Operatory jądrowe między przestrzeniami Banacha

W matematyce operatory jądrowe między przestrzeniami Banacha to operatory liniowe między przestrzeniami Banacha w nieskończonych wymiarach , które mają niektóre właściwości swoich odpowiedników w wymiarze skończonym. W przestrzeniach Hilberta takie operatory są zwykle nazywane operatorami klasy śladu i można zdefiniować takie rzeczy jak ślad . W przestrzeniach Banacha nie jest to już możliwe dla ogólnych operatorów jądrowych, jest to jednak możliwe dla ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$ -operator jądrowy za pomocą twierdzenia o śladzie Grothendiecka .

Ogólną definicję przestrzeni Banacha podał Grothendieck . Ten artykuł przedstawia oba przypadki, ale koncentruje się na ogólnym przypadku operatorów jądrowych w przestrzeniach Banacha.

Operatory jądrowe w przestrzeniach Hilberta

Główny artykuł: operator klasy śledzenia

Operator w przestrzeni Hilberta $mathcal {H$$}}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: {\ mathcal {H}} \ do {\ mathcal {H}}}$$

jest zwarty , jeśli można go zapisać w postaci

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ suma _ {n = 1} ^ {N} \ rho _ {n} \ langle f_ {n},\cdot \rangle g_{n},}$$

gdzie ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik N \ równoważnik \ infty}$ i ${\ Displaystyle \ {f_ {1}, \ ldots, f_ {N} \}}$ i $_$ _ Tutaj ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1}, \ ldots, \ rho _ {N} \}}$ to zbiór liczb rzeczywistych, zbiór wartości osobliwych operatora, przestrzegający ${\ Displaystyle \ rho _ {n}\do 0}$ jeśli ${\ Displaystyle N = \ infty.}$

Nawias $iloczynem$ skalarnym suma po prawej stronie musi być zbieżna w normie.

Mówi się, że operator, który jest zwarty, jak zdefiniowano powyżej, jest nuklearny lub klasy śladowej, jeśli

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} |\ rho _ {n} | <\ infty.}$$

Nieruchomości

Operator jądrowy w przestrzeni Hilberta ma tę ważną właściwość, że można zdefiniować operację śledzenia . Biorąc pod uwagę podstawę ortonormalną dla przestrzeni Hilberta, ślad jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ {\ psi _ {n} \}}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} {\ mathcal {L}} = \ suma _ {n} \ langle \ psi _ {n}, {\ mathcal {L}} \ psi _ {n} \ rangle.}$$

Oczywiście suma jest zbieżna bezwzględnie i można udowodnić, że wynik jest niezależny od podstawy . Można wykazać $,$ że ten ślad jest identyczny z sumą wartości własnych liczonych z krotnością).

Operatory jądrowe w przestrzeniach Banacha

Główny artykuł: jądro Fredholma

Definicja operatora klasy śladowej została rozszerzona na przestrzenie Banacha przez Alexandra Grothendiecka w 1955 roku.

Niech $\ displaystyle A}$$\ displaystyle A,}$ i ${\ displaystyle B}$ będą przestrzeniami Banacha i będą liczbą podwójną $z$ ZA czyli zbiorem wszystkich ciągłe lub (równoważnie) ograniczone funkcjonały liniowe na $.$ zwykłą normą Istnieje kanoniczna mapa ocen

$${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza} \ czasami B \ do \ operatorname {Hom} (A, B)}$$

(od $\$ iloczynu tensorowego z i $displaystyle B$ przestrzeni Banacha ciągłych map liniowych od do $)$$}$ . Jest to określane przez wysłanie i liniową za $w$ { $^ {\$${\ Displaystyle a \ mapsto f (a) \ cdot b.}$ Operator $B)}$ , nazywana energią jądrową , jeśli jest zgodna z obrazem tej mapy oceny.

q -operatorzy jądrowi

Operator

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: A \ do B}$$

mówi się, że jest jądrowy rzędu $Displaystyle$ jeśli istnieją sekwencje wektorów $\ {g_ {n} \} \ w B}$ z ${\ displaystyle \ Vert g_ {n} \ Vert \ równoważnik 1,}$ funkcjonały ${\ Displaystyle \ lewo \ {f_ {n} ^ {*} \ prawo \} \ w A ^ {\ liczba pierwsza} }$ z $_$ _ _ $_$ _

$${\ Displaystyle \ suma _ {n} |\ rho _ {n} | ^ {q}<\ infty,}$$

taki, że operator można zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ suma _ {n} \ rho _ {n} f_ {n} ^ {*} (\ cdot) g_ {N}}$$

z sumą zbieżną w normie operatora.

Operatory jądrowe rzędu 1 nazywane są operatorami jądrowymi $absolutnie$ są to te, dla których szereg zbieżny Operatory jądrowe rzędu 2 nazywane są operatorami Hilberta – Schmidta .

Relacja z operatorami klasy śledzenia

Dzięki dodatkowym krokom można zdefiniować ślad dla takich operatorów, gdy ${\ Displaystyle A = B.}$

Nieruchomości

Ślad i wyznacznik nie mogą być już ogólnie zdefiniowane w przestrzeniach Banacha. Można je jednak zdefiniować dla tak zwanych $.$ jądrowych za pomocą twierdzenia śladzie Grothendiecka

Uogólnienia

Mówiąc bardziej ogólnie, operator z $^$ wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej do przestrzeni Banacha $powyższy$ się jądrowym , jeśli spełnia warunek ze wszystkimi ${*}}$${\ displaystyle f_ {n}$ ograniczone przez 1 w jakimś ustalonym sąsiedztwie 0.

Rozszerzenie koncepcji map jądrowych na dowolne kategorie monoidalne podaje Stolz i Teichner (2012) . Kategorię monoidalną można traktować jako kategorię wyposażoną w odpowiednie pojęcie iloczynu tensorowego. Przykładem kategorii monoidalnej jest kategoria przestrzeni Banacha lub alternatywnie kategoria miejscowo wypukłych, zupełnych przestrzeni Hausdorffa; oba wyposażone w rzutowy iloczyn tensorowy. Mapa $_$ grubą _ jeśli można to zapisać jako kompozycję

$${\ Displaystyle A \ cong I \ otimes A {\ stackrel {t \ otimes \ operatorname {id} _ {A }}{\longrightarrow }}B\otimes C\otimes A{\stackrel {\operatorname {id} _{B}\otimes s}{\longrightarrow }}B\otimes I\cong B}$$

dla odpowiedniego obiektu $t$ odwzorowuje $\ Displaystyle t: I \ do B \ otimes C, s: C \ otimes A \ do ja ,}$ gdzie $.$ jednostką monoidalną

W monoidalnej kategorii przestrzeni Banacha, wyposażonej w rzutowy iloczyn tensorowy, mapa jest gruba wtedy i tylko wtedy, gdy jest nuklearna.

Przykłady

Załóżmy , że ${\ Displaystyle f: H_ {1} \ do H_ {2}}$ i ${\ Displaystyle g: H_ {2} \ do H_ {3}}$ Operatory Hilberta-Schmidta między przestrzeniami Hilberta. Wtedy kompozycja jest operatorem jądrowym ${\ Displaystyle g \ circ f: H_ {1} \ do H_ {3}}$ .

Zobacz też

• Topologiczny iloczyn tensorowy - Konstrukcje iloczynu tensorowego dla topologicznych przestrzeni wektorowych
• Operator jądrowy
• Przestrzeń jądrowa - uogólnienie skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych różnych od przestrzeni Hilberta

• A. Grothendieck (1955), Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires, Mem. Jestem. Matematyka Soc. 16 . MR 0075539
• A. Grothendieck (1956), La theorie de Fredholm, Bull. soc. Matematyka Francja , 84 : 319–384. MR 0088665
• A. Hinrichs i A. Pietsch (2010), operatory p -jądrowe w rozumieniu Grothendiecka, Mathematische Nachrichen 283 : 232–261. doi : 10.1002/mana.200910128 . MR 2604120
• GL Litvinov (2001) [1994], „Operator jądrowy” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Schäfer, HH; Wolff, MP (1999), Topologiczne przestrzenie wektorowe , Graduate Texts in Mathematics, tom. 3 (2 wyd.), Springer, doi : 10.1007/978-1-4612-1468-7 , ISBN 0-387-98726-6
•   Stolz, Stefan; Teichner, Peter (2012), „Ślady w kategoriach monoidalnych”, Transactions of the American Mathematical Society , 364 (8): 4425–4464, arXiv : 1010,4527 , doi : 10,1090/S0002-9947-2012-05615-7 , MR 2912459