Kryształy przestrzeni fazowej

Kryształ przestrzeni fazowej to stan układu fizycznego, który wykazuje dyskretną symetrię w przestrzeni fazowej zamiast w przestrzeni rzeczywistej . W przypadku układu jednocząsteczkowego stan kryształu w przestrzeni fazowej odnosi się do stanu własnego hamiltonianu dla zamkniętego układu kwantowego lub operatora własnego Liouvillian dla otwartego układu kwantowego . W przypadku układu wielociałowego kryształ przestrzeni fazowej jest stanem krystalicznym przypominającym ciało stałe w przestrzeni fazowej. Ogólne ramy kryształów przestrzeni fazowej polegają na rozszerzeniu badań fizyka ciała stałego i fizyka materii skondensowanej w przestrzeni fazowej układów dynamicznych . Podczas gdy przestrzeń rzeczywista ma geometrię euklidesową , przestrzeń fazowa jest osadzona w klasycznej geometrii symplektycznej lub kwantowej geometrii nieprzemiennej .

Kraty przestrzeni fazowej

W swojej słynnej książce Mathematical Foundations of Quantum Mechanics John von Neumann skonstruował siatkę przestrzeni fazowej za pomocą dwóch przemiennych operatorów przemieszczenia elementarnego odpowiednio wzdłuż kierunków położenia i pędu, która jest obecnie nazywana również siatką von Neumanna . Jeśli przestrzeń fazowa zostanie zastąpiona płaszczyzną częstotliwość-czas, sieć von Neumanna nazywana jest siatką Gabora i jest szeroko stosowana do przetwarzania sygnałów

Krata przestrzeni fazowej zasadniczo różni się od sieci przestrzeni rzeczywistej, ponieważ dwie współrzędne przestrzeni fazowej są nieprzemienne w mechanice kwantowej . W rezultacie spójny stan poruszający się po zamkniętej ścieżce w przestrzeni fazowej uzyskuje dodatkowy współczynnik fazowy, który jest podobny do efektu Aharonova-Bohma poruszającego się naładowanej cząstki w polu magnetycznym. Istnieje głęboki związek między przestrzenią fazową a polem magnetycznym. W rzeczywistości kanoniczne równanie ruchu można również przepisać w postaci siły Lorenza, odzwierciedlającej symplektyczną geometrię klasycznej przestrzeni fazowej

W przestrzeni fazowej układów dynamicznych punkty stabilne wraz z sąsiadującymi z nimi regionami tworzą tzw. wyspy Poincarégo-Birkhoffa na morzu chaosu, które w przestrzeni fazowej mogą tworzyć łańcuch lub pewne regularne dwuwymiarowe struktury sieciowe. Na przykład efektywny hamiltonian oscylatora harmonicznego z kopnięciem (KHO) może mieć siatkę kwadratową, siatkę trójkątną, a nawet struktury quasi-krystaliczne w przestrzeni fazowej w zależności od stosunku liczby kopnięć. W rzeczywistości dowolną siatkę przestrzeni fazowej można zaprojektować, wybierając odpowiednią sekwencję kopnięć dla KHO

Kryształy przestrzeni fazowej (PSC)

Koncepcja kryształu przestrzeni fazowej została zaproponowana przez Guo i in. i pierwotnie odnosi się do stanu własnego efektywnego hamiltonianu okresowo napędzanego (Floqueta) układu dynamicznego. W zależności od tego, czy uwzględniono efekt interakcji, kryształy przestrzeni fazowej można podzielić na PSC jednocząsteczkowe i PSC wielociałowe .

Jednocząsteczkowe kryształy kosmiczne fazy

W zależności od symetrii w przestrzeni fazowej, kryształ przestrzeni fazowej może być stanem jednowymiarowym (1D) z $-krotną$ obrotową w przestrzeni fazowej lub dwuwymiarowym (2D) stanem sieci rozciągniętym na całą przestrzeń fazową. Koncepcja kryształu przestrzeni fazowej dla układu zamkniętego została rozszerzona na otwarte układy kwantowe i nosi nazwę dyssypatywnych kryształów przestrzeni fazowej .

Z _n PSC

Przestrzeń fazowa zasadniczo różni się od przestrzeni rzeczywistej, ponieważ dwie współrzędne przestrzeni fazowej nie dojeżdżają do pracy, tj. $i \ lambda }$${\ Displaystyle [{\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {p}} ]$$stałą$ gdzie jest bezwymiarową Plancka . Operator drabinkowy jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} = ({\ kapelusz {x}} + i {\ kapelusz {p}}) / {\ sqrt {2 \ lambda}}} takie, że [ za ^ , za ^ † ] = 1 {\ Displaystyle [{\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {$ a $}$ . Hamiltonian $_$ _ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = H ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet})}$ . Definiując operatora obrotowego w przestrzeni fazowej przez ${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} _ {\ tau} = e ^ {-i \ tau {\ kapelusz {a }} ^ {\ sztylet {\ kapelusz {a}}}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ tau = {2 \ pi} / {n}}$ z ${\ displaystyle n}$$dodatnia$ liczba całkowita, system ma symetrię obrotową lub $Displaystyle$ jeśli hamiltonian komutuje z operatorem obrotowym $[{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {T}} _ {\ tau}] = 0} , tj$ .

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ kapelusz {T}} _ {\ tau} ^ {\ sztylet}} {\ kapelusz {H}}} _ {\ tau} \ rightarrow H ({\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}) = H ({\ kapelusz {T}} _ {\ tau} ^ {\ sztylet}} {\ kapelusz {a}} {\ ha t {T}}_ {\tau},{\kapelusz {T}}_{\tau}^{\sztylet}}{\kapelusz {H}}{\kapelusz {a}}_{\tau}^{\sztylet})=H({\kapelusz {a}}e^{-i\tau},{\kapelusz {a}}^{\sztylet}e^{i\tau}).}$$

W takim przypadku można zastosować twierdzenie Blocha do $hamiltonianu$ i obliczyć strukturę pasma . $-$ , symetryczna struktura hamiltonianu nazywana jest $kryształami$ przestrzeni fazowej a odpowiadające jej stany własne nazywane są .

Krata PSC

Dyskretną symetrię obrotową można rozszerzyć na dyskretną symetrię translacyjną w całej przestrzeni fazowej. W tym celu operator przemieszczenia w przestrzeni fazowej jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle {\ hat {D}} (\ xi )=\exp[(\xi {\kapelusz {a}}^{\sztylet}-\xi ^{*}{\kapelusz {a}})/{\sqrt {2\lambda }}]} który$ ma nieruchomość ${\ Displaystyle {\ kapelusz {D}} ^ {\ sztylet} (\ xi) {\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {D}} (\ xi) = {\ kapelusz {a}} + \ xi} , gdzie jest liczbą zespoloną odpowiadającą$$wektorowi$ przemieszczenia w fazowej . System ma dyskretną symetrię translacyjną, jeśli hamiltonian komutuje z operatorem translacyjnym ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {D}} ^ {\ sztylet} (\ xi)] = 0}, tj$ .

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ kapelusz {D}} ^ {\ sztylet} (\ xi) {\ kapelusz {H}} {\ kapelusz {D}} (\ xi) \ rightarrow H ({{ \kapelusz {a}},{\kapelusz {a}}^{\sztylet})=H({\kapelusz {D}}^{\sztylet}(\xi){\kapelusz {a}}{\kapelusz { D}}(\xi ),{\kapelusz {D}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {D}}(\xi))=H({\kapelusz {a}}+\xi ,{\kapelusz {a}}^{\sztylet}+\xi ^{*}).}$$

$D}} ($ istnieją dwa elementarne przemieszczenia 2 ${$ , które jednocześnie spełniają powyższy warunek, hamiltonian przestrzeni fazowej posiada symetrię sieci 2D w przestrzeni fazowej. Jednak te dwa operatory przemieszczenia nie są ogólnie przemienne ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {D}} (\ xi _ {1}), {\ kapelusz {D}} (\ xi _ {2})] \ neq 0}$ . W nieprzemiennej przestrzeni fazowej pojęcie „punktu” jest bez znaczenia. Zamiast tego spójny stan ${\ Displaystyle |\ alpha \ rangle}$ jest zdefiniowany jako stan własny operatora opuszczania za pomocą ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}}|\ alfa \ rangle = \ alfa |\ alfa \ rangle}$ . The operator przemieszczenia przesuwa stan koherentny o dodatkową fazę, tj. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {D}} (\ xi) | \ alfa \ rangle = e ^ {i \ operatorname {im} (\ xi \ alfa ^ {*})} | \ alfa + \ xi \rangle }$ . Spójny stan , który porusza się po zamkniętej ścieżce, np. trójkąt z trzema krawędziami określonymi przez $\ xi _ {2}, - \ xi _ {1} - \ xi _ {2})}$ w przestrzeni fazowej uzyskuje geometryczny współczynnik fazy $( ξ 2 ξ 1 ∗ ) {\ Displaystyle S = {\ Frac {1} {2}} \ operatorname {im} (\ xi _$$zamknięty$ _ . Ta faza geometryczna jest analogiczna do fazy Aharonova-Bohma naładowanej cząstki w polu magnetycznym. Jeśli magnetyczna komórka elementarna i krata komórki elementarne są współmierne, a mianowicie istnieją dwie liczby całkowite i $s}$${\ Displaystyle$${\ Displaystyle [{\ kapelusz {D}} ^ {r} (\ xi _ {1}), {\ kapelusz {D}} ^ {s} (\ xi _ {2})] = 0} , można obliczyć strukturę pasma zdefiniowaną w 2D Brillouina$ , że . Na przykład widmo kwadratowej sieci fazowej hamiltonianu ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = \ sałata {\ kapelusz {x}} + \ sałata {\ kapelusz {p}}}$ wyświetla strukturę pasma motyla Hofstadtera , która opisuje skakanie naładowanych cząstek między ciasno wiążącymi miejscami sieci w polu magnetycznym. W tym przypadku stany własne nazywane są kryształami przestrzeni fazowej sieci 2D .

Rozpraszający PSC

Pojęcie kryształów przestrzeni fazowej dla zamkniętego układu kwantowego zostało rozszerzone na otwarty układ kwantowy . W obwodów QED rezonator mikrofalowy połączony ze złączami Josephsona i polaryzacją napięcia pod $-fotonowym$ można opisać przybliżeniem fali wirującej (RWA) hamiltonian ${\ displaystyle {\ hat {H }} _ {RWA}}$ z ${\ Displaystyle Z_ {n}}$ symetria przestrzeni fazowej opisana powyżej. Gdy dominuje strata pojedynczego fotonu, dyssypatywna dynamika rezonatora jest opisana przez następujące równanie główne ( równanie Lindblada )

$${\ Displaystyle {\ Frac {d \ rho} {dt}} = - {\ Frac {i} {\ hbar}} [{\ kapelusz {H}} _ {RWA}, \ rho] + {\ frac {\ gamma }{2}}(2{\kapelusz {a}}\rho {\kapelusz {a}}^{\sztylet}-{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}}\ rho -\rho {\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}})={\mathcal {L}}(\rho),}$$

gdzie $jest$$współczynnikiem$ strat, superoperator nazywa Liouvillian . Można obliczyć widmo własne i odpowiadające im operatory własne Liouvillian systemu ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} {\ hat {\ rho}} _ {m} = \ lambda _ {m}{\kapelusz {\rho}}_{m}}$ . Zauważ, że nie tylko hamiltonian, ale także Liouvillian oba są niezmienne w przypadku $}$$,$ tj. ${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}}, {\ mathcal {T}} _ {\ tau}] = 0} z T τ O ^ = T ^ τ † O ^ T ^ τ {\ Displaystyle {\ ma thcal {T}}_{\tau}}{\kapelusz {O}}={\kapelusz {T}}_{\tau}^{\sztylet}}{\kapelusz {O}$ } i ${\ Displaystyle \ tau = {2 \ pi} / {n}}$ . Ta symetria odgrywa kluczową rolę w rozszerzeniu koncepcji kryształów przestrzeni fazowej na otwarty system kwantowy. W rezultacie operatory własne Liouvillian $mają$ strukturę modów Blocha w przestrzeni fazowej, która jest nazywana fazowej .

Kryształy przestrzeni fazowej o wielu ciałach

Pojęcie kryształu przestrzeni fazowej można rozszerzyć na układy oddziałujących cząstek, gdzie odnosi się do stanu wielu ciał o stałej strukturze krystalicznej w przestrzeni fazowej. W tym przypadku istotną rolę odgrywa oddziaływanie cząstek. W rzeczywistej przestrzeni hamiltonian wielu ciał poddany perturbacyjnemu okresowemu napędowi (z okresem ) jest określony przez ${\ displaystyle T}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ suma _ {i} H (x_ {i}, p_ {i}, t) + \ suma _ {i <j} V (x_ {i} -x_ {j}).}$$

$Zwykle$ potencjał interakcji przestrzeni Przekształcając do obracającej się ramki z częstotliwością napędową i dostosowując aproksymację fali wirującej (RWA), można uzyskać efektywny hamiltonian

$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {RWA} = \ suma _ {i} H_ {RWA} (X_ {i}, P_ {i}, t) + \ suma _ {i <j} U (X_ {i}, P_ {i}; X_ {j}, P_ {j}).}$$

Tutaj $_$ stroboskopową $.$$-tej$ cząstki _ $_$ . Aby mieć strukturę krystaliczną w przestrzeni fazowej, efektywna interakcja w przestrzeni fazowej musi być niezmienna w ramach dyskretnych operacji rotacyjnych lub translacyjnych w przestrzeni fazowej.

Oddziaływania w przestrzeni fazowej

W dynamice klasycznej , w kolejności wiodącej, efektywny potencjał interakcji w przestrzeni fazowej to uśredniona w czasie interakcja w przestrzeni rzeczywistej w jednym okresie sterującym

$${\ Displaystyle U_ {ij} = {\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} V [x_ {i} (t) -x_ {j} (t)].}$$

Tutaj $_$ trajektorię $cząstki$ . Dla modelu potęgowego potencjału interakcji ${\ Displaystyle V (x_ {i} -x_ {j}) = \ epsilon ^ {2n} / | x_ {i} -x_ {j} | ^ {2n}}$ $.$ i pół- ${\ Displaystyle U_ {ij} = \ infty.}$ bezpośrednia określona przez powyższy wzór na średnią czasową jest rozbieżna, tj Procedura renormalizacji została wprowadzona w celu usunięcia rozbieżności, a poprawna interakcja w przestrzeni fazowej jest funkcją odległości w przestrzeni fazowej ${\ Displaystyle R_ {ij}}$ w ${\ Displaystyle (X_ {i}, P_ {i})}$ . $1$$U (R_$ jot Displaystyle } nadal zachowuje postać prawa Coulomba aż do logarytmicznie renormalizowanego „ładunku” $e ^ {2} R_ {ij} ^ {3}/2)}, gdzie mi = 2,71828 ⋯ {\ Displaystyle e$ = $to$ liczba Eulera . dla ${\ Displaystyle n = 1,3/2,2,5/2, \ cdots}$ , renormalizowany potencjał interakcji w przestrzeni fazowej wynosi ${\ Displaystyle U_ {ij} = U (R_ {ij}) = {\ Frac {2 \ epsilon \ gamma ^ {2n-1} 4 ^ {{\ Frac {1} {2n}} -1}} {\ pi (2n-1)}} R_ {ij} ^ {1- {\ Frac {1} {n}}},} gdzie γ =$ ( $\ gamma = ( 4n-1)^{\frac {1}{2n-1}}}$ to współczynnik kolizji. $ponieważ$ przypadku ma efektywnej interakcji w przestrzeni fazowej, ${\ Displaystyle U (R_ {ij}) = {\ sqrt {3}} \ epsilon \ pi ^ {-1}}$ jest stałą względem odległości w przestrzeni fazowej. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku interakcji w przestrzeni fazowej $}}}$ wraz z odległością w przestrzeni fazowej. $U} ($$R_$ . Dla interakcji twardej kuli ( ${\ Displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ ), interakcja w przestrzeni fazowej ${\ Displaystyle U (R_ {ij}) = \ epsilon \ pi ^ {- 1} R_ {ij}}$ zachowuje się jak interakcja ograniczająca między kwarki w chromodynamice kwantowej (QCD). Powyższa interakcja w przestrzeni fazowej jest rzeczywiście niezmienna w ramach dyskretnych operacji obrotowych lub translacyjnych w przestrzeni fazowej. W połączeniu z potencjałem sieci przestrzennej przestrzeni fazowej wynikającym z kierowania, istnieje stabilny reżim, w którym cząstki układają się okresowo w przestrzeni fazowej, dając początek wielociałowym kryształom przestrzeni fazowej .

W mechanice kwantowej cząstka punktowa jest zastępowana pakietem fal kwantowych, co w naturalny sposób pozwala uniknąć problemu dywergencji. Do ekspansji Magnusa najniższego rzędu $w przestrzeni$ uśrednioną w czasie interakcją w rzeczywistej przestrzeni w okresowym dwuciałowym stanie kwantowym następujący sposób

$${\ Displaystyle U_ {ij} = {\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ langle \ Phi (x_ {i}, x_ {j}, t) | V (x_ {i} -x_ {j}) | \ Phi (x_ {i}, x_ {j}, t) \ rangle.}$$

W koherentnej reprezentacji stanu kwantowa interakcja w przestrzeni fazowej zbliża się do klasycznej interakcji w przestrzeni fazowej w granicy dalekiego zasięgu. W przypadku $odbijającym$$atomów$ z odpychającym oddziaływaniem kontaktowym się od oscylującego lustra, możliwe jest utworzenie stanu podobnego do izolatora Motta w przestrzeni fazowej. W tym przypadku istnieje dobrze określona liczba cząstek w każdym potencjalnym miejscu, które można traktować jako przykład Kryształ przestrzenny fazy wielu ciał 1D .

Jeśli dwie nierozróżnialne cząstki mają spiny , całkowite oddziaływanie w przestrzeni fazowej można zapisać jako sumę oddziaływań bezpośrednich i oddziaływań wymiennych . Oznacza to, że efekt wymiany podczas zderzenia dwóch cząstek może wywołać efektywną interakcję spin-spin

Wibracje kryształów w przestrzeni fazowej

Stałe kryształy są definiowane przez okresowe ułożenie atomów w rzeczywistej przestrzeni, atomy podlegające okresowemu napędowi mogą również tworzyć kryształy w przestrzeni fazowej. Interakcje między tymi atomami powodują powstanie zbiorowych modów wibracyjnych, podobnych do fononów w stałych kryształach. Plaster miodu Kryształ przestrzeni fazowej jest szczególnie interesujący, ponieważ struktura pasma wibracyjnego ma dwa pasma podsieci, które mogą mieć nietrywialną fizykę topologiczną. Wibracje dowolnych dwóch atomów są sprzężone poprzez interakcję parowania z wewnętrznie złożonymi sprzężeniami. Ich złożone fazy mają prostą interpretację geometryczną i nie mogą być wyeliminowane przez transformację cechowania , prowadzącą do wibracyjnej struktury pasmowej z nietrywialnymi liczbami Cherna i chiralnymi stanami krawędziowymi w przestrzeni fazowej. W przeciwieństwie do wszystkich scenariuszy transportu topologicznego w przestrzeni rzeczywistej, transport chiralny dla fononów w przestrzeni fazowej może powstać bez przerywania fizycznego symetria odwrócenia czasu .

Związek z kryształami czasu

Kryształy czasu i kryształy przestrzeni fazowej są blisko spokrewnionymi, ale różnymi koncepcjami. Obaj badają tryby subharmoniczne, które pojawiają się w systemach napędzanych okresowo. Kryształy czasu koncentrują się na procesie łamania symetrii symetrii translacyjnej w czasie dyskretnym (DTTS) oraz mechanizmie ochrony modów subharmonicznych w kwantowych układach wielociałowych. Z kolei badanie kryształów przestrzeni fazowej koncentruje się na dyskretnych symetriach w przestrzeni fazowej. Podstawowe mody konstruujące kryształ przestrzeni fazowej niekoniecznie są stanem wielu ciał i nie muszą łamać DTTS, jak w przypadku jednocząstkowych kryształów przestrzeni fazowej. W przypadku układów wielociałowych kryształy przestrzeni fazowej badają wzajemne oddziaływanie potencjalnych modów subharmonicznych, które są okresowo rozmieszczone w przestrzeni fazowej. Istnieje tendencja do badania wzajemnego oddziaływania wielu kryształów czasu, która jest ukuta jako fizyka materii skondensowanej w kryształach czasu