Całkowy operator liniowy

Integralna postać dwuliniowa to dwuliniowy funkcjonał należący do ciągłej przestrzeni dualnej , iniekcyjnego iloczynu tensorowego lokalnie wypukłej topologii ${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$ przestrzenie wektorowe (TVS) X i Y . Całkowy operator liniowy to ciągły operator liniowy, który powstaje w sposób kanoniczny z całkowej postaci dwuliniowej.

Mapy te odgrywają ważną rolę w teorii przestrzeni jądrowych i map jądrowych .

Definicja - Formy całkowe jako iloczyn podwójny iloczynu tensora iniekcyjnego

Zobacz także: Iniekcyjny iloczyn tensora i Rzutowy iloczyn tensora

Niech X i Y $otimes}} _ {\ pi} Y}$ lokalnie wypukłymi TVS, niech $⊗$ π Y { oznaczają jego zakończenie, niech ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ epsilon} Y}$ oznacza iniekcyjny iloczyn tensorowy , a ${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$ oznaczają jego zakończenie. Załóżmy, że ${\ Displaystyle \ operatorname {In}: X \ otimes _ {\ epsilon} Y \ do X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$ oznacza osadzenie $zakończeniu$ i ${\ Displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {w}: \ lewo (X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y \ prawej) _ {b }^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }} będzie jego transpozycją , która jest$ wektorowym izomorfizmem przestrzeni. To identyfikuje ciągłą przestrzeń podwójną ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ epsilon} Y}$ jako identyczną z ciągłą przestrzenią podwójną ${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$ .

Niech ${\ Displaystyle \ operatorname {Id}: X \ otimes _ {\ pi} Y \ do X \ otimes _ {\ epsilon} Y}$ oznacza mapę tożsamości, a ${\ Displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {Id}: \ lewo (X \ otimes _ {\ epsilon} Y \ prawo) _ {b }^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$ oznaczamy jego transpozycję , która jest ciągłym wtryskiem. Przypomnijmy, że $Y)}$ utożsamiany z $Y$$\ Displaystyle$ , przestrzeń ciągłych map dwuliniowych na ${\ Displaystyle X \ razy Y}$ . W ten sposób ciągła przestrzeń dualna ${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ epsilon} Y}$ można kanonicznie zidentyfikować jako podprzestrzeń wektorową ${\ Displaystyle B (X, Y)}$ , oznaczoną przez ${\ Displaystyle J(X, Y)}$ . Elementy są nazywane formami integralnymi (dwuliniowymi) $×$ X $razy$ . Następujące twierdzenie uzasadnia słowo całka .

Twierdzenie - podwójny J ( X , Y ) z ${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$ składa się dokładnie z tych ciągłych form dwuliniowych do na ${\ Displaystyle X\times Y}$ , które można przedstawić w postaci mapy

${\ Displaystyle b \ w B (X, Y) \ mapsto v (b) = \ int _ {S \ razy T} b {\ big \vert }_{S\times T}\left(x',y'\right)\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

gdzie S i T są pewnymi zamkniętymi, ${\ sigma} } ^ {\ liczba pierwsza}$ podzbiorami odpowiednio i $_ {\ sigma} ^$ i $}$$Displaystyle \$$jest$ dodatnią miarą Radona na zbiorze zwartym masie całkowitej jeśli A ${\ displaystyle v$ równociągłym podzbiorem J ( X , Y ) $,$ wtedy elementy przedstawić z ustalonym i $mu}$ przez ograniczony normą podzbiór przestrzeni miar Radona na ${\ Displaystyle S \ razy T.}$

Całkowe mapy liniowe

Ciągła mapa liniowa $zdefiniowana$ całkową , jeśli ${\ Displaystyle (x, y) \ w X \ razy Y \ mapsto (\ kappa x) (y)}$ całkową postacią dwuliniową, gdzie ta forma jest . Wynika z tego, że całkowa mapa ${\ Displaystyle \ kappa: X \ do Y'}$ ma postać:

${\ Displaystyle x \ w X \ mapsto \ kappa (x) = \ int _ {S \times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

dla odpowiednio słabo zamkniętych i równociągłych podzbiorów S i T z i $Y ′$$displaystyle$$'}$ oraz pewnej dodatniej miary Radona 1. powyższa całka jest słabą całką , więc równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\ Displaystyle y \ in Y}$ , ${\ textstyle \ lewo \ langle \ kappa (x), y \ prawo \ rangle = \ int _ { S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$ .

Biorąc pod uwagę mapę liniową $Displaystyle$ można zdefiniować kanoniczną postać dwuliniową $\left (X, Y'\right)}$$}$ , nazywany powiązaną formą dwuliniową na ${\ Displaystyle X \ razy Y'}$ , przez ${\ Displaystyle B _ {\ Lambda} \ lewo (x, y '\ prawo): = \ lewo (y' \ circ \ Lambda \ prawo) \ lewo (x \ prawo) }$ . Ciągła mapa $jeśli$ jest , powiązana z nią forma dwuliniowa jest integralną Całkowa mapa ma postać dla każdego ${\ Displaystyle \ Lambda: X \ do Y}$${\ Displaystyle x \ w X}$ i ${\ Displaystyle y '\ w Y'}$ :

${\ Displaystyle \ lewo \ langle y ', \ Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d } \mu \!\left(x',y''\right)}$

dla odpowiednich słabo zamkniętych i równociągłych aubsetów odpowiednio $Displaystyle B'$ ZA $Displaystyle A'}$$}$ b $\$ i niektórych pozytywnych Miara radonu $Displaystyle$ masy $\ leq 1}$ .

Związek z przestrzeniami Hilberta

Poniższy wynik pokazuje, że mapy całkowe „przechodzą przez” przestrzenie Hilberta.

Twierdzenie: Załóżmy, że ${\ displaystyle u: X \ do Y}$ jest integralną mapą między lokalnie wypukłymi TVS z Y Hausdorffa i kompletną. Istnieje przestrzeń Hilberta H i dwa ciągłe odwzorowania liniowe ${\ Displaystyle \ alfa: X \ do H}$ i ${\ Displaystyle \ beta: H \ do Y}$ takie, że ${\ displaystyle u = \ beta \ circ \ alfa}$ .

Ponadto każdy operator całkowy między dwiema przestrzeniami Hilberta jest nuklearny . Zatem ciągły operator liniowy między dwiema przestrzeniami Hilberta jest jądrowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowy.

Wystarczające warunki

Każda mapa nuklearna jest integralna. Ważną częściową odwrotnością jest to, że każdy operator całkowy między dwiema przestrzeniami Hilberta jest jądrowy .

Załóżmy, że A , B , C i D są Hausdorffa lokalnie wypukłymi TVS i że ${\ Displaystyle \ alfa: A \ do B}$ β ${\ Displaystyle \ beta: B \ do C$ i $_$ _ Jeśli ${\ Displaystyle \ beta: B \ do C}$ jest operatorem całkowym, więc kompozycja jest ${\ displaystyle \ gamma \ circ \ beta \ circ \ alpha: A \ to D}$ .

Jeśli $przestrzeniami$ ciągłym operatorem liniowym między dwiema ${\ Displaystyle {} ^ {t} u: Y '\ do X'}$$wtedy$ tylko jest całkowe.

Załóżmy, że $.$ liniową między lokalnie Jeśli ${\ Displaystyle u: X \ do Y}$ jest całką, to tak samo jest z transpozycją ${\ Displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ { \prime }\to X_{b}^{\prime }}$ . Załóżmy teraz, że transpozycja ${\ Displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ {\ liczba pierwsza} \ do X_ {b} ^ {\ liczba pierwsza}} ciągłej mapy liniowej u: X$ → $: X\do Y}$ jest całką. Wtedy ${\ Displaystyle u: X \ do Y}$ jest całkowalne, jeśli iniekcje kanoniczne ${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {X}: X \ do X''}$ ( zdefiniowane przez ${\ displaystyle x \ mapsto}$ wartość w x ) i ${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {Y}: Y \ do Y''}$ są osadzaniami TVS (co dzieje się, jeśli na przykład ${\ Displaystyle X}$ i $)$ lub metryzowalne

Nieruchomości

Załóżmy, że A , B , C i D są TVS lokalnie wypukłymi Hausdorffa z B i D kompletnymi . Jeśli ${\ Displaystyle \ alfa: A \ do B}$ , ${\ Displaystyle \ beta: B \ do C}$ i ${\ Displaystyle \ gamma: C \ do D}$ są wszystkie integralnymi odwzorowaniami liniowymi, a następnie ich złożeniem ${\ Displaystyle \ gamma \ circ \ beta \ circ \ alfa: A \ do D}$ jest jądrowe . Zatem w szczególności, jeśli $,$ jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Frécheta ciągła surjekcja liniowa nie operatorem całkowym

Zobacz też

• Pomocnicze przestrzenie znormalizowane
• Topologia końcowa
• Iniekcyjny produkt tensorowy
• Operatorzy jądrowi
• Przestrzenie jądrowe
• Rzutowy iloczyn tensorowy
• Produkt tensora topologicznego

Bibliografia

•    Diestel, Joe (2008). Metryczna teoria iloczynów tensorowych: rewizja życiorysu Grothendiecka . Tom. 16. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 9781470424831 . OCLC 185095773 .
•    Dubinsky, wyd. (1979). Struktura jądrowych przestrzeni Frécheta . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 720. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09504-0 . OCLC 5126156 .
•     Grothendieck, Aleksander (1955). „Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires” [Topologiczne produkty tensorowe i przestrzenie jądrowe]. Wspomnienia z serii American Mathematical Society (w języku francuskim). Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7 . MR 0075539 . OCLC 1315788 .
•    Husain, Taqdir; Khaleelulla SM (1978). Barrelledness w topologicznych i uporządkowanych przestrzeniach wektorowych . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 692. Berlin, Nowy Jork, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0 . OCLC 4493665 .
•    Khaleelulla SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 936. Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•     Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologie i analiza funkcjonalna: kurs wprowadzający do teorii topologii dualności-Bornologia i jej zastosowanie w analizie funkcjonalnej . Studia matematyczne w Holandii Północnej. Tom. 26. Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork: Północna Holandia. ISBN 978-0-08-087137-0 . MR 0500064 . OCLC 316549583 .
•    Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, VB (1981). Przestrzenie jądrowe i jądrowe: kurs wprowadzający do przestrzeni jądrowych i jądrowych w świetle dualności „topologia-bornologia” . Studia matematyczne w Holandii Północnej. Tom. 52. Amsterdam Nowy Jork Nowy Jork: Północna Holandia. ISBN 978-0-08-087163-9 . OCLC 316564345 .
•    Pietsch, Albrecht (1979). Jądrowe lokalnie wypukłe przestrzenie . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Tom. 66 (wyd. Drugie). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9 . OCLC 539541 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 53. Cambridge Anglia: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Ryan, Raymond A. (2002). Wprowadzenie do iloczynów tensorowych przestrzeni Banacha . Monografie Springera z matematyki. Londyn Nowy Jork: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6 . OCLC 48092184 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wong, Yau-Chuen (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i produkty tensorowe . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 726. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2 . OCLC 5126158 .

Linki zewnętrzne

• Przestrzeń jądrowa w ncatlab