Nieokreśloność kwantowa

Nieokreśloność kwantowa to pozorna konieczna niekompletność opisu układu fizycznego , która stała się jedną z cech charakterystycznych standardowego opisu fizyki kwantowej . Przed pojawieniem się fizyki kwantowej tak sądzono

1. układ fizyczny miał określony stan , który jednoznacznie określał wszystkie wartości jego mierzalnych właściwości, oraz
2. odwrotnie , wartości jego mierzalnych właściwości jednoznacznie determinowały stan.

Nieokreśloność kwantową można scharakteryzować ilościowo za pomocą rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze wyników pomiarów obserwowalnego . Rozkład jest jednoznacznie określony przez stan układu, a ponadto mechanika kwantowa dostarcza przepisu na obliczenie tego rozkładu prawdopodobieństwa.

Nieokreśloność pomiaru nie była innowacją mechaniki kwantowej, ponieważ eksperymentatorzy wcześnie ustalili, że błędy w pomiarach mogą prowadzić do nieokreślonych wyników. W drugiej połowie XVIII wieku błędy pomiarowe były dobrze poznane i wiedziano, że można je zmniejszyć za pomocą lepszego sprzętu lub wyjaśnić za pomocą statystycznych modeli błędów. Jednakże w mechanice kwantowej nieokreśloność ma znacznie bardziej fundamentalny charakter i nie ma nic wspólnego z błędami czy zakłóceniami.

Pomiar

Odpowiednie wyjaśnienie nieokreśloności kwantowej wymaga teorii pomiaru. Od początków mechaniki kwantowej zaproponowano wiele teorii, a pomiary kwantowe nadal stanowią aktywny obszar badań, zarówno w fizyce teoretycznej, jak i eksperymentalnej. Prawdopodobnie pierwszą systematyczną próbę stworzenia teorii matematycznej opracował John von Neumann . Rodzaje pomiarów, które badał, nazywane są obecnie pomiarami projekcyjnymi. Teoria ta opierała się z kolei na teorii miar projekcyjnych dla operatorów samosprzężonych który został niedawno opracowany (przez von Neumanna i niezależnie przez Marshalla Stone'a ) oraz przestrzenne sformułowanie mechaniki kwantowej Hilberta (przypisywane przez von Neumanna Paulowi Diracowi ).

W tym sformułowaniu stan układu fizycznego odpowiada wektorowi o długości 1 w przestrzeni Hilberta H nad liczbami zespolonymi . Obserwable jest reprezentowane przez samosprzężony (tj. hermitowski ) operator A na H. Jeśli H jest skończenie wymiarowy , zgodnie z twierdzeniem spektralnym , A ma bazę ortonormalną wektorów własnych . Jeżeli układ znajduje się w stanie ψ, to bezpośrednio po pomiarze układ zajmie stan będący wektorem własnym e A , a obserwowana wartość λ będzie odpowiadającą wartością własną równania A e = λ e . Wynika z tego bezpośrednio, że pomiar w ogóle będzie niedeterministyczny. Mechanika kwantowa podaje ponadto przepis na obliczenie rozkładu prawdopodobieństwa Pr dla możliwych wyników, przy założeniu, że początkowy stan układu wynosi ψ . Prawdopodobieństwo jest

$${\ Displaystyle \ operatorname {Pr} (\ lambda) = \ langle \ operatorname {E} (\ lambda) \ psi \ mid \ psi \ rangle}$$

gdzie E ( λ ) jest rzutem na przestrzeń wektorów własnych A o wartości własnej λ .

Przykład

Sfera Blocha przedstawiająca wektory własne macierzy Pauliego Spinu. Sfera Blocha jest dwuwymiarową powierzchnią, której punkty odpowiadają przestrzeni stanów cząstki o spinie 1/2. W stanie ψ wartości σ ₁ wynoszą +1, natomiast wartości σ ₂ i σ ₃ przyjmują wartości +1, -1 z prawdopodobieństwem 1/2.

W tym przykładzie rozważamy pojedynczą cząstkę o spinie 1/2 (taką jak elektron), w której uwzględniamy jedynie spinowy stopień swobody. Odpowiednia przestrzeń Hilberta jest dwuwymiarową zespoloną przestrzenią Hilberta C ² , w której każdy stan kwantowy odpowiada wektorowi jednostkowemu w C ² (unikalny aż do fazy). W tym przypadku przestrzeń stanów można przedstawić geometrycznie jako powierzchnię kuli, jak pokazano na rysunku po prawej stronie.

Macierze spinowe Pauliego

$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix} },\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&- 1\end{pmatrix}}}$$

są samosprzężone i odpowiadają pomiarom spinu wzdłuż 3 osi współrzędnych.

Wszystkie macierze Pauliego mają wartości własne +1, -1.

• Dla σ ₁ te wartości własne odpowiadają wektorom własnym
  $${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (1,1), {\ Frac {1} {\ sqrt {2 }}}(1,-1)}$$
• Dla σ ₃ odpowiadają one wektorom własnym
  $${\ Displaystyle (1,0), (0,1)}$$

Zatem w państwie

$${\ Displaystyle \ psi = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (1,1),}$$

σ ₁ ma określoną wartość +1, podczas gdy pomiar σ ₃ może dać +1, -1 każdy z prawdopodobieństwem 1/2. W rzeczywistości nie ma stanu, w którym pomiary zarówno σ ₁ , jak i σ ₃ miałyby określone wartości.

W związku z powyższym twierdzeniem o nieokreśloności można zadać różne pytania.

1. Czy pozorną nieokreśloność można interpretować jako deterministyczną, ale zależną od wielkości nie modelowanych w obecnej teorii, a zatem byłaby niekompletna? Dokładniej, czy istnieją ukryte zmienne , które mogłyby wyjaśnić statystyczną nieokreśloność w całkowicie klasyczny sposób?
2. Czy nieokreśloność można rozumieć jako zaburzenie mierzonego układu?

Von Neumann sformułował pytanie 1) i przedstawił argument, dlaczego odpowiedź musi brzmieć „nie”, jeśli przyjąć proponowany przez niego formalizm. Jednak według Bella formalny dowód von Neumanna nie uzasadniał jego nieformalnego wniosku. Ostateczna, ale częściowa negatywna odpowiedź na pytanie 1) została ustalona eksperymentalnie: ponieważ nierówności Bella są naruszone, żadna z takich ukrytych zmiennych nie może być lokalna (patrz eksperymenty testowe Bella ).

Odpowiedź na pytanie 2) zależy od tego, jak rozumieć zaburzenie, zwłaszcza że pomiar pociąga za sobą zaburzenie (jednak należy pamiętać, że jest to efekt obserwatora , który różni się od zasady nieoznaczoności). Jednak w najbardziej naturalnej interpretacji odpowiedź również brzmi: nie. Aby to zobaczyć, rozważmy dwie sekwencje pomiarów: (A) która mierzy wyłącznie σ ₁ i (B) mierzy tylko σ ₃ układu spinowego w stanie ψ . Wszystkie wyniki pomiarów (A) wynoszą +1, podczas gdy rozkład statystyczny pomiarów (B) jest nadal podzielony pomiędzy +1, -1 z równym prawdopodobieństwem.

Inne przykłady nieoznaczoności

Nieokreśloność kwantową można również zilustrować w kategoriach cząstki o dokładnie zmierzonym pędzie, dla której musi istnieć fundamentalna granica dokładności określenia jej położenia. Tę zasadę nieoznaczoności kwantowej można wyrazić w kategoriach innych zmiennych, na przykład cząstka o dokładnie zmierzonej energii ma fundamentalną granicę dokładności, z jaką można określić, jak długo będzie miała tę energię. Jednostki niepewności kwantowej są rzędu stałej Plancka (zdefiniowanej jako 6,626 070 15 × 10 ^-34 J⋅Hz ⁻¹ ).

Nieokreśloność i niekompletność

Nieokreśloność kwantowa to twierdzenie, że stan układu nie determinuje unikalnego zbioru wartości dla wszystkich jego mierzalnych właściwości. Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Kochana-Speckera , w formalizmie mechaniki kwantowej nie jest możliwe, aby dla danego stanu kwantowego każda z tych mierzalnych właściwości ( obserwowalnych ) miała określoną (ostrą) wartość. Wartości obserwowalnych zostaną otrzymane w sposób niedeterministyczny, zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa, który jest jednoznacznie określony przez stan systemu. Należy pamiętać, że stan jest niszczony przez pomiar, więc gdy odwołujemy się do zbioru wartości, każdą zmierzoną wartość w tym zbiorze należy uzyskać przy użyciu świeżo przygotowanego stanu.

Tę nieokreśloność można uznać za rodzaj istotnej niekompletności w naszym opisie układu fizycznego. Należy jednak zauważyć, że nieokreśloność opisana powyżej dotyczy tylko wartości pomiarów, a nie stanu kwantowego. Na przykład, w omówionym powyżej przykładzie spinu 1/2, układ można przygotować w stanie ψ, wykorzystując pomiar σ ₁ jako filtr , który zatrzymuje tylko te cząstki w taki sposób, że σ ₁ daje +1. Zgodnie z (tzw.) postulatami von Neumanna bezpośrednio po pomiarze układ z pewnością znajduje się w stanie ψ.

Einstein uważał jednak, że stan kwantowy nie może być pełnym opisem układu fizycznego i – jak się powszechnie uważa – nigdy nie pogodził się z mechaniką kwantową. W rzeczywistości Einstein, Boris Podolsky i Nathan Rosen pokazali, że jeśli mechanika kwantowa jest poprawna, to klasyczny pogląd na to, jak działa świat rzeczywisty (przynajmniej po szczególnej teorii względności) nie jest już do utrzymania. Pogląd ten obejmował następujące dwie idee:

1. Mierzalna właściwość układu fizycznego, której wartość można z całą pewnością przewidzieć, jest w istocie elementem (lokalnej) rzeczywistości (takiej terminologii używał EPR ).
2. Efekty działań lokalnych mają skończoną prędkość propagacji.

To niepowodzenie klasycznego poglądu było jednym z wniosków eksperymentu myślowego EPR , w którym dwóch oddalonych od siebie obserwatorów , obecnie powszechnie nazywanych Alicją i Bobem , przeprowadza niezależne pomiary spinu pary elektronów, przygotowanej u źródła w specjalnym stan zwany stanem singletu spinowego . Wniosek EPR, wykorzystujący aparat formalny teorii kwantowej, był taki, że gdy Alicja zmierzyła spin w kierunku x , pomiar Boba w kierunku x kierunek został określony z całą pewnością, podczas gdy bezpośrednio przed pomiarem Alicji wynik Boba został określony jedynie statystycznie. Z tego wynika, że ​​albo wartość spinu w x nie jest elementem rzeczywistości, albo że efekt pomiaru Alicji ma nieskończoną prędkość propagacji.

Nieoznaczoność dla stanów mieszanych

Opisaliśmy nieokreśloność dla układu kwantowego będącego w stanie czystym . Stany mieszane są bardziej ogólnym rodzajem stanu uzyskiwanym przez statystyczną mieszaninę czystych stanów. W przypadku stanów mieszanych „przepis kwantowy” na określenie rozkładu prawdopodobieństwa pomiaru wyznacza się w następujący sposób:

Niech A będzie obserwowalnością układu mechaniki kwantowej. A jest dane przez gęsto zdefiniowany operator samosprzężony na H . Miara widmowa A jest miarą o wartości projekcyjnej zdefiniowaną przez warunek

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} _ {A} (U) = \ int _ {U} \ lambda \, d \ nazwa operatora {E} ( \lambda ),}$

dla każdego podzbioru borelowskiego U R . Mając stan mieszany S , wprowadzamy rozkład A w S w następujący sposób :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {D} _ {A} (U) = \ nazwa operatora {Tr} (\ nazwa operatora {E} _ {A} (U) S).}$

Jest to miara prawdopodobieństwa zdefiniowana na podzbiorach borelowskich R , która jest rozkładem prawdopodobieństwa uzyskanym przez pomiar A w S .

Niezależność logiczna i losowość kwantowa

Nieokreśloność kwantowa jest często rozumiana jako informacja (lub jej brak), o której istnieniu wnioskujemy, występująca w poszczególnych układach kwantowych przed pomiarem. Losowość kwantowa jest statystycznym przejawem tej nieokreśloności, potwierdzonej wynikami wielokrotnie powtarzanych eksperymentów. Jednakże związek między nieokreślonością kwantową a losowością jest subtelny i można go rozpatrywać w różny sposób.

W fizyce klasycznej eksperymenty losowe, takie jak rzucanie monetą i kostką, są deterministyczne w tym sensie, że doskonała znajomość warunków początkowych sprawi, że wyniki będą doskonale przewidywalne. „Losowość” wynika z nieznajomości informacji fizycznych podczas pierwszego rzutu lub rzutu. Dla kontrastu, w przypadku fizyki kwantowej twierdzenia Kochana i Speckera, nierówności Johna Bella i dowody eksperymentalne Alaina Aspecta wskazują, że losowość kwantowa nie wynika z żadnej takiej informacji fizycznej .

W 2008 roku Tomasz Paterek i in. przedstawił wyjaśnienie w formie informacji matematycznych . Udowodnili, że losowość kwantowa jest wyłącznie wynikiem eksperymentów pomiarowych, których ustawienia wejściowe wprowadzają logiczną niezależność do układów kwantowych.

Niezależność logiczna jest dobrze znanym zjawiskiem w logice matematycznej . Odnosi się do zerowej łączności logicznej, która istnieje pomiędzy twierdzeniami matematycznymi (w tym samym języku), które ani się nie potwierdzają, ani nie obalają.

W pracy Paterka i in. badacze wykazali związek łączący losowość kwantową i niezależność logiczną w formalnym systemie zdań boolowskich. W eksperymentach mierzących polaryzację fotonów Paterek i in. wykazać statystyki korelujące przewidywalne wyniki z logicznie zależnymi propozycjami matematycznymi i losowymi wynikami z propozycjami, które są logicznie niezależne.

W 2020 r. Steve Faulkner poinformował o pracach prowadzonych w związku z ustaleniami Tomasza Paterka i in.; pokazanie, co oznacza niezależność logiczna w twierdzeniach boolowskich Paterka, w dziedzinie właściwej mechaniki macierzy. Pokazał, jak nieokreśloność powstaje w rozwiniętych operatorach gęstości reprezentujących stany mieszane, gdzie procesy pomiarowe napotykają nieodwracalną „utraconą historię” i wnikanie niejednoznaczności.

Zobacz też

• Zasada nieoznaczoności
• Mechanika kwantowa
• Splątanie kwantowe
• Komplementarność (fizyka)
• Interpretacje mechaniki kwantowej : tabela porównawcza
• Pomiar kwantowy
• Kontekstowość kwantowa
• Kontrfaktyczna określoność
• Paradoks EPR

Notatki

• A. Aspect, Test nierówności Bella: bardziej idealny niż kiedykolwiek , Nature 398 189 (1999). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta , American Journal of Physics, 1947. Przedruk w: Readings in the Philosophy of Science, wyd. H. Feigl i M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Omawia pomiar, dokładność i determinizm.
• JS Bell, O paradoksie Einsteina – Poldolsky’ego – Rosena , Physics 1 195 (1964).
• A. Einstein, B. Podolsky i N. Rosen, Czy kwantowo-mechaniczny opis rzeczywistości fizycznej można uznać za kompletny? Fiz. Obj. 47 777 (1935). [3] Zarchiwizowane 2006-02-08 w Wayback Machine
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , WA Benjamin, 1963 (przedruk w miękkiej oprawie, Dover 2004).
• J. von Neumann, Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , Princeton University Press, 1955. Przedruk w miękkiej oprawie. Pierwotnie opublikowana w języku niemieckim w 1932 roku.
• R. Omnès, Zrozumieć mechanikę kwantową , Princeton University Press, 1999.

Linki zewnętrzne

• Powszechne błędne przekonania dotyczące mechaniki kwantowej Patrz zwłaszcza część III „Nieporozumienia dotyczące pomiarów”.