Lista równań relatywistycznych

Zobacz też: Wprowadzenie do szczególnej teorii względności

Poniżej znajduje się lista często występujących równań w szczególnej teorii względności .

Postulaty szczególnej teorii względności

Aby wyprowadzić równania szczególnej teorii względności, należy zacząć od dwóch innych

1. Prawa fizyki są niezmienne przy przekształceniach między układami inercjalnymi. Innymi słowy, prawa fizyki będą takie same, niezależnie od tego, czy testujesz je w klatce „w spoczynku”, czy w klatce poruszającej się ze stałą prędkością względem klatki „spoczynku”.
2. Prędkość światła w doskonałej klasycznej próżni ( $jest$ mierzona jako taka sama przez wszystkich obserwatorów w układach inercjalnych, a ponadto jest skończona, ale różna od zera. Ta prędkość działa jako supremum dla szybkości lokalnej transmisji informacji we wszechświecie.

W tym kontekście „prędkość światła” naprawdę odnosi się do najwyższej prędkości transmisji informacji lub ruchu zwykłej (nieujemnej masy) materii, lokalnie, jak w klasycznej próżni. Zatem dokładniejszy opis odnosiłby się raczej do $.$ światła jako takiej Jednak światło i inne bezmasowe cząstki teoretycznie poruszają się z $,$ a eksperyment obalił to pojęcie z dość dużą precyzją. Niezależnie od tego, czy samo światło porusza się z ${\ displaystyle c_ {0}}$ , chociaż działa jako takie $supremum$ i to jest założenie, które ma znaczenie dla teorii względności

Z tych dwóch postulatów wynika cała szczególna teoria względności.

W poniższym przykładzie prędkość względna v między dwoma układami inercjalnymi jest całkowicie ograniczona do kierunku x kartezjańskiego układu współrzędnych .

Kinematyka

Transformacja Lorentza

Następujące oznaczenia są bardzo często używane w szczególnej teorii względności:

czynnik Lorentza

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}$

gdzie ${\ displaystyle \ beta = {\ Frac {v} {c}}}$ a v jest prędkością względną między dwoma układami inercjalnymi .

Dla dwóch klatek w spoczynku γ = 1 i wzrasta wraz ze względną prędkością między dwoma klatek inercjalnych. Gdy prędkość względna zbliża się do prędkości światła, γ → ∞.

Dylatacja czasu (różne czasy t i t ' w tym samym położeniu x w tym samym układzie inercjalnym)

${\ Displaystyle t' = \ gamma t}$

Wyprowadzenie dylatacji czasu

Stosując powyższe postulaty, rozważmy wnętrze dowolnego pojazdu (zwykle na przykładzie pociągu) poruszającego się z prędkością v względem osoby stojącej na ziemi podczas przejeżdżania pojazdu. Wewnątrz światło świeci w górę do lustra na suficie, gdzie światło odbija się z powrotem w dół. Jeśli wysokość zwierciadła wynosi h , a prędkość światła c , to czas wznoszenia i opadania światła wynosi: ${\ Displaystyle t = {\ Frac {2h} {c}}}$ Jednak dla obserwatora na ziemi sytuacja wygląda zupełnie inaczej. Ponieważ pociąg porusza się przez obserwatora na ziemi, wiązka światła wydaje się poruszać po przekątnej zamiast prosto w górę iw dół. Aby to zwizualizować, wyobraź sobie, że światło jest emitowane w jednym punkcie, a następnie pojazd porusza się, aż światło uderzy w lusterko w górnej części pojazdu, a następnie pociąg porusza się jeszcze bardziej, aż wiązka światła powróci na dół pojazdu . Wydawałoby się, że wiązka światła porusza się po przekątnej w górę wraz z pociągiem, a następnie po przekątnej w dół. Ta ścieżka pomoże utworzyć dwustronne trójkąty z wysokością jako jednym z boków, a dwie proste części ścieżki będą odpowiednimi przeciwprostokątnymi: ${\ Displaystyle c ^ {2} \ lewo ({\ Frac {t'} {2}} \ prawej) ^ {2} = h^{2}+v^{2}\lewo({\frac {t'}{2}}\prawo)^{2}}$ Zmiana kolejności, aby uzyskać ${\ displaystyle t'}$ : ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {t'} {2}} \ prawo) ^ {2} = {\ Frac {h ^ {2}} { do ^ {2} -v ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {t'} {2}} = {\ Frac {h} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ ${\ Displaystyle t' = {\ Frac {2h} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2 }}}}}$ Wyjmując czynnik c , a następnie podstawiając dla t , znajdujemy: ${\ Displaystyle t '= {\ Frac {2h} {c}} {\ Frac {1} {\ sqrt {1- { \frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}} }}}}}$ Oto wzór na dylatację czasu: ${\ Displaystyle t '= \ gamma t}$

W tym przykładzie czas mierzony w ramie na pojeździe, t , jest znany jako czas właściwy . Właściwy czas między dwoma zdarzeniami — takimi jak zdarzenie wyemitowania światła w pojeździe i zdarzenie odebrania światła w pojeździe — to czas między dwoma zdarzeniami w klatce, w której zdarzenia występują w tym samym miejscu. Tak więc powyżej emisja i odbiór światła odbywały się w ramie pojazdu, przez co obserwator w ramie pojazdu odmierzał czas właściwy.

Skrócenie długości (różne pozycje x i x ' w tej samej chwili t w tym samym układzie inercjalnym)

${\ Displaystyle \ ell '= {\ Frac {\ ell} {\ gamma}}}$

Wyprowadzenie skrócenia długości

Rozważmy długi pociąg poruszający się z prędkością v względem ziemi oraz jednego obserwatora w pociągu i jednego na ziemi, stojących obok słupka. Obserwator w pociągu widzi, jak przód pociągu mija słupek, a potem, jakiś czas t′ później, widzi, jak koniec pociągu mija ten sam słupek. Następnie oblicza długość pociągu w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ ell = vt '\,}$ Jednak obserwator na ziemi, dokonując tego samego pomiaru, dochodzi do innego wniosku. Obserwator ten stwierdza, że ​​czas t upłynął między mijaniem słupka przez przód pociągu a mijaniem słupka przez tył pociągu. Ponieważ oba zdarzenia - przejechanie każdego końca pociągu przez słupek - miały miejsce w tym samym miejscu w kadrze obserwatora naziemnego, czas zmierzony przez tego obserwatora jest czasem właściwym. Więc: ${\ Displaystyle \ ell '= vt = v \ lewo ({\ Frac {t'}} {\ gamma}} \ prawej) = {\ Frac {\ ell }{\gamma}}}$

To jest wzór na skrócenie długości. Ponieważ istniał odpowiedni czas na dylatację czasu, istnieje odpowiednia długość dla skrócenia długości, która w tym przypadku wynosi ℓ . Właściwa długość obiektu to długość obiektu w kadrze, w którym obiekt jest w spoczynku. Ponadto to skrócenie wpływa tylko na wymiary obiektu, które są równoległe do względnej prędkości między obiektem a obserwatorem. Zatem skrócenie długości nie ma wpływu na długości prostopadłe do kierunku ruchu.

transformacja Lorentza

${\ Displaystyle x '= \ gamma \ lewo (x-vt \ prawo)}$

${\ Displaystyle y' = y \,}$

${\ displaystyle z '= z \,}$

${\ Displaystyle t' = \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawo) }$

Wyprowadzenie transformacji Lorentza z wykorzystaniem dylatacji czasu i skrócenia długości

Teraz podstawiając wynik skrócenia długości do transformacji Galileusza (tj. x = ℓ ), mamy: ${\ Displaystyle {\ Frac {x '} {\ gamma}} = x-vt}$ to jest: ${\ Displaystyle x '= \ gamma \ lewo (x-vt \ prawo)}$ i przechodząc od ramy zagruntowanej do ramy niezagruntowanej: ${\ Displaystyle x = \ gamma \ lewo (x'+ vt'\ prawo)}$ Przejście z ramki primowanej do ramki nieprimowanej zostało osiągnięte przez uczynienie v w pierwszym równaniu ujemnym, a następnie zamianę zmiennych primowanych na zmienne nieprimowane i odwrotnie. Ponadto, ponieważ skrócenie długości nie wpływa na prostopadłe wymiary obiektu, następujące elementy pozostają takie same, jak w transformacji Galileusza: ${\ Displaystyle y '= y \,}$ ${\ Displaystyle z' = z \,}$ Wreszcie, aby określić, jak t i t ′ przekształcają się, zastępując transformację x ↔ x ′ jej odwrotnością: ${\ Displaystyle x = \ gamma \ lewo (\ gamma \ lewo (x-vt \ prawo) + vt' \ prawo)}$ ${\ Displaystyle x = \ gamma \ lewo (\ gamma x - \ gamma vt + vt '\ prawej)}$ ${\ Displaystyle x = \ gamma ^ {2} x- \ gamma ^ {2} vt + \ gamma vt '\,}$ ${\ Displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt-\gamma ^{2}x+x\,}$ ${\ Displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ lewo (1- \ gamma ^ {2} \ prawej)}$ Podstawiamy wartość dla γ: $\ Displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ lewo (1 - {\ Frac {1} {1} -\beta ^{2}}}\right)}$ ${\ Displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt + x \ lewo ({\ Frac {1- \ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} - {\ frac { 1 {1- \ beta ^ {2}}} \ prawej)}$ ${\ Displaystyle \ gamma vt' = \ gamma ^ {2} vt-x\left({\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)}$ ${\ Displaystyle \ gamma vt '= \ gamma ^ {2} vt- \ gamma ^ {2} \ beta ^ {2} x \,}$ Na koniec dzielenie przez γ v : ${\ Displaystyle t '= \ gamma \ lewo (t- \ beta {\ Frac {x} {c}} \ prawej)}$ Lub częściej: ${\ Displaystyle t '= \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawej)}$ Odwrotność można ponownie uzyskać, zmieniając znak v i wymieniając zmienne nieprimowane na ich zmienne primowane i odwrotnie. Te transformacje razem to transformacja Lorentza: ${\ Displaystyle x '= \ gamma \ lewo (x-vt \ prawej)}$ ${\ Displaystyle y' = y \,}$ ${\ Displaystyle z '= z \,}$ ${\ Displaystyle t' = \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawej)}$

Dodawanie prędkości

${\ Displaystyle V'_ {x} = {\ Frac {V_ {x} -v} {1- {\ Frac {V_ {x} v {c ^ {2}}}}}}$

${\ Displaystyle V'_ {y} = {\ Frac {V_ {y}} {\ gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

${\ Displaystyle V'_ {z} = {\ Frac {V_ {z}} {\ gamma \ lewo (1- {\ Frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}\prawo)}}}$

Wyprowadzenie dodawania prędkości

Transformacje Lorentza dotyczą również różniczek , więc: ${\ Displaystyle dx '= \ gamma \ lewo (dx-vdt \ prawej)}$ ${\ Displaystyle dy' = dy \,}$ ${\ Displaystyle dz '= dz \,}$ ${\ Displaystyle dt '= \ gamma \ lewo (dt - {\ Frac {vdx} {c ^ {2}}} \ prawo)}$ Prędkość wynosi dx/dt , więc ${\ Displaystyle {\ Frac {dx'} {dt'}} = {\ Frac {\ gamma \ left(dx-vdt\right)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {dx '}{dt'}} = {\ Frac {dx-vdt} {dt- {\ Frac {vdx} {c ^ {2}}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {dx '}{dt'}} = {\ Frac {{\ Frac {dx} {dt} }-v}{1-{\frac {dx}{dt}}{\frac {v}{c^{2}}}}}}$ Teraz podstawiając: ${\ Displaystyle V_ {x} = {\ Frac {dx} {dt}} \, \ quad V'_ {x} = {\ Frac { dx'}{dt'}}}$ daje dodawanie prędkości (w rzeczywistości poniżej jest odejmowanie, dodawanie to po prostu odwrócenie znaków V x , V y i V z wokół): ${\ Displaystyle V'_ {x} = {\ Frac {V_ {x} -v} {1- {\ Frac {V_ {x} v}} do ^ {2}}}}}}$ ${\ Displaystyle V'_ {y} = {\ Frac {V_ {y}}} {\ gamma \ lewo (1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$ ${\ Displaystyle V'_ {z} = {\ Frac {V_ {z}} {\ gamma \ lewo (1- {\ Frac {V_ {x} v}} {c ^ {2 }}}\Prawidłowy)}}}$ Wpływa to również na prędkości w kierunkach prostopadłych do zmian ramy, jak pokazano powyżej. Wynika to z dylatacji czasu, co jest zawarte w dt / dt′ . Równania V′ y i V′ z zostały wyprowadzone przez podzielenie odpowiedniej różniczki przestrzennej (np. dy′ lub dz′ ) przez różniczkę czasu.

Metryka i cztery wektory

Główne artykuły: tensor metryczny i czterowektory

W dalszej części pogrubiona czcionka bezszeryfowa jest używana dla 4 wektorów, podczas gdy normalna pogrubiona czcionka rzymska jest używana dla zwykłych 3 wektorów.

Iloczyn wewnętrzny (tj. pojęcie długości )

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {b}}} = \ eta ({{ \boldsymbol {\mathsf {a}}}, {\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

gdzie $jest$ jako tensor metryczny . W szczególnej teorii względności tensor metryczny to metryka Minkowskiego :

${\ Displaystyle \ eta = {\ początek {pmatrix} -1 & 0 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}} Przedział$

czasoprzestrzenny

$Displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ { 2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}$

Powyżej ds ² jest znane jako przedział czasoprzestrzenny. Ten iloczyn wewnętrzny jest niezmienny w transformacji Lorentza, to znaczy

${\ Displaystyle \ eta ({\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}', {\ boldsymbol {\ mathsf { b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol { \mathsf {a}}}, {\boldsymbol {\mathsf {b}}}}}}$

Znak metryki i umiejscowienie terminów opartych na czasie ct , ct' , cdt i cdt′ może się różnić w zależności od wyboru autora. Na przykład, często terminy oparte na czasie są umieszczane na pierwszym miejscu w czterech wektorach, a następnie terminy przestrzenne. Ponadto czasami η jest zastępowane przez − η , co powoduje, że warunki przestrzenne dają ujemny wkład w iloczyn skalarny lub przedział czasoprzestrzenny, podczas gdy termin czasowy ma pozytywny wpływ. Różnice te mogą być stosowane w dowolnej kombinacji, o ile wybór standardów jest całkowicie przestrzegany podczas przeprowadzanych obliczeń.

Transformacja Lorentza

Możliwe jest wyrażenie powyższej transformacji współrzędnych za pomocą macierzy. Aby uprościć sprawę, najlepiej zastąpić t , t′ , dt i dt′ przez ct , ct' , cdt i cdt′ , które mają wymiary odległości. Więc:

${\ Displaystyle x '= \ gamma x - \ gamma \ beta ct \,}$

${\ Displaystyle y' = y \,}$

${\ Displaystyle z '= z \,}$

${\ Displaystyle ct' = \ gamma ct-\ gamma \ beta x \,}$

następnie w postaci macierzowej:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} ct '\\ x'\\ y' \\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

Wektory w powyższym równaniu transformacji są znane jako czterowektory, w tym przypadku są to w szczególności cztery wektory pozycji. Ogólnie rzecz biorąc, w szczególnej teorii względności cztery wektory można przekształcić z jednego układu odniesienia do drugiego w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}} '= \ Lambda {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}}$

Powyżej za ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}'}$ i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {a}}}}$ to czterowektor i przekształcony , odpowiednio, a Λ jest macierzą transformacji, która dla danej transformacji jest taka sama dla wszystkich czterech wektorów, które można chcieć przekształcić. Tak więc $prędkość lub pęd$ a to samo Λ może być użyte podczas przekształcania między tymi samymi dwiema klatkami. Najbardziej ogólna transformacja Lorentza obejmuje wzmocnienia i rotacje; komponenty są skomplikowane, a transformacja wymaga spinory .

4-wektory i wyniki niezmienne w ramce

Niezmienniczość i unifikacja wielkości fizycznych wynikają z czterech wektorów . Iloczyn wewnętrzny 4-wektora sam w sobie jest równy skalarowi (z definicji iloczynu wewnętrznego), a ponieważ 4-wektory są wielkościami fizycznymi, ich wielkości odpowiadają również wielkościom fizycznym.

Właściwość/efekt	3-wektor	4-wektor	Niezmienny wynik
Zdarzenia czasoprzestrzenne	3-pozycyjny: r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} \ równoważnik r ^ {2} \ równoważnik x_ {1} ^ {2} +x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,\!}$	4-pozycyjny: X = ( ct , x 1 , x 2 , x 3 )	${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {\ mathsf {X}}} \ cdot {\ pogrubiony symbol {\ mathsf {X}}} = \ lewo (c \ tau \ po prawej) ^ {2} \,\!}$ ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (ct\right)^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\\&=\left(ct \right)^{2}-r^{2}\\&=-\chi ^{2}=\left(c\tau \right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$ τ = właściwy czas χ = właściwa odległość
Niezmienność pędu i energii	${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {u} \, \!}$ 3-pęd: p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} \ równoważne p^{2}\równoważne p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\,\!}$	4-pęd: P = ( E/c , p 1 , p 2 , p 3 ) ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} = m {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {P}}} = \ lewo (mc \ prawej) ^ {2} \, \!}$ ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo ({\ Frac {E}{c}}\right)^{2}-\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)\\& =\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-p^{2}\\&=\left(mc\right)^{2}\end{wyrównane}}\, \!}$ co prowadzi do: ${\ Displaystyle E ^ {2} = \ lewo (pc \ prawo) ^ {2} + \ lewo (mc ^ {2} \ prawo )^{2}\,\!}$ E = energia całkowita m = niezmienna masa
Prędkość	3-prędkość: u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \ \!}$	0 4-prędkość: U = ( U , U 1 , U 2 , U 3 ) ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = {\ Frac {\ operatorname {d} {\ boldsymbol {\ mathsf {X}}}} \mathrm {d} \tau }}=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}$	${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = c ^ {2} \, \!}$
Przyśpieszenie	3-przyspieszenie: za = ( za 1 , za 2 , za 3 ) ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {u}} {\ operatorname {d} t}} \ \!}$	0 4-przyspieszenie: ZA = ( ZA , ZA 1 , ZA 2 , ZA 3 ) ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {A}}} = {\ Frac {\ operatorname {d} {\ boldsymbol {\mathsf {U}}}}{\mathrm {d} \ tau }} = \ gamma \ lewo (c {\ frac {\ operatorname {d} \ gamma }{\ operatorname {d} t}}, { \frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} +\gamma \mathbf {a} \right)}$	${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = 0 \, \!}$
Siła	3-siła: fa = ( fa 1 , fa 2 , fa 3 ) ${\ Displaystyle \ mathbf {f} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}} \ \!}$	0 4-siła: fa = ( fa , fa 1 , fa 2 , fa 3 ) ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {F}}} = {\ Frac {\ operatorname {d} { \boldsymbol {\mathsf {P}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma m\left(c{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}} , {\ frac {\ operatorname {d} \ gamma }{\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} + \ gamma \ mathbf {a} \right)}$	${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {F}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mathsf {U}}} = 0 \, \!}$

Przesunięcie Dopplera

Główny artykuł: relatywistyczny efekt Dopplera

Ogólne przesunięcie dopplerowskie:

${\ Displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu \ lewo (1- \ beta \ cos \ teta \ po prawej)}$

Przesunięcie Dopplera dla emitera i obserwatora zbliżających się do siebie (lub bezpośrednio od siebie):

${\ Displaystyle \ nu '= \ nu {\ Frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1 + \ beta}}}}$

Przesunięcie Dopplera dla emitera i obserwatora poruszających się w kierunku prostopadłym do łączącej ich linii:

${\ Displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu}$

Wyprowadzenie relatywistycznego przesunięcia Dopplera

Jeśli obiekt emituje wiązkę światła lub promieniowania, częstotliwość, długość fali i energia tego światła lub promieniowania będą wyglądać inaczej dla poruszającego się obserwatora niż dla obserwatora w spoczynku w odniesieniu do emitera. Jeśli założymy, że obserwator porusza się względem emitera wzdłuż osi x, to standardowa transformacja Lorentza czteropędu, która obejmuje energię, przyjmuje postać: ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} {\ frac { E'}{c}}\\p'_{x}\\p'_{y}\\p'_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\ p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}}$ ${c}} - \ gamma \ beta p_ {x}}$ Teraz jeśli ${\ Displaystyle p_ {x} = \ | p \ |\ sałata \ theta}$ gdzie θ jest kątem między p x i $:$ podstawiając wzory na stosunek częstotliwości do pędu i energii $Displaystyle {\ Frac {h \ nu '} {c}} = \ gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \beta \left\Vert p\right\|\cos \theta =\gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \ beta {\frac {h\nu }{c}}\cos \theta}$ ${\ Displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu - \ gamma \ beta \ nu \ cos \ teta = \ gamma \ nu \ lewo (1- \ beta \cos \theta \right)}$ Jest to wzór na relatywistyczne przesunięcie Dopplera, w którym różnica prędkości między emiterem a obserwatorem nie leży na osi x. Istnieją dwa szczególne przypadki tego równania. Pierwszy to przypadek, w którym prędkość między emiterem a obserwatorem jest wzdłuż osi x. W takim przypadku θ = 0, a cos θ = 1, co daje: ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nu '& = \ gamma \ nu \ lewo (1- \ beta \ po prawej) \\ & = \ nu {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ { 2}}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {1}{\sqrt {\left(1-\beta \right)\left(1+\beta \right) )}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta}}{\sqrt {1+\beta }}}\end{wyrównane}} }$ Jest to równanie przesunięcia Dopplera w przypadku, gdy prędkość między emiterem a obserwatorem jest wzdłuż osi x. Drugim szczególnym przypadkiem jest ten, w którym prędkość względna jest prostopadła do osi x, a zatem θ = π/2 i cos θ = 0, co daje: ${\ Displaystyle \ nu '= \ gamma \ nu}$ Jest to w rzeczywistości całkowicie analogiczne do dylatacji czasu, ponieważ częstotliwość jest odwrotnością czasu. Tak więc przesunięcie Dopplera dla emiterów i obserwatorów poruszających się prostopadle do łączącej je linii jest całkowicie spowodowane efektami dylatacji czasu.

Zobacz też

• Teoria względności
• Szczególna teoria względności
• Ogólna teoria względności
• Lista wzorów fizycznych
• Definiowanie równania (fizyka)
• Definiowanie równania (chemia fizyczna)
• Równanie konstytutywne
• Lista równań w mechanice klasycznej
• Tabela równań termodynamicznych
• Lista równań w teorii fal
• Lista równań w grawitacji
• Lista równań elektromagnetyzmu
• Lista równań fotoniki
• Lista równań w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych

Źródła

• Encyklopedia fizyki (wydanie 2) , RG Lerner , GL Trigg, wydawcy VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
•   Dynamika i teoria względności , JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
•   Relativity DeMystified , D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145545-0
•   The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
•   Wprowadzenie do mechaniki , D. Kleppner, RJ Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9