Ortogonalność (matematyka)

W przypadku innych zastosowań zobacz Ortogonalność .

W matematyce ortogonalność jest uogólnieniem geometrycznego pojęcia prostopadłości na algebrę liniową form dwuliniowych .

Dwa elementy u i v przestrzeni wektorowej o postaci dwuliniowej B są ortogonalne, gdy B ( u , v ) = 0 . W zależności od postaci dwuliniowej przestrzeń wektorowa może zawierać niezerowe wektory samoortogonalne. W przypadku przestrzeni funkcyjnych podstawą są rodziny funkcji ortogonalnych .

Pojęcie to było używane w kontekście funkcji ortogonalnych , wielomianów ortogonalnych i kombinatoryki .

Porównanie ortogonalności i rotacji układów współrzędnych między lewą: przestrzeń euklidesową przez kąt kołowy ϕ , prawą: w czasoprzestrzeni Minkowskiego przez kąt hiperboliczny ϕ (czerwone linie oznaczone c oznaczają linie świata sygnału świetlnego, wektor jest prostopadły do ​​siebie, jeśli leży na tym linia).

Definicje

• W geometrii dwa wektory euklidesowe są ortogonalne, jeśli są prostopadłe , tj . tworzą kąt prosty .
• Dwa wektory , x i y $wewnętrzny$ w wewnętrznej przestrzeni iloczynowej , są ortogonalne, jeśli ich . Ten związek jest oznaczony ${\ displaystyle x \ perp y}$ .
• Macierz ortogonalna to macierz, której wektory kolumnowe są względem siebie ortonormalne .
• Dwie podprzestrzenie wektorowe A i B wewnętrznej przestrzeni iloczynu V nazywane są podprzestrzeniami ortogonalnymi , jeśli każdy wektor w A jest prostopadły do ​​każdego wektora w B. Największa podprzestrzeń V , która jest ortogonalna do danej podprzestrzeni, jest jej dopełnieniem ortogonalnym .
• Mając dany moduł M i jego podwójne M ^∗ , element m ′ z M ^∗ i element m z M są ortogonalne , jeśli ich naturalne parowanie wynosi zero, tj . ⟨ m ′, m ⟩ = 0 . Dwa zbiory S ′ ⊆ M ^∗ i S ⊆ M są ortogonalne, jeśli każdy element zbioru S ′ jest prostopadły do ​​każdego elementu zbioru S .
• systemie przepisywania terminów mówi się, że jest ortogonalny , jeśli jest lewostronnie liniowy i nie jest niejednoznaczny. Ortogonalne systemy przepisywania terminów są konfluentne .

Zbiór wektorów w przestrzeni iloczynu wewnętrznego nazywamy ortogonalnym parami , jeśli każda ich para jest ortogonalna. Taki zbiór nazywamy zbiorem ortogonalnym .

W niektórych przypadkach słowo normalna jest używane w znaczeniu ortogonalnym , szczególnie w sensie geometrycznym, jak normalna do powierzchni . Na przykład y jest normalna do krzywej y = x ² w początku układu współrzędnych. Jednak normalny może również odnosić się do wielkości wektora. W szczególności zbiór nazywany jest ortonormalnym (ortogonalny plus normalny), jeśli jest ortogonalnym zbiorem wektorów jednostkowych . W rezultacie użycie terminu normalny często unika się znaczenia „ortogonalny”. Słowo „normalny” ma również inne znaczenie w prawdopodobieństwie i statystyce .

Przestrzeń wektorowa o postaci dwuliniowej uogólnia przypadek iloczynu wewnętrznego. Kiedy postać dwuliniowa zastosowana do dwóch wektorów daje zero, to są one ortogonalne . W przypadku płaszczyzny pseudoeuklidesowej używa się terminu ortogonalność hiperboliczna . Na diagramie osie x′ i t′ są hiperboliczno-ortogonalne dla dowolnego ϕ .

Euklidesowe przestrzenie wektorowe

W przestrzeni euklidesowej dwa wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy , gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, tj. tworzą kąt 90° (π/2 radianów ) lub jeden z wektorów jest równy zero. Stąd ortogonalność wektorów jest rozszerzeniem pojęcia prostopadłych na przestrzenie o dowolnym wymiarze.

Dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni jest przestrzeń wszystkich wektorów, które są ortogonalne do każdego wektora w podprzestrzeni. W trójwymiarowej euklidesowej przestrzeni wektorowej ortogonalne dopełnienie linii przechodzącej przez początek układu współrzędnych jest prostopadłą do niego płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych i odwrotnie.

Zauważ, że koncepcja geometryczna dwóch prostopadłych płaszczyzn nie odpowiada dopełnieniu ortogonalnemu, ponieważ w trzech wymiarach para wektorów, po jednym z każdej pary prostopadłych płaszczyzn, może spotkać się pod dowolnym kątem.

W czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej dopełnieniem ortogonalnym prostej jest hiperpłaszczyzna i odwrotnie, a płaszczyzną jest płaszczyzna.

Funkcje ortogonalne

Główny artykuł: Funkcje ortogonalne

Używając rachunku całkowego , do zdefiniowania iloczynu wewnętrznego dwóch funkcji f i g w odniesieniu do nieujemnej funkcji wagi w w przedziale [ a , b ] często używa się następującego wzoru :

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) w (x) \, dx.}$

W prostych przypadkach w ( x ) = 1 .

Mówimy, że funkcje f i g są ortogonalne , jeśli ich iloczyn wewnętrzny (równoważny wartości tej całki) wynosi zero:

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = 0.}$

Ortogonalność dwóch funkcji względem jednego iloczynu wewnętrznego nie implikuje ortogonalności względem innego iloczynu wewnętrznego.

Piszemy normę w odniesieniu do tego iloczynu wewnętrznego jako

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {w} = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {w}}}}$

Członkowie zbioru funkcji { f _ja : i = 1, 2, 3, ...} są ortogonalne względem w na przedziale [ a , b ] jeśli

${\ Displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = 0 \ quad i \ neq j.}$

Członkowie takiego zbioru funkcji są ortonormalni względem w na przedziale [ a , b ] jeśli

${\ Displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = \ delta _ {i, j},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ delta _ {i, j} = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 1, & & i = j \\ 0, & & i \ neq jot \end{macierz}}\prawo.}$

jest deltą Kroneckera . Innymi słowy, każda ich para (z wyłączeniem parowania funkcji ze sobą) jest ortogonalna, a normą każdej z nich jest 1. Zobacz w szczególności wielomiany ortogonalne .

Przykłady

• Wektory (1, 3, 2) ^T , (3, −1, 0) ^T , (1, 3, −5) ^T są do siebie ortogonalne, ponieważ (1)(3) + (3)(−1 ) + (2)(0) = 0, (3)(1) + (−1)(3) + (0)(−5) = 0 i (1)(1) + (3)(3) + (2)(-5) = 0.
• Wektory (1, 0, 1, 0, ...) ^T i (0, 1, 0, 1, ...) ^T są do siebie prostopadłe. Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi 0. Możemy następnie dokonać uogólnienia, aby rozważyć wektory w Z ₂ ⁿ :
  $${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = \ suma _ {i = 0 \ na szczycie ai + k <n} ^ {n/a }\mathbf {e} _{i}}$$
  dla pewnej dodatniej liczby całkowitej a i dla 1 ≤ k ≤ a - 1 te wektory są ortogonalne, na przykład ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 0 & 0 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$ , ${\ Displaystyle {\ początek {bmatrix} 0&1&0&0&1&0&0&1\koniec {bmatrix}}}$ , ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0&0&1&0&0&1&0&0\end {bmatrix}}} są ortogonalne$ .
• Funkcje 2 t + 3 i 45 t ² + 9 t - 17 są ortogonalne względem funkcji masy jednostkowej w przedziale od -1 do 1:
  $${\ Displaystyle \ int _ {-1} ^ {1} \ lewo (2 t + 3 \ prawo) \ lewo (45 t ^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$$
• Funkcje 1, sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... są ortogonalne względem całkowania Riemanna na przedziałach [0, 2π] , [−π, π] lub dowolnych inny przedział domknięty o długości 2π. Fakt ten jest centralnym elementem szeregu Fouriera .

Wielomiany ortogonalne

Różne ciągi wielomianów nazwane na cześć matematyków z przeszłości są ciągami wielomianów ortogonalnych . W szczególności:

• Wielomiany Hermite'a są ortogonalne względem rozkładu Gaussa z zerową wartością średnią.
• Wielomiany Legendre'a są ortogonalne w stosunku do rozkładu jednorodnego w przedziale [−1, 1] .
• Wielomiany Laguerre'a są ortogonalne względem rozkładu wykładniczego . Nieco bardziej ogólne ciągi wielomianów Laguerre'a są ortogonalne względem rozkładów gamma .
• Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są ortogonalne względem miary ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}$
• Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju są ortogonalne względem rozkładu półkola Wignera .

Kombinatoryka

W kombinatoryce o dwóch n × n kwadratach łacińskich mówi się, że są ortogonalne, jeśli ich nałożenie daje wszystkie możliwe n ² kombinacje wpisów.

Zobacz też

• Wyimaginowana liczba
• izogonalny
• Trajektoria izogonalna
• Dopełnienie ortogonalne
• Grupa ortogonalna
• Macierz ortogonalna
• Wielomiany ortogonalne
• Ortogonalizacja
  • Proces Grama-Schmidta
• Baza ortonormalna
• ortonormalność
• Transformacja ortogonalna
• Panortogonalność występuje w coquaternions