Iloczyn tensorowy indukcyjny

Nie mylić z produktem Injective tensor .

Najlepsza topologia $iloczynie$ wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej $($ TVS) na tensorowym dwóch lokalnie wypukłych TVS, $\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}$ ⋅ (zdefiniowane przez wysłanie $do$ \ $Displaystyle (x, y) \ in X \ razy Y}$ x $\ Displaystyle x \ otimes y}$ ) osobno ciągła nazywana jest topologią indukcyjną lub . Gdy ta topologia jest wyposażona w tę topologię, oznacza się ją $⊗ Y {\ Displaystyle X \$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ jota} Y}$ i nazywa się indukcyjnym iloczynem tensorowym ${\ displaystyle X$${\ Displaystyle Y.}$ i

Czynności wstępne

Niech $\ displaystyle X, Y}$$displaystyle$ { $Z}$ będą lokalnie wypukłymi topologicznymi przestrzeniami wektorowymi i liniową.

• ${\ Displaystyle L: X \ do Y}$ jest topologicznym homomorfizmem lub homomorfizmem , jeśli jest liniowy, ciągły i ${\ Displaystyle L: X \ do \ operatorname {Im} L}$ jest otwartą mapą, gdzie obraz L , $}$ \ $ma$ podprzestrzeni indukowaną $}$
  • Jeśli jest podprzestrzenią $\ Displaystyle X},$$to$ zarówno mapa ilorazowa $\ Displaystyle X \ do X/S}$ wtrysk $_$ . W szczególności każdą mapę liniową można kanonicznie rozłożyć w następujący sposób: $}$${\ Displaystyle X \ do X / \ nazwa operatora {ker} L {\ overset {L_ {0}} {\ strzałka w prawo}} \ nazwa operatora {im} L \ do Y }$ gdzie ${\ Displaystyle L_ {0} (x + \ ker L): = L (x)}$ definiuje bijekcję.
• Zbiór ciągłych map liniowych (odpowiednio ciągłe mapy dwuliniowe $Displaystyle$$X \ razy Y \ do Z}$ przez ${\ Displaystyle L (X; Z)}$ (odp. ${\ Displaystyle B (X, Y; Z)}$ ) gdzie ${\ Displaystyle Z}$ jest polem skalarnym, możemy zamiast tego napisać ${\ Displaystyle L (X)}$ (odp. ${\ Displaystyle B (X, Y)}$ ).
• przestrzeń dualną będziemy oznaczać przez i algebraiczną przestrzeń $displaystyle X, }$ (która jest przestrzenią wektorową wszystkich funkcjonałów liniowych na $displaystyle X ^$${$ czy ciągły czy nie) przez ${\ Displaystyle X ^ {\ #}.} Aby$
  • $liczbą pierwszą$ przejrzystość ekspozycji, używamy powszechnej konwencji pisania elementów z po symbolu (np ${\ Displaystyle x ^ {\ liczba pierwsza}}$ oznacza element z ${\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza}},$ a nie, powiedzmy, pochodna i zmienne ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle x^{\prime }}$ nie muszą być w żaden sposób powiązane).
• Mapa liniowa z przestrzeni Hilberta do siebie nazywana jest $dodatnią$$\geq 0}$ x , $(x),$ dla każdego $\ Displaystyle x \ w H.}$$unikalna$ mapa zwana pierwiastek kwadratowy $z$$Displaystyle L = r \ circ r.}$ że
  • $\displaystyle L^{*}\circ L}$$jest$ dowolną $to$ mapą liniową między przestrzeniami jest zawsze dodatnie. Teraz niech ${\ Displaystyle R: H \ do H}$ oznaczamy jego dodatni pierwiastek kwadratowy, który nazywamy wartością bezwzględną ${\ Displaystyle L.}$ Zdefiniuj najpierw na $: H.$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} R}$${\ Displaystyle U (x) = L (x)}$ Displaystyle U: dla ${\ Displaystyle x = R \ lewo (x_ {1} \ prawej) \ w \ nazwa operatora {Im} R}$ i ciągłe rozciąganie ${\ Displaystyle U}$ do ${\ Displaystyle { \ overline {\ operatorname {Im} R}},},$ a następnie zdefiniuj na $R}$$\ displaystyle \ operatorname {ker$ , ustawiając ${\ Displaystyle U (x) =0}$ dla ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {ker} R}$ i rozciągnij tę mapę liniowo na całe ${\ displaystyle H_ {1}.}$ Mapa ${\ Displaystyle U {\ duży \ vert} _ {\ nazwa operatora {Im} R}: \ nazwa operatora {Im} R \ do \ nazwa operatora {Im} L} jest izometrią$ surjektywną i ${\ Displaystyle L = U \ cyrk R.}$
• Mapa liniowa $,$ jest lub $X}$ ciągłą jeśli istnieje sąsiedztwo pochodzenia w ${$ \ ${\ Displaystyle \ Lambda (U)}$ , jest wstępnie zwarty w ${\ Displaystyle Y.}$
  • W przestrzeni Hilberta dodatnie zwarte operatory liniowe, powiedzmy ${\ Displaystyle L: H \ do H}$ mają prosty rozkład widmowy odkryty na początku XX wieku przez Fredholma i F. Riesza:

Istnieje sekwencja liczb dodatnich, malejąca i albo skończona, albo zbieżna do 0, ${\ Displaystyle r_ {1}> r_ {2}> \ cdots > r_ {k} > \ cdots}$ i sekwencja niezerowych podprzestrzeni o skończonych wymiarach $($${\ Displaystyle H}$ ja $Displaystyle i = 1,2, \ ldots$ } $właściwościach$ : (1) podprzestrzenie są parami ortogonalne (2) dla każdego $ja$ każdego ${\ Displaystyle x \ w V_ {i},}$$Displaystyle L (x) = r_ {i} x}$ ; i ( $3$ ) ortogonalna podprzestrzeń jądru ${\ Displaystyle L.}$

Notacja dla topologii

Główne artykuły: Topologia zbieżności jednostajnej i topologia Mackeya

• ${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej)}$ oznacza najgrubszą topologię na ${\ Displaystyle X}$ tworząc każdą mapę w ${\ Displaystyle X ^ { \ pierwsza}}$ ciągła i ${\ Displaystyle X _ {\ sigma \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej)}}$ lub oznacza ${\ Displaystyle X _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle X}$ obdarzony tą topologią .
• ${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (X ^ {\ pierwsza}, X \ prawa)}$ oznacza słabą * topologię na ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$ i ${\ Displaystyle X _ {\ sigma \ lewo (X ^ {\ pierwsza}, X \ prawa)}}$ lub ${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ pierwsza}}$ oznacza ${\ displaystyle X^{\prime }}$ wyposażony w tę topologię .
  • Każdy ${\ Displaystyle x_ {0} \ w X}$ indukuje mapę zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza} \ do \ mathbb {R}}$ zdefiniowaną przez $jest$$_$ _ najgrubsza topologia na ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$ czyniąc wszystkie takie mapy ciągłymi.
• ${\ Displaystyle b \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej)}$ oznacza topologię ograniczonej zbieżności na ${\ Displaystyle X}$ i $prawo)}}$${\ displaystyle X _ {b \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza}$$}$ obdarzony tą topologią lub oznacza ${\ displaystyle X_ {b}$ .
• ${\ Displaystyle b \ lewo (X ^ {\ liczba pierwsza}, X \ prawa)}$ oznacza topologię ograniczonej zbieżności na ${\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza}}$ lub silna topologia dualna na ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$ i ${\ Displaystyle X _ {b \ lewo (X ^ {\ pierwsza}, X \ prawa)}}$ lub ${\ styl wyświetlania X_{b}^{\prime}}$ oznacza $topologią$ _ .
  • Jak zwykle, jeśli ${\ Displaystyle b \ lewo (X ^ {\ liczba pierwsza}, X \ prawo).}$$wektorową, ale nie zostało wyjaśnione, w$ topologię jest wyposażona, to zostanie przyjęta topologia

Własność uniwersalna

Załóżmy, że jest lokalnie $wypukłą$ przestrzenią i że $Y \ do Z,}$$→$ Z wchodząc w przestrzeń wszystkich odwzorowań liniowych ${\ Displaystyle X \ otimes Y \ do Z.}$ Następnie, gdy domena ${\ displaystyle I}$ jest ograniczona do ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X, Y; Z)}$ (przestrzeń oddzielnie ciągłych map dwuliniowych), to zakres tego ograniczenia to przestrzeń ${\ Displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}$ ciągłych operatorów liniowych ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ jota} Y \ do Z.}$ W szczególności ciągła przestrzeń dualna ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ jota} Y}$ jest kanonicznie izomorficzny z przestrzenią ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X, Y)}$ przestrzeń oddzielnie ciągłego dwuliniowego tworzy na ${\ Displaystyle X \ razy Y.}$

Jeśli jest lokalnie $wypukłą$ topologią TVS na ${\ Displaystyle X \ otimes Y}$ ( ${\ Displaystyle X \ otimes Y} z$ topologią będzie oznaczona przez ${ \ displaystyle X \ otimes _ {\ tau} Y}$ ), wtedy jest równa indukcyjnej topologii iloczynu tensorowego wtedy i tylko wtedy, gdy ma następującą właściwość: ${\ displaystyle \ tau }$

Dla każdego lokalnie wypukłego TVS $Z$ jest mapą kanoniczną z przestrzeni wszystkich odwzorowań $Displaystyle$ postaci $,}$$X \ razy Y \ do$ przechodząc do przestrzeni wszystkich liniowych odwzorowań ${\ Displaystyle X \ czasami Y \ do Z,}$$,$ gdy dziedzina jest ograniczona do ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (X, Y; Z)}$ (przestrzeń oddzielnie ciągłych map dwuliniowych), to zakres tego ograniczenia to przestrzeń ${\ Displaystyle L \left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}$ ciągłych operatorów liniowych ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ tau} Y \ do Z.}$

Zobacz też

• Pomocnicze przestrzenie znormalizowane
• Topologia początkowa — najgrubsza topologia zapewniająca ciągłość pewnych funkcji
• Iniekcyjny produkt tensorowy
• Operator jądrowy
• Przestrzeń jądrowa - uogólnienie skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych różnych od przestrzeni Hilberta
• Rzutowy iloczyn tensorowy - rzutowy iloczyn tensorowy dwóch topologicznych przestrzeni wektorowych Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta - Przestrzeń iloczynu tensorowego wyposażona w specjalny iloczyn wewnętrzny
• Topologiczny iloczyn tensorowy - Konstrukcje iloczynu tensorowego dla topologicznych przestrzeni wektorowych

Bibliografia

•    Diestel, Joe (2008). Metryczna teoria iloczynów tensorowych: wznowienie życiorysu Grothendiecka . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773 .
•    Dubinsky, wyd. (1979). Struktura jądrowych przestrzeni Frécheta . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156 .
•    Grothendieck, Aleksander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (w języku francuskim). Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788 .
•    Husain, Taqdir (1978). Baryłkowatość w topologicznych i uporządkowanych przestrzeniach wektorowych . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665 .
•    Khaleelulla SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 936. Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Nlend, H. (1977). Bornologie i analiza funkcjonalna: kurs wprowadzający do teorii dualności topologia-bornologia i jej zastosowanie w analizie funkcjonalnej . Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork: Pub w Holandii Północnej. Co. Wyłączni dystrybutorzy w USA i Kanadzie, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5 . OCLC 2798822 .
•    Nlend, H. (1981). Przestrzenie jądrowe i współjądrowe: kursy wprowadzające do przestrzeni jądrowych i współjądrowych w świetle dualności . Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork, NY: North-Holland Pub. Co. Wyłączni dystrybutorzy w USA i Kanadzie, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2 . OCLC 7553061 .
•    Pietsch, Albrecht (1972). Jądrowe przestrzenie lokalnie wypukłe . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541 .
•    Robertson, AP (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Anglia: University Press. ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250 .
•    Ryan, Raymond (2002). Wprowadzenie do iloczynów tensorowych przestrzeni Banacha . Londyn Nowy Jork: Springer. ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wonga (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i produkty tensorowe . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .

Linki zewnętrzne

• Przestrzeń jądrowa w ncatlab