Hipociągła mapa dwuliniowa

W matematyce hipociągłość to warunek na dwuliniowych mapach topologicznych przestrzeni wektorowych , który jest słabszy niż ciągłość, ale silniejszy niż oddzielna ciągłość . Wiele ważnych map dwuliniowych, które nie są ciągłe, jest w rzeczywistości hipociągłych.

Definicja

Jeśli ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle Y}$ i ${\ Displaystyle Z}$ są topologicznymi przestrzeniami wektorowymi , to mapa dwuliniowa ${\ Displaystyle \ beta: X \ razy Y \ do Z}$ nazywamy hipociągłym , jeśli spełnione są następujące dwa warunki:

• dla każdego zbioru ograniczonego ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ zbiór map liniowych ${\ Displaystyle \ {\ beta (x, \ cdot) \ mid x \ in A \}}$ jest równociągłym podzbiorem i ${\ Displaystyle Hom (Y, Z)$ }
• dla każdego zbioru ograniczonego ${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$ zbiór map liniowych ${\ Displaystyle \ {\ beta (\ cdot, y) \ mid y \ in B \}}$ jest równociągłym podzbiorem ${\ Displaystyle Hom (X, Z)}$ .

Wystarczające warunki

Twierdzenie : Niech X i Y będą przestrzeniami beczkowatymi i niech Z będzie przestrzenią lokalnie wypukłą . Wtedy każda oddzielnie ciągła mapa dwuliniowa z ${\ displaystyle X \ razy Y}$ na Z jest hipociągła.

Przykłady

• Jeśli X jest lokalnie wypukłą beczkowatą przestrzenią Hausdorffa nad polem , $\ pierwsza} \ do \ mathbb { F} }$ mapa dwuliniowa $X$ określone przez ${\ Displaystyle \ lewo (x, x ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo) \ mapsto \ lewo \ langle x, x ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo \ ranga: = x ^ {\ liczba pierwsza} \ lewo (x \ prawo) }$ jest hipociągły.

Zobacz też

• Mapa dwuliniowa - Funkcja dwóch wektorów liniowych w każdym argumencie
• Podwójny system

Bibliografia

•   Bourbaki, Nicolas (1987), Topologiczne przestrzenie wektorowe , Elementy matematyki , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .