Iloraz twierdzenia o podprzestrzeni

W matematyce iloraz twierdzenia o podprzestrzeni jest ważną własnością skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych , odkrytą przez Vitali Milmana .

Niech ( X , ||·||) będzie N -wymiarową przestrzenią unormowaną. Istnieją podprzestrzenie Z ⊂ Y ⊂ X takie, że zachodzi:

•   Przestrzeń ilorazowa E = Y / Z ma wymiar dim E ≥ c N , gdzie c > 0 jest stałą uniwersalną.
• Norma indukowana || · || na E , określony przez

${\ Displaystyle \ | e \ | = \ min _ {y \ w e} \ | y \ |, \ quad e \ w mi}$

jest jednolicie izomorficzny z euklidesem. Oznacza to, że istnieje dodatnia forma kwadratowa („struktura euklidesowa”) Q na E , taka, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {Q (e)}} {K}} \ równoważnik \ | e \ | \ równoważnik K {\ sqrt {Q (e)}}}$ dla ${\ Displaystyle e \ w mi,}$

gdzie K > 1 jest stałą uniwersalną.

0 Twierdzenie jest względnie łatwe do udowodnienia przez indukcję po wymiarze Z (nawet dla Y=Z , X = , c=1 ) z K zależnym tylko od N ; celem twierdzenia jest to, że K jest niezależne od N .

W rzeczywistości stałą c można dowolnie zbliżyć do 1, kosztem zwiększenia stałej K. Oryginalny dowód dozwolony

${\ Displaystyle c (K) \ około 1- {\ tekst {stała}} / \ log \ log K.}$

Notatki

• Milman, VD (1984), „Prawie euklidesowe przestrzenie ilorazowe podprzestrzeni skończenie wymiarowej przestrzeni znormalizowanej”, izraelskie seminarium na temat geometrycznych aspektów analizy funkcjonalnej , Tel Awiw: Tel Aviv Univ., X
•   Gordon, Y. (1988), „O nierównościach Milmana i przypadkowych podprzestrzeniach, które uciekają przez siatkę w Rn ”, Geometryczne aspekty analizy funkcjonalnej , Lecture Notes in Math., Berlin: Springer, ¹³¹⁷ : 84–106, doi : 10,1007 /BFb0081737 , ISBN 978-3-540-19353-1
• Pisier, G. (1989), Objętość ciał wypukłych i geometria przestrzeni Banacha , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 94, Cambridge: Cambridge University Press