Urodził się w Lublanie w Słowenii (wówczas część Królestwa Jugosławii ) w biednej rodzinie robotniczej. Oboje jego rodzice zmarli w pierwszym roku jego życia. Dzieciństwo spędził ze starszą siostrą w małym miasteczku Velike Lašče . Uczęszczał do gimnazjum w Cerknicy . Zapisał się na uniwersytet w Lublanie , gdzie studiował historię literatury, którą ukończył w 1969 roku pod kierunkiem słynnego historyka literatury i filozofa Dušana Pirjeveca .
Zaczął publikować wiersze już w latach 50., zwłaszcza w czasopiśmie literackim Sodobnost . W 1982 był jednym z założycieli alternatywnego pisma opozycyjnego Nova revija . W latach 90. i na początku XXI wieku pełnił funkcję redaktora naczelnego.
Grafenauer zaczynał od literatury dziecięcej, z których najsłynniejszą był zbiór Pedenjped , opowiadający o niegrzecznym, upartym, niezdarnym, ale niezależnym i kreatywnym chłopcu. Pod wpływem filozofii, zwłaszcza heideggeryzmu i hermeneutyki , Grafenauer zwrócił się później ku poezji refleksyjnej. Jednak jego duży zbiór literatury dziecięcej jest nadal uważany za jeden z najlepszych w literaturze słoweńskiej po II wojnie światowej .