogólnie, otwarte (wypukłe) części klasycznych płaszczyzn afinicznych są typowymi płaszczyznami stabilnymi. Przegląd tych geometrii można znaleźć w przypadku dwuwymiarowego przypadku, $także$ .

$\ mathcal {S}}}$ , stabilna płaszczyzna topologiczną geometrią liniową , że $Displaystyle {$

1. jest lokalnie zwartą przestrzenią o dodatnim skończonym wymiarze, ${\ displaystyle P}$
2. ${\ mathfrak {L}}}$ linia zamkniętym podzbiorem $Displaystyle$ a ${\ Displaystyle L \ in {\ mathfrak {L}}$ jest przestrzenią Hausdorffa, L ∈ L
3. zbiór ${\ Displaystyle \ {(K, L) \ mid K \ neq L, \; K \ cap L \ neq \ pusty zestaw \}$ } otwarta podprzestrzeń ${\ Displaystyle {\ mathfrak {O}} \ podzbiór {\ mathfrak {L}} ^ {2}}$ ( stabilność ),
4. mapa ${\ Displaystyle (K, L) \ mapsto K \ cap L: {\ mathfrak {O}} \ do P}$ jest ciągła.

$, że$$3$ wyklucza geometrie, takie jak $wymiarowa$ przestrzeń afiniczna nad lub .

Stabilna płaszczyzna $zwarta$$jest$ rzutową wtedy i tylko wtedy, gdy .

Podobnie jak w przypadku płaszczyzn rzutowych, ołówki liniowe są zwarte i homotopijne równoważne kuli o wymiarze $=$ ⁡ $2 ^ {m}}$$P$ z ${\ Displaystyle m \ in \ {1,2,3,4 \}}$ patrz lub. Co więcej, przestrzeń punktowa $.$ lokalnie kurczliwa

Zwarte grupy (właściwych) stabilnych płaszczyzn są raczej małe. Niech ${\ Displaystyle \ Phi _ {d}}$ oznacza maksymalną zwartą podgrupę grupy automorfizmu klasycznej $płaszczyzny$ rzutowej ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {d }}$ . Wtedy obowiązuje następujące twierdzenie: Jeśli $displaystyle d$ stabilna płaszczyzna przyznaje zwartą grupę $}$${\ Displaystyle \ Gamma}$ automorfizmów takich, że ${\ Displaystyle \ dim \ Gamma > \ dim \ Phi _ {d} -d}$ , a następnie ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ mathcal {S}}\cong {\mathcal {P}}_{d}}$ , zobacz.

Jednorodne stabilne samoloty flagowe. Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = (P {\ mathfrak {L}}}$ } Jeśli grupa automorfizmów $mathcal {S$ flagi, to jest klasyczną płaszczyzną rzutową lub afiniczną, lub $}}$ jest izomorficzny z wnętrzem sfery absolutnej biegunowości hiperbolicznej ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ płaszczyzny klasycznej ; Widzieć.

W przeciwieństwie do przypadku rzutowego, istnieje mnóstwo płaszczyzn stabilnych punktowo jednorodnych, a wśród nich rozległe klasy płaszczyzn translacyjnych, patrz i.

Płaszczyzny symetryczne

Płaszczyzny translacji afinicznej mają następującą właściwość:

• Istnieje zamknięta przechodnia punktowa podgrupa $.$ automorfizmów, która zawiera unikalne odbicie w niektórych, a zatem w każdym punkcie

$bardziej$ ogólnie , płaszczyzna symetryczna stabilna patrz, zob. do badania tych geometrii. $Zgodnie$ z wnioskiem 5.5 grupa jest grupą Liego, a przestrzeń $jest$ . Wynika z tego, $jest$ przestrzenią symetryczną . Za pomocą teorii Liego przestrzeni symetrycznych sklasyfikowano wszystkie płaszczyzny symetryczne ze zbiorem punktów o wymiarze ${\ displaystyle 2}$ lub ${\ displaystyle 4} .$ Są to albo płaszczyzny translacji, albo są określone przez formę hermitowską . Prostym przykładem jest rzeczywista płaszczyzna hiperboliczna.

Geometria okręgu

$są$$podane$ przez płaskie przekroje powierzchni kwadratowej rzeczywistej ; jeśli $jest kulą$ geometria nazywana jest płaszczyzną Möbiusa . Płaskie przekroje powierzchni prostopadłej (hiperboloida jednopłaszczyznowa) dają klasyczną płaszczyznę Minkowskiego , por. dla uogólnień. Jeśli $eliptycznym$ stożkiem bez wierzchołka, geometria nazywana jest płaszczyzną Laguerre'a . Łącznie te samoloty są czasami określane jako samoloty Benz . Topologiczna płaszczyzna Benza jest klasyczna, jeśli każdy punkt ma otoczenie, które jest izomorficzne z jakimś otwartym fragmentem odpowiadającej mu klasycznej płaszczyzny Benza .

samoloty Möbiusa

$które$ Möbiusa składają się z rodziny $okręgów ,$$}$$-sferze$ sferami na takiej, że dla każdego punktu p {\ displaystyle struktura pochodna } $jest topologiczną płaszczyzną afiniczną$ . W szczególności dowolne $punkty$ są połączone unikalnym okręgiem. Przestrzeń okręgu $punktem$ wtedy homeomorficzna z rzeczywistą przestrzenią rzutową $z$ usuniętym jednym Dużą klasę przykładów stanowią płaskie przekroje jajowatej powierzchni w rzeczywistej przestrzeni ${\ displaystyle 3}$ .

Jednorodne płaszczyzny Möbiusa

Jeśli grupa automorfizmów $płaszczyzny$$przechodnia$ na zbiorze punktów $jeśli$ na zbiorze lub ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$ , wtedy ${\ Displaystyle (S, {\ mathfrak {C}})}$ jest klasyczny i ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma =6}$ , Widzieć.

W przeciwieństwie do zwartych płaszczyzn rzutowych nie ma topologicznych płaszczyzn Möbiusa z okręgami o wymiarze ${\ displaystyle > 1}$ , w szczególności nie ma zwartych płaszczyzn Möbiusa z $-wymiarową$ przestrzenią punktową. Wszystkie dwuwymiarowe płaszczyzny Möbiusa, takie, że ${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$ można opisać jawnie.

Samoloty Laguerre'a

Klasyczny model płaszczyzny Laguerre'a składa się z okrągłej cylindrycznej powierzchni $-przestrzeni$ rzeczywistym ${\ Displaystyle 3}$ R $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ jako zestawu punktów i zwartości $okręgi$ sekcje jako . Pary punktów, które nie są połączone okręgiem, nazywamy równoległymi . Niech $.$ klasę punktów równoległych wtedy do $Displaystyle C \ setminus P.}$$jest płaszczyzną$ , okręgi mogą być reprezentowane na tej płaszczyźnie parabole postaci ${\ Displaystyle y = ax ^$ .

W analogiczny sposób klasyczna $.$ płaszczyzna Laguerre'a jest powiązana z geometrią złożonych wielomianów kwadratowych Ogólnie rzecz biorąc, aksjomaty lokalnie zwartej połączonej płaszczyzny Laguerre'a wymagają, aby płaszczyzny pochodne były osadzone w zwartych płaszczyznach rzutowych o skończonych wymiarach. Okrąg nie przechodzący przez punkt wyprowadzenia indukuje owal w wyprowadzonej płaszczyźnie rzutowej. Przez lub kręgi są homeomorficzne do sfer wymiaru ${\ displaystyle 1}$ lub ${\ displaystyle 2}$ . Stąd przestrzeń punktowa lokalnie zwartej połączonej płaszczyzny Laguerre'a jest homeomorficzna z cylindrem $.$ jest rozmaitością wymiarową do ${\ displaystyle 4} , por$ Dużą klasę $dwuwymiarowych$ przykładów, zwanych jajowatymi płaszczyznami Laguerre'a, stanowią płaskie przekroje cylindra w rzeczywistej trójwymiarowej przestrzeni, której podstawą jest owal w $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

Grupa automorfizmów $zwartych$ płaszczyzny Laguerre'a ( ) $jest grupą Liego$ punktu przestrzeń; ponadto ta grupa ma wymiar co najwyżej ${\ displaystyle 7d}$ . Wszystkie automorfizmy płaszczyzny Laguerre'a, które ustalają każdą klasę równoległą, tworzą normalną podgrupę, jądro pełnej grupy automorfizmów. 2 $\ Displaystyle 2}$ -wymiarowe płaszczyzny Laguerre'a z ${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 5}$ są dokładnie jajowatymi płaszczyznami nad odpowiednimi skośnymi parabolami. Klasyczne $,$$takimi$ jedynymi por Również.

Jednorodne płaszczyzny Laguerre'a

Jeśli grupa automorfizmów $-wymiarowej$ płaszczyzny Laguerre'a $jest$$przechodnia na$$T \ triangleleft \ Sigma}$ jądro $Displaystyle$ jest przechodnia na zbiorze okręgów, to jest klasyczna , patrz 2.1,2

Jednak przechodniość grupy automorfizmów na zbiorze okręgów nie wystarcza do scharakteryzowania modelu klasycznego wśród $dwuwymiarowych$ .

samoloty Minkowskiego

$torus$ model płaszczyzny Minkowskiego ma jako wykresami rzeczywistych mapy liniowe na ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {1} = \ mathbb {R} \ kubek \ {\ infty \}}$ . Podobnie jak w przypadku płaszczyzn Laguerre'a, przestrzeń punktowa lokalnie zwartej połączonej płaszczyzny Minkowskiego wynosi ${\ displaystyle 1}$ - lub ${\ displaystyle 2}$ -wymiarowy; przestrzeń $punktowa$ homeomorficzna do torusa lub do

Jednorodne płaszczyzny Minkowskiego

Jeśli grupa automorfizmów płaszczyzny Minkowskiego $jest$ 2 $Displaystyle 2d}$$\ Displaystyle {\ mathcal {} M}}}$ flagowo przechodnia, to ${$ jest klasyczna .

Grupa automorfizmów -wymiarowej płaszczyzny Minkowskiego jest grupą Liego o wymiarze najwyżej $6$$2d}$ . Wszystkie $Minkowskiego,$ takie, że ${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$ można opisać jawnie. Klasyczna $Minkowskiego$ jest jedyną o ${\ Displaystyle \ dim \ Sigma > 4d}$ patrz.

Notatki

• Grundhofer, T.; Löwen, R. (1995), Buekenhout, F. (red.), Podręcznik geometrii padania: budynki i fundamenty , Amsterdam: Holandia Północna, s. 1255–1324
• Hilbert, D. (1899), Podstawy geometrii , przekład EJ Townsend, 1902, Chicago
• Knarr, N. (1995), Samoloty translacyjne. Podstawy i zasady konstrukcji , Notatki z wykładu z matematyki, tom. 1611, Berlin: Springer
• Löwen, R. (1983a), „Topologia i wymiar stabilnych płaszczyzn: na przypuszczenie H. Freudenthala”, J. Reine Angew. Matematyka , 343 : 108–122
•   Löwen, R. (1983b), "Płaszczyzny stabilne z punktami izotropowymi", Mathematische Zeitschrift , 182 : 49–61, doi : 10.1007/BF01162593 , S2CID 117081501
• Pickert, G. (1955), Projektive Ebenen (w języku niemieckim), Berlin: Springer
• Polster, B.; Steinke, GF (2001), Geometrie na powierzchniach , Cambridge UP
• Salzmann, H. (1967), „Płaszczyzny topologiczne”, Postępy matematyki , 2 : 1–60, doi : 10.1016 / s0001-8708 (67) 80002-1
• Salzmann, H. (2014), Samoloty kompaktowe, głównie 8-wymiarowe. Retrospekcja , arXiv : 1402.0304 , Bibcode : 2014arXiv1402.0304S
• Salzmann, H.; Betten, D.; Grundhofer, T.; Hahl, H.; Lowen, R.; Stroppel, M. (1995), Kompaktowe płaszczyzny rzutowe , W. de Gruyter
•   Steinke, G. (1995), „Topologiczne geometrie okręgów”, Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland: 1325–1354, doi : 10.1016 / B978-044488355-1 / 50026-8 , ISBN 9780444883551