Lista równań w teorii fal

Ten artykuł podsumowuje równania w teorii fal .

Definicje

Ogólne wielkości podstawowe

Główne artykuły: fala poprzeczna i fala podłużna

Fala może być podłużna , gdzie oscylacje są równoległe (lub antyrównoległe) do kierunku propagacji, lub poprzeczna , gdzie oscylacje są prostopadłe do kierunku propagacji. Oscylacje te charakteryzują się okresowo zmieniającym się w czasie przemieszczeniem w kierunku równoległym lub prostopadłym, a zatem chwilowa prędkość i przyspieszenie są również okresowe i zmienne w czasie w tych kierunkach. (pozorny ruch fali spowodowany kolejnymi oscylacjami cząstek lub pól wokół ich pozycji równowagi) rozchodzi się z prędkościami fazowymi i grupowymi równoległymi lub antyrównoległymi do kierunku propagacji, co jest wspólne dla fal podłużnych i poprzecznych. Poniżej oscylacyjne przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie odnoszą się do kinematyki w oscylujących kierunkach fali - poprzecznej lub podłużnej (opis matematyczny jest identyczny), prędkości grupowe i fazowe są odrębne.

Ilość (nazwy zwyczajowe)	(Wspólne) symbole	Jednostki SI	Wymiar
Liczba cykli falowych	N	bezwymiarowy	bezwymiarowy
(Oscylacyjne) przemieszczenie	Symbol dowolnej wielkości zmieniającej się okresowo, np. h , x , y (fale mechaniczne), x , s , η (fale podłużne) I , V , E , B , H , D (elektromagnetyzm), u , U (fale świetlne ), ψ , Ψ , Φ (mechanika kwantowa). Większość ogólnych celów używa y , ψ , Ψ . Dla uogólnienia używa się tutaj litery A , którą można zastąpić dowolnym innym symbolem, ponieważ inne mają określone, powszechne zastosowania. $\ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równoległy} \, \!}$ dla fal podłużnych, ${\ Displaystyle \ mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}$ dla fal poprzecznych.	M	[L]
(Oscylacyjna) amplituda przemieszczenia	0 Dowolny symbol ilości zwykle opatrzony indeksem 0, m lub max albo wielką literą (jeśli przesunięcie było pisane małymi literami). Tutaj dla ogólności stosuje się A i można je zastąpić.	M	[L]
(Oscylacyjna) amplituda prędkości	0 V , v , v m . Tutaj używa się v . 0	ms -1	[L][T] −1
Amplituda przyspieszenia (oscylacyjnego).	0 A , a , m _ . Tutaj stosuje się a . 0	ms -2	[L][T] −2
Pozycja przestrzenna Pozycja punktu w przestrzeni, niekoniecznie punktu na profilu fali lub jakiejkolwiek linii propagacji	d , r	M	[L]
0 Przemieszczenie profilu fali Wzdłuż kierunku propagacji odległość przebyta (długość drogi) przez jedną falę od punktu źródłowego r do dowolnego punktu w przestrzeni d (dla fal podłużnych lub poprzecznych)	L , re , r ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ równoważnik r \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równoległy} \ równoważnik \ mathbf {d} - \ mathbf {r} _ { 0}\,\!}$	M	[L]
Kąt fazowy	δ, ε, φ	rad	bezwymiarowy

Ogólne wielkości pochodne

Ilość (nazwy zwyczajowe)	(Wspólne) symbole	Definiowanie równania	Jednostki SI	Wymiar
Długość fali	λ	Ogólna definicja (uwzględniająca FM ): ${\ Displaystyle \ lambda = \ operatorname {d} r / \ operatorname {d} N \, \!}$ W przypadku fal innych niż FM zmniejsza się to do: ${\ Displaystyle \ lambda = \ Delta r / \ Delta N \, \!}$	M	[L]
Liczba falowa, k -wektor, wektor falowy	k , σ	W użyciu są dwie definicje: ${\ Displaystyle \ mathbf {k} = \ lewo (2 \ pi / \ lambda \ po prawej) \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ kąt} \, \! }$${\ Displaystyle \ mathbf {k} = \ lewo (1/\ lambda \ prawo) \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ kąt} \, \!}$	m -1	[L] −1
Częstotliwość	f, v	Ogólna definicja (uwzględniająca FM ): ${\ Displaystyle f = \ operatorname {d} N / \ operatorname {d} t \, \!}$ W przypadku fal innych niż FM zmniejsza się to do: ${\ Displaystyle f = \ Delta N / \ Delta t \, \!}$ W praktyce N jest ustawione na 1 cykl i t = T = okres czasu dla 1 cyklu, aby uzyskać bardziej użyteczną zależność: ${\ displaystyle f = 1/T \, \!}$	Hz = s -1	[T] −1
Częstotliwość kątowa / pulsacja	ω	${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f = 2 \ pi / T \, \!}$	Hz = s -1	[T] −1
Prędkość oscylacyjna	v , v t , v	Fale podłużne: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równolegle} \ lewo (\ częściowe A / \ częściowe t \ prawo) \, \!}$ Fale poprzeczne: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ bot} \ lewo (\ częściowe A / \ częściowe t \ prawo )\,\!}$	ms -1	[L][T] −1
Przyspieszenie oscylacyjne	a , t _	Fale podłużne: ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równoległy} \ lewo (\ częściowe ^ {2} A / \ częściowe t^{2}\prawo)\,\!}$ Fale poprzeczne: ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ bot} \ lewo (\ częściowe ^ {2} A /\częściowo t^{2}\prawo)\,\!}$	ms -2	[L][T] −2
Różnica długości ścieżek między dwiema falami	L , Δ L , Δ x , Δ r	${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1} \, \!}$	M	[L]
Prędkość fazowa	v str	Ogólna definicja: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ operatorname {p}} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równolegle} \ lewo (\ delta r /\Delta t\prawo)\,\!}$ W praktyce sprowadza się do użytecznej postaci: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ operatorname {p}} = \ lambda f \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\parallel}=\left(\omega /k\right)\mathbf {\kapelusz {e}} _{\parallel}\,\!}$	ms -1	[L][T] −1
(Wzdłużna) prędkość grupowa	v g	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ operatorname {g}} = \ mathbf {\ kapelusz {e}} _ {\ równoległy} \ lewo (\ częściowe \ omega /\częściowe k\po prawej)\,\!}$	ms -1	[L][T] −1
Opóźnienie czasowe, opóźnienie czasowe/wyprzedzenie	Δ t	${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1} \, \!}$	S	[T]
Różnica w fazach	δ , Δ ε , Δ ϕ	${\ Displaystyle \ Delta \ phi = \ phi _ {2} - \ phi _ {1} \, \!}$	rad	bezwymiarowy
Faza	Brak standardowego symbolu	${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} \ mp \ omega t + \ phi = 2 \ pi N \, \!}$ Fizycznie; górny znak: propagacja fali w kierunku + r dolny znak: propagacja fali w kierunku − r Kąt fazowy może być opóźniony, jeśli: ϕ > 0 lub prowadzić, jeśli: ϕ < 0.	rad	bezwymiarowy

Relacja między analogami przestrzeni, czasu, kąta używanymi do opisu fazy:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta R} {\ lambda}} = {\ Frac {\ Delta t} {T}} = {\ Frac {\ phi} {2 \Liczba Pi }}\,\!}$

Wskaźniki modulacji

Ilość (nazwy zwyczajowe)	(Wspólne) symbole	Definiowanie równania	Jednostki SI	Wymiar
Indeks AM :	godz. , godz. AM	${\ Displaystyle h_ {AM} = A / A_ {m} \, \!}$ A = amplituda nośnej A m = szczytowa amplituda składowej sygnału modulującego	bezwymiarowy	bezwymiarowy
Indeks FM :	h FM	${\ Displaystyle h_ {FM} = \ Delta f / f_ {m} \, \!}$ Δ f = maks. odchylenie częstotliwości chwilowej od częstotliwości nośnej f m = częstotliwość szczytowa składowej sygnału modulującego	bezwymiarowy	bezwymiarowy
Indeks PM :	godzina popołudniowa	${\ Displaystyle h_ {PM} = \ Delta \ phi \, \!}$ Δ ϕ = szczytowe odchylenie fazy	bezwymiarowy	bezwymiarowy

Akustyka

Ilość (nazwy zwyczajowe)	(Wspólne) symbole	Definiowanie równania	Jednostki SI	Wymiar
Impedancja akustyczna	Z	${\ Displaystyle Z = \ rho v \ \!}$ v = prędkość dźwięku, ρ = gęstość objętościowa ośrodka	kg m -2 s- 1	[M] [L] −2 [T] −1
Specyficzna impedancja akustyczna	z	${\ Displaystyle z = ZS \, \!}$ S = pole powierzchni	kg·s -1	[M] [T] −1
Poziom głośności	β	${\ Displaystyle \ beta = \ lewo (\ operatorname {dB} \ prawej) 10 \ log \ lewo | {\ Frac {I} {I_ {0}}} \ prawo | \, \!}$	bezwymiarowy	bezwymiarowy

równania

Poniżej n, m są dowolnymi liczbami całkowitymi ( Z = zbiór liczb całkowitych ); ${\ displaystyle n, m \ in \ mathbf {Z} \, \!$ }

Stojące fale

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	równania
Częstotliwości harmoniczne	f n = n-ta forma drgań, n-ta harmoniczna, (n-1)-ty alikwot	${\ Displaystyle f_ {n} = {\ Frac {v} {\ lambda _ {n}}} = {\ Frac {nv} {2L}} = nf_{1}\,\!}$

Rozchodzące się fale

Fale dźwiękowe

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	równania
Średnia moc fali	0 P = moc akustyczna ze względu na źródło	${\ Displaystyle \ langle P \ rangle = \ mu v \ omega ^ {2} x_ {m} ^ {2}/2 \, \!}$
Natężenie dźwięku	Ω = kąt bryłowy	${\ Displaystyle I = P_ {0} / (\ Omega r ^ {2}) \, \!}$ ${\ Displaystyle I = P / A = \ rho v \ omega ^ {2} s_ {m} ^ {2} / 2 \, \!}$
Częstotliwość uderzeń akustycznych	f 1 , f 2 = częstotliwości dwóch fal (prawie równe amplitudy)	${\ Displaystyle f _ {\ operatorname {uderzenie}} = \ lewo | f_ {2} -f_ {1} \ prawo | \, \!}$
Efekt Dopplera dla fal mechanicznych	V = prędkość fali dźwiękowej w ośrodku f 0 = Częstotliwość źródła f r = Częstotliwość odbiornika v 0 = prędkość źródła v r = Prędkość odbiornika	${\ Displaystyle f_ {r} = f_ {0} {\ Frac {V \ pm v_ {r}} {V \ mp v_ {0}}} \, \!}$ górne znaki wskazują na względne podejście, dolne znaki wskazują na względną recesję.
Kąt stożka Macha (naddźwiękowa fala uderzeniowa, boom dźwiękowy)	v = prędkość ciała v s = lokalna prędkość dźwięku θ = kąt między kierunkiem przemieszczania się a obwiednią stożkową nałożonych na siebie frontów falowych	${\ Displaystyle \ sin \ teta = {\ Frac {v} {v_ {s}}} \ \!}$
Amplitudy ciśnienia akustycznego i przemieszczeń	0 p = amplituda ciśnienia 0 s = amplituda przemieszczenia v = prędkość dźwięku ρ = lokalna gęstość ośrodka	${\ Displaystyle p_ {0} = \ lewo (v \ rho \ omega \ prawo) s_ {0} \, \!}$
Funkcje falowe dla dźwięku		Akustyczne bity ${\ Displaystyle s = \ lewo [2s_ {0} \ sałata \ lewo (\ omega 't \ prawo) \ prawo] \ bo \ lewo (\omega t\po prawej)\,\!}$ Funkcja przemieszczenia dźwięku ${\ Displaystyle s = s_ {0} \ cos (kr- \ omega t) \, \!}$ $\ Displaystyle p = p_ {0} \ sin (kr- \ omega t) \, \!$ grzech ⁡

Fale grawitacyjne

Główny artykuł: Fala grawitacyjna § Źródła fal grawitacyjnych

Promieniowanie grawitacyjne dla dwóch orbitujących ciał na granicy niskiej prędkości.

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	równania
Promieniowana moc	P = moc promieniowana z systemu, t = czas, r = separacja między środkami masy m 1 , m 2 = masy orbitujących ciał	$\ Displaystyle P = {\ Frac {\ operatorname {d} E} {\ operatorname {d} d} t}}=-{\frac {32}{5}}\,{\frac {G^{4}}{c^{5}}}\,{\frac {(m_{1}m_{ 2})^{2}(m_{1}+m_{2})}{r^{5}}}}$
Zanik promienia orbity		${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} t}} =-{\frac {64}{5}}{\frac {G^{3}}{c^{5}}}{\frac {(m_{1}m_{2})(m_{1}+ m_{2})}{r^{3}}}\ }$
Żywotność orbity	0 r = początkowa odległość między orbitującymi ciałami	${\ Displaystyle t = {\ Frac {5} {256}} {\ Frac {c ^ {5}} {G ^{3}}}{\frac {r_{0}^{4}}{(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}}\ }$

Superpozycja, interferencja i dyfrakcja

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	równania
Zasada superpozycji	N = liczba fal	${\ Displaystyle y _ {\ operatorname {netto}} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} \, \!}$
Rezonans	ω d = napędzająca częstotliwość kątowa (czynnik zewnętrzny) ω nat = naturalna częstotliwość kątowa (oscylator)	${\ Displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {\ operatorname {nat}} \ \!}$
Faza i interferencja	Δ r = różnica długości ścieżek φ = różnica faz między dowolnymi dwoma kolejnymi cyklami fal	${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta R} {\ lambda}} = {\ Frac {\ Delta t} {T}} = {\ Frac {\ phi} {2 \Liczba Pi }}\,\!}$ Konstruktywna ingerencja ${\ Displaystyle n = {\ Frac {\ lambda} {\ Delta x}} \, \!}$ Niszcząca ingerencja ${\ Displaystyle n + {\ Frac {1} {2}} = {\ Frac {\ lambda} {\ Delta x}} \, \!}$

Propagacja fali

Powszechne nieporozumienie występuje między prędkością fazową a prędkością grupową (analogicznie do środków masy i grawitacji). Zdarza się, że są równe w mediach niedyspersyjnych. W ośrodkach dyspersyjnych prędkość fazowa niekoniecznie jest taka sama jak prędkość grupowa. Prędkość fazowa zmienia się wraz z częstotliwością.

fazowa to szybkość , z jaką faza fali rozchodzi się w przestrzeni.

Prędkość grupowa to szybkość, z jaką rozchodzi się obwiednia fali, tj. zmiany amplitudy. Obwiednia fali to profil amplitud fali; wszystkie przemieszczenia poprzeczne są ograniczone przez profil obwiedni.

Intuicyjnie obwiednia fali jest „globalnym profilem” fali, który „zawiera” zmieniające się „profile lokalne wewnątrz profilu globalnego”. Każdy z nich rozchodzi się z zasadniczo różnymi prędkościami określonymi przez ważną funkcję zwaną relacją dyspersji . Użycie jawnej postaci ω ( k ) jest standardem, ponieważ prędkość fazowa ω / k i prędkość grupowa d ω / d k mają zwykle dogodną reprezentację za pomocą tej funkcji.

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	równania
Wyidealizowane media niedyspersyjne	p = (dowolny rodzaj) Naprężenia lub Presji, ρ = Objętościowa gęstość masowa, F = siła rozciągająca, μ = liniowa gęstość masy ośrodka	${\ Displaystyle v = {\ sqrt {\ Frac {p} {\ rho}}} = {\ sqrt {\ Frac {F} {\ mu}}} \, \!}$
Relacja dyspersji		Forma niejawna ${\ Displaystyle D \ lewo (\ omega, k \ prawo) = 0}$ ${\ Displaystyle \ omega = \ omega \ lewo (k \ prawo)$ }
Modulacja amplitudy , AM		${\ Displaystyle A = A \ lewo (t \ prawo)}$
Modulacja częstotliwości , FM		${\ Displaystyle f = f \ lewo (t \ prawo)}$

Ogólne funkcje falowe

Równania falowe

Sytuacja fizyczna	Nomenklatura	Równanie falowe	Ogólne rozwiązanie/a
Niedyspersyjne równanie fali w 3d	A = amplituda jako funkcja położenia i czasu	${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} A = {\ Frac {1} {v_ {\ równoległy} ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2}A}{\częściowe t^{2}}}\,\!}$	${\ Displaystyle A \ lewo (\ mathbf {r}, t \ prawej) = A \ lewo (xv _ {\ równolegle} t \ prawej) \, \!}$
Przebieg tłumiony wykładniczo	0 A = Początkowa amplituda w czasie t = 0 b = parametr tłumienia		${\ Displaystyle A = A_ {0} e ^ {- bt} \ sin \ lewo (kx - \ omega t + \ phi \ po prawej) \, \!}$
Równanie Kortewega – de Vriesa	α = stała	${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy y} {\ częściowy t}} + \ alfa y {\ Frac {\ częściowy y} {\ częściowe x}}+{\frac {\częściowe ^{3}y}{\częściowe x^{3}}}=0\,\!}$	$\ Displaystyle A (x, t) = {\ Frac {3v _ {\ równoległy}}} {\ alpha }}\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v_{\parallel}}}{2}}\left(x-v_{\parallel}t\right)\right] \,\!}$

Rozwiązania sinusoidalne równania fali 3D

N różnych fal sinusoidalnych

Złożona amplituda fali n ${\ Displaystyle A_ {n} = \ lewo | A_ {n} \ prawo | e ^ {i \ lewo (\ mathbf {k} _ {\ operatorname {k} n} }\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t+\phi _{n}\right)}\,\!}$

Wypadkowa złożona amplituda wszystkich N fal ${\ Displaystyle A = \ suma _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} \, \!}$

Moduł amplitudy ${\ Displaystyle A = {\ sqrt {AA ^ {*}}} = {\ sqrt {\ suma _ {n = 1} ^ {N} \ suma _ {m = 1} ^ {N} \ lewo |A_{n}\right|\left|A_{m}\right|\cos \left[\left(\mathbf {k} _{n}-\mathbf {k} _{m}\right)\cdot \mathbf {r} +\left(\omega _{n}-\omega _{m}\right)t+\left(\phi _{n}-\phi _{m}\right)\right]}} \,\!}$

Przemieszczenia poprzeczne są po prostu rzeczywistymi częściami złożonych amplitud.

Jednowymiarowe następstwa dla dwóch fal sinusoidalnych

Można wywnioskować, co następuje, stosując zasadę superpozycji do dwóch fal sinusoidalnych, używając tożsamości trygonometrycznych. Przydatne są wzory trygonometryczne dodawania kątów i sumy do iloczynu ; w bardziej zaawansowanych pracach stosuje się liczby zespolone i szeregi Fouriera oraz przekształcenia.

Funkcja falowa	Nomenklatura	Nałożenie	Wynikowy
Stojąca fala		${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {1} + y_ {2} & = A \ sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t\right)\end{wyrównane}}\,\!}$	${\ Displaystyle y = 2A \ sin \ lewo (kx \ prawo) \ cos \ lewo (\ omega t \ prawo) \, \!$
Bije	${\ Displaystyle \ langle \ omega \ rangle = {\ Frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} \, \!}$ ${\ Displaystyle \ langle k \ rangle = {\ Frac {k_ {1} + k_ {2}} {2}} \, \!}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ omega = \ omega _ {1} - \ omega _ {2} \, \!}$ ${\ Displaystyle \ Delta k = k_ {1} -k_ {2} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {1} + y_ {2} i =A\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)\\&+A\sin \left(k_{2}x+\omega _{2}t\right)\end {wyrównany}}\,\!}$	${\ Displaystyle y = 2A \ sin \ lewo (\ langle k \ rangle x - \ langle \omega \rangle t\right)\cos \left({\frac {\Delta k}{2}}x-{\frac {\Delta \omega}{2}}t\right)\,\!}$
Koherentna interferencja		${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {1} + y_ {2} i = 2A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t+\phi \right)\end{wyrównane}}\,\!}$	${\ Displaystyle y = 2A \ cos \ lewo ({\ Frac {\ fi} {2}} \ prawej) \ grzech \ lewo(kx-\omega t+{\frac {\fi}}{2}}\prawo)\,\!}$

Zobacz też

• Definiowanie równania (chemia fizyczna)
• Lista równań w mechanice klasycznej
• Lista równań w mechanice płynów
• Lista równań w grawitacji
• Lista równań w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych
• Lista równań w mechanice kwantowej
• Lista równań fotoniki
• Lista równań relatywistycznych
• Jednostki elektromagnetyzmu SI
• Równanie falowe
• Jednokierunkowe równanie falowe

Źródła

•   premiera Whelana; MJ Hodgeson (1978). Podstawowe zasady fizyki (wyd. 2). Johna Murraya. ISBN 0-7195-3382-1 .
•   G. Woan (2010). Cambridge Handbook of Physics Formuły . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2 .
•   A. Halperna (1988). 3000 rozwiązanych problemów z fizyki, seria Schauma . Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   RG Lerner; GL Trigg (2005). Encyklopedia fizyki (wyd. 2). Wydawcy VHC, Hans Warlimont, Springer. s. 12–13. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   CB Parkera (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (wyd. 2). Wzgórze McGrawa. ISBN 0-07-051400-3 .
•   PA Tipler; G. Mosca (2008). Fizyka dla naukowców i inżynierów: z nowoczesną fizyką (wyd. 6). WH Freeman and Co. ISBN 978-1-4292-0265-7 .
•   LN Ręka; JD Finch (2008). Mechanika analityczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-57572-0 .
•   TB Arkill; CJ Millara (1974). Mechanika, wibracje i fale . Johna Murraya. ISBN 0-7195-2882-8 .
•   Ból HJ (1983). Fizyka wibracji i fal (wyd. 3). John Wiley & Synowie. ISBN 0-471-90182-2 .
•   JR Forshaw; AG Smith (2009). Dynamika i teoria względności . Wileya. ISBN 978-0-470-01460-8 .
•   GAG Bennet (1974). Elektryczność i współczesna fizyka (wyd. 2). Edwarda Arnolda (Wielka Brytania). ISBN 0-7131-2459-8 .
•   Grant IS; WR Phillips; Fizyka Manchesteru (2008). Elektromagnetyzm (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-92712-9 .
•   DJ Griffiths (2007). Wprowadzenie do elektrodynamiki (wyd. 3). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2 .

Dalsza lektura

•   LH Greenberg (1978). Fizyka z nowoczesnymi zastosowaniami . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0 .
•   JB Marion; WF Hornjak (1984). Zasady fizyki . Holt-Saunders International Saunders College. ISBN 4-8337-0195-2 .
•   A. Beisera (1987). Koncepcje fizyki współczesnej (wyd. 4). McGraw-Hill (międzynarodowy). ISBN 0-07-100144-1 .
•   HD Młody; RA Freedman (2008). Fizyka uniwersytecka - z fizyką współczesną (wyd. 12). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1 .