Równania Föppla – von Kármána , nazwane na cześć Augusta Föppla i Theodore'a von Kármána , to zestaw nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych opisujących duże ugięcia cienkich płaskich płyt. W zastosowaniach od projektowania kadłubów okrętów podwodnych po właściwości mechaniczne ściany komórkowej równania są niezwykle trudne do rozwiązania i przybierają następującą postać:
( 1 )
mi
godz
3
12 ( 1 -
ν
2
)
∇
4
w - godz
∂
∂
x
β
(
σ
α β
∂ w
∂
x
α
)
= P.
( 2 )
∂
σ
α β
∂
x
β
=
0
{\ Displaystyle {\ begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}wh{\frac {\częściowy}}{\ częściowe x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{\alpha }}}\right)=P\\(2)\qquad &{\frac {\częściowe \sigma _{\alpha \beta}}{\częściowe x_{\beta}}}=0\end{wyrównane}}}
gdzie E moduł Younga materiału płyty (zakłada się, że jest jednorodny i izotropowy), υ współczynnik Poissona , h w P σ αβ tensor naprężenia Cauchy'ego , a α , β wskaźniki , które przyjmują wartości 1 i 2 (dwa prostopadłe kierunki w płaszczyźnie). Dwuwymiarowy operator biharmoniczny jest zdefiniowany jako
∇
4
w :=
∂
2
∂
x
α
∂
x
α
[
∂
2
w
∂
x
β
∂
x
β
]
=
∂
4
w
∂
x
1
4
+
∂
4
w
∂
x
2
4
+ 2
∂
4
w
∂
x
1
2
∂
x
2
2
.
{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} w: = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x _ {\ alfa} \ częściowe x_ {\ alfa}}} \ lewo [{\ frac {\ częściowe ^ {2}w}{\częściowe x_{\beta}\częściowe x_{\beta}}}\right]={\frac {\częściowe ^{4}w}{\częściowe x_{1}^{4}} }+{\frac {\częściowy ^{4}w}{\częściowy x_{2}^{4}}}+2{\frac {\częściowy ^{4}w}{\częściowy x_{1}^{ 2}\częściowo x_{2}^{2}}}\,.}
Powyższe równanie (1) można wyprowadzić z założeń kinematycznych i relacji konstytutywnych dla płyty. Równania (2) to dwa równania zachowania pędu liniowego w dwóch wymiarach, w których zakłada się, że naprężenia poza płaszczyzną ( σ 33 , σ 13 , σ 23
Ważność równań Föppla – von Kármána
Chociaż równania Föppla – von Kármána są interesujące z czysto matematycznego punktu widzenia, fizyczna ważność tych równań jest wątpliwa. Ciarlet stwierdza: Dwuwymiarowe równania von Karmana dla płyt, pierwotnie zaproponowane przez von Karmana [1910], odgrywają mityczną rolę w matematyce stosowanej. Chociaż były one obficie i zadowalająco badane z matematycznego punktu widzenia, w szczególności w odniesieniu do różnych kwestii istnienia, regularności i bifurkacji ich rozwiązań, ich fizyczna solidność była często poważnie kwestionowana. Powody obejmują fakty, że
teoria opiera się na przybliżonej geometrii, która nie jest jasno zdefiniowana
dana zmiana naprężenia w przekroju jest przyjmowana arbitralnie
stosowana jest liniowa relacja konstytutywna, która nie odpowiada znanej relacji między dobrze zdefiniowanymi miarami naprężenia i odkształcenia
niektóre składowe odkształcenia są arbitralnie ignorowane
istnieje pomieszanie konfiguracji odniesienia i zdeformowanej, co sprawia, że teoria nie ma zastosowania do dużych deformacji, dla których najwyraźniej została opracowana.
Warunki, w których te równania są faktycznie stosowane i dadzą rozsądne wyniki po rozwiązaniu, są omówione w Ciarlet.
Równania pod względem funkcji stresu Airy'ego
Trzy równania Föppla – von Kármána można zredukować do dwóch, wprowadzając funkcję naprężenia Airy'ego gdzie
φ
{\ displaystyle \ varphi}
σ
11
=
∂
2
φ
∂
x
2
2
,
σ
22
=
∂
2
φ
∂
x
1
2
,
σ
12
= -
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
.
{\ Displaystyle \ sigma _ {11} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ varphi} {\ częściowe x_ {2} ^ {2}}} ~ ~~ \ sigma _ {22} = {\ frac {\częściowe ^{2}\varphi}{\częściowe x_{1}^{2}}}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\częściowe ^{2}\varphi}}{\ częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}\,.}
Równanie (1) staje się
mi
godz
3
12 ( 1 -
ν
2
)
Δ
2
w - godz
(
∂
2
φ
∂
x
2
2
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
φ
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
- 2
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
= P.
{\ Displaystyle {\ Frac {Eh ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}} \ Delta ^ {2 }wh\left({\frac {\częściowe ^{2}\varphi}}{\częściowe x_{2}^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1} ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\varphi}}{\częściowy x_{1}^{2}}}{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{ 2}^{2}}}-2{\frac {\częściowy ^{2}\varphi}}{\częściowy x_{1}\,\częściowy x_{2}}}{\frac {\częściowy ^{2} w}{\częściowy x_{1}\,\częściowy x_{2}}}\right)=P}
podczas gdy funkcja Airy'ego spełnia, konstruując równanie równowagi sił (2). Otrzymuje się równanie dla
wymuszające reprezentację
odkształcenia
0
Δ
2
φ + mi
{
∂
2
w
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
-
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
}
= .
{\ Displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi + E \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowe ^ {2} w} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe ^ { 2}w}{\częściowe x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}\,\częściowe x_{2}}} \right)^{2}\right\}=0\,.}
Czyste zginanie
Dla czystego zginania cienkich płyt równanie równowagi ma postać
re
Δ
2
w = P.
{\ Displaystyle D \ Delta ^ {2} \ w = P}
re : =
mi
h
3
12 ( 1 -
ν
2
)
{\ Displaystyle D: = {\ Frac {Eh ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}
nazywa się sztywnością zginania lub cylindryczną płyty.
Założenia kinematyczne (hipoteza Kirchhoffa)
W wyprowadzaniu równań Föppla – von Kármána głównym założeniem kinematycznym (znanym również jako hipoteza Kirchhoffa ) jest to, że normalne powierzchniowe do płaszczyzny płyty pozostają prostopadłe do płyty po odkształceniu. Przyjmuje się również, że przemieszczenia w płaszczyźnie (membrany) są niewielkie, a zmiana grubości płyty jest pomijalna. Z tych założeń wynika, że pole przemieszczenia u
u
1
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
v
1
(
x
1
,
x
2
) -
x
3
∂ w
∂
x
1
,
u
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
v
2
(
x
1
,
x
2
) -
x
3
∂ w
∂
x
2
,
u
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) = w (
x
1
,
x
2
)
{\ Displaystyle u_ {1} (x_ {1}, x_ {2} ,x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}~,~~ u_ {2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\częściowy w }{\częściowe x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}
gdzie v
Relacje odkształcenie-przemieszczenie (szczepy von Kármána)
Składowe trójwymiarowego tensora odkształcenia Lagrange'a Greena są zdefiniowane jako
mi
ja jot
:=
1 2
[
∂
u
ja
∂
x
jot
+
∂
u
jot
∂
x
ja
+
∂
u
k
∂
x
ja
∂
u
k
∂
x
jot
]
.
{\ Displaystyle E_ {ij}: = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [{\ Frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x_ {j}}} + {\ Frac {\ częściowe u_ {j}}{\częściowe x_{i}}}+{\frac {\częściowe u_{k}}{\częściowe x_{i}}}\,{\frac {\częściowe u_{k}}{\częściowe x_{j}}}\prawo]\,.}
Podstawienie wyrażeń na pole przemieszczenia do powyższego daje
mi
11
=
∂
u
1
∂
x
1
+
1 2
[
(
∂
u
1
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
1
)
2
]
=
∂
v
1
∂
x
1
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1 2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂ w
∂
x
1
)
2
]
mi
22
=
∂
u
2
∂
x
2
+
1 2
[
(
∂
u
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
2
)
2
]
=
∂
v
2
∂
x
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1 2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
2
+
(
∂ w
∂
x
2
)
2
]
mi
33
=
∂
u
3
∂
x
3
+
1 2
[
(
∂
u
1
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
3
)
2
]
=
1 2
[
(
∂ w
∂
x
1
)
2
+
(
∂ w
∂
x
2
)
2
]
mi
12
=
1 2
[
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
∂
u
2
∂
x
2
+
∂
u
3
∂
x
1
∂
u
3
∂
x
2
]
=
1 2
∂
v
1
∂
x
2
+
1 2
∂
v
2
∂
x
1
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
+
1 2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
+
∂ w
∂
x
1
∂ w
∂
x
2
]
mi
23
=
1 2
[
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
+
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
2
∂
x
2
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
∂
u
3
∂
x
3
]
=
1 2
[
x
3
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂ w
∂
x
1
)
+
x
3
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
(
∂ w
∂
x
2
)
]
mi
31
=
1 2
[
∂
u
3
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
1
+
∂
u
2
∂
x
3
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
3
∂
x
3
∂
u
3
∂
x
1
]
=
1 2
[
x
3
(
∂ w
∂
x
1
)
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
x
3
(
∂ w
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E_ {11} i = {\ Frac {\ częściowe u_{1}}{\częściowy x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\częściowy u_{1}}{\częściowy x_{1}} }\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_ {3}}{\częściowe x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{1}}}-x_{ 3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2 }\left({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\ frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1 }}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {1}{2 }}\left[\left({\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_{2}} {\częściowe x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}\right] \\&={\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1} \częściowe x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2}^{2} }}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\ frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_ {3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)^{2}\ prawo]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowy x_{1}}}+{\frac {\częściowy u_{1}}{\częściowy x_{1}}}\,{\frac {\częściowy u_{1}}{\ częściowe x_{2}}}+{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{1}}}\,{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{2}}} +{\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{1}}}\,{\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{2}}}\right]\\&= {\frac {1}{2}}{\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\częściowe v_{2 }}{\częściowe x_{1}}}-x_{3}{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}+{\frac {1} {2}}\lewo[x_{3}^{2}\lewo({\frac {\częściowo ^{2}w}{\częściowo x_{1}^{2}}}\prawo)\left({ \frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\częściowy ^{2 }w}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}\right)\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2}^{2}}}\ dobrze)+{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right]\\E_{23}&= {\frac {1}{2}}\left[{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{3}}}+{\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{ 2}}}+{\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{2}}}\,{\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{3}}}+{\ frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{2}}}\,{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{3}}}+{\frac {\częściowe u_{3 }}{\częściowe x_{2}}}\,{\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}} \left[x_{3}\left({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\right)\left({\frac {\częściowy w }{\częściowe x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2}^{2}}}\right)\ left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac { \częściowe u_{3}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{3}}}+{\frac {\częściowe u_{1}}{ \częściowe x_{3}}}\,{\frac {\częściowe u_{1}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{3}} }\,{\frac {\częściowe u_{2}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {\częściowe u_{3}}{\częściowe x_{3}}}\,{\frac { \częściowy u_{3}}{\częściowy x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\częściowy w }{\częściowe x_{1}}}\right)\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\ left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)\left({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2} }}\right)\right]\end{wyrównane}}}
W przypadku małych odkształceń, ale umiarkowanych rotacji , terminy wyższego rzędu, których nie można zaniedbać, są
(
∂ w
∂
x
1
)
2
,
(
∂ w
∂
x
2
)
2
,
∂ w
∂
x
1
∂ w
∂
x
2
.
{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe x_ {1}}} \ prawo) ^ {2} ~, ~ ~ \ lewo ({\ frac {\ częściowe w} {\ częściowe x_ { 2}}}\right)^{2}~,~~{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}} }\,.}
Pomijając wszystkie inne terminy wyższego rzędu i wymuszając wymóg, aby płyta nie zmieniała swojej grubości, składowe tensora odkształcenia redukują się do odkształceń von Kármána
mi
11
=
∂
v
1
∂
x
1
+
1 2
(
∂ w
∂
x
1
)
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
mi
22
=
∂
v
2
∂
x
2
+
1 2
(
∂ w
∂
x
2
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
mi
12
=
1 2
(
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
)
+
1 2
∂ w
∂
x
1
∂
2
∂
∂
x
1
∂
x
2
∂ w
x
2
w
−
x
3
mi
33
0
0
0
= ,
mi
23
= ,
mi
13
= .
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E_ {11} & = {\ Frac {\ częściowe v_ {1}} {\ częściowe x_ {1}}} + {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({ \frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}^ {2}}}\\E_{22}&={\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2 }}}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {\ częściowe v_{2}}{\częściowe x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\, {\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}-x_{3}{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\ \E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{13}=0\,.\end{wyrównane}}}
Pierwsze terminy to zwykłe małe naprężenia dla powierzchni środkowej. Drugie człony, obejmujące kwadraty gradientów przemieszczeń, są nieliniowe i należy je uwzględnić, gdy zginanie płyty jest dość duże (gdy obroty wynoszą około 10 – 15 stopni). Te dwa pierwsze terminy razem nazywane są naprężeniami błonowymi . Ostatnie wyrażenia, obejmujące drugie pochodne, to odkształcenia zginające (zginające) . Obejmują one krzywizny. Te wyrazy zerowe wynikają z założeń klasycznej teorii płyt, która zakłada, że elementy normalne do płaszczyzny środkowej pozostają nierozciągliwe, a elementy liniowe prostopadłe do płaszczyzny środkowej pozostają normalne do płaszczyzny środkowej po odkształceniu.
Relacje naprężenie-odkształcenie
Jeśli założymy, że składowe tensora naprężenia Cauchy'ego są liniowo powiązane z odkształceniami von Kármána zgodnie z prawem Hooke'a , płyta jest izotropowa i jednorodna oraz że płyta znajduje się w płaskim stanie naprężenia , mamy σ 33 σ 13 σ 23
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
=
mi
( 1 -
ν
2
)
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1 - ν
]
[
mi
11
mi
22
mi
12
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\ \sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0 \\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22}\\E_{12}\end{bmatrix}}}
Rozszerzając warunki, trzy niezerowe naprężenia są
σ
11
=
mi
( 1 -
ν
2
)
[
(
∂
v
1
∂
x
1
+
1 2
(
∂ w
∂
x
1
)
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+ ν
(
∂
v
2
∂
x
2
+
1 2
(
∂ w
∂
x
2
)
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
)
]
σ
22
=
mi
( 1 -
ν
2
)
[
ν
(
∂
v
1
∂
x
1
+
1 2
(
∂ w
∂
x
1
)
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
(
∂
v
2
∂
x
2
+
1 2
(
∂ w
∂
x
2
)
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
)
]
σ
12
=
mi
( 1 + ν )
[
1 2
(
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
)
+
1 2
∂ w
∂
x
1
∂ w
∂
x
2
-
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
]
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {11} & = {\ cfrac {E} {(1- \ nu ^ {2})}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {\ częściowe v_ { 1}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\right)^{2} -x_{3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {\częściowy v_{2 }}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}- x_{3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {1 }{2}}\left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\częściowy ^{2}w }{\częściowe x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {1}{2 }}\left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\częściowe ^{2}w}{\ częściowe x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[{\frac {1 }{2}}\left({\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{1}}}\ prawo)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}} }-x_{3}{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\right]\,.\end{wyrównane}}}
Wypadkowe stresu
Wypadkowe naprężenia w płycie są zdefiniowane jako
N
α β
:=
∫
- godz
/
2
godz
/
2
σ
α β
re
x
3
,
M
α β
: =
∫
- godz
/
2
godz
/
2
x
3
σ
α β
re
x
3
.
{\ Displaystyle N _ {\ alfa \ beta}: = \ int _ {-h / 2} ^ {h / 2} \ sigma _ {\ alfa \ beta} \, dx_ {3} ~, ~ ~ M_ {\ alfa \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta}\,dx_{3}\,.}
Dlatego,
N
11
=
mi godz
2 ( 1 -
ν
2
)
[
2
∂
v
1
∂
x
1
+
(
∂ w
∂
x
1
)
2
+ 2 ν
∂
v
2
∂
x
2
+ ν
(
∂ w
∂
x
2
)
2
N
]
22
=
mi godz
2 ( 1 -
ν
2
)
[
2 ν
∂
v
1
∂
x
1
+ ν
(
∂ w
∂
x
1
)
2
+ 2
∂
v
2
∂
x
2
+
(
∂ w
∂
x
2
)
2
]
N
12
=
mi h
2 ( 1 + ν )
[
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
+
∂ w
∂
x
1
∂ w
∂
x
2
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} N_ {11} & = {\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{1}}}+\left({\ frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\częściowy v_{2}}{\częściowy x_{2}}}+\nu \ left({\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\częściowe v_{1}}{\częściowe x_{1}}}+\nu \left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{2}}}+\left({\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\częściowa v_ {1}}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {\częściowe v_{2}}{\częściowe x_{1}}}+{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1} }}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right]\end{wyrównane}}}
prowadzi do eliminacji przemieszczeń w płaszczyźnie
1
mi h
[
2 ( 1 + ν )
∂
2
N
12
∂
x
1
∂
x
2
−
∂
2
N
22
∂
x
1
2
+ ν
∂
2
N
11
∂
x
1
2
−
∂
2
N
11
∂
x
2
2
+ ν
∂
2
N
22
∂
x
2
2
]
=
[
∂
2
w
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
-
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\częściowe ^{2}N_{12}}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}-{ \frac {\częściowy ^{2}N_{22}}{\częściowy x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\częściowy ^{2}N_{11}}{\częściowy x_{ 1}^{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}N_{11}}{\częściowy x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\częściowy ^{2} N_{22}}{\częściowe x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}^{2}}} {\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{wyrównane}}}
I
M
11
= -
mi
godz
3
12 ( 1 -
ν
2
)
[
∂
2
w
∂
x
1
2
+ ν
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
22
= -
mi
godz
3
12 ( 1 -
ν
2
)
[
ν
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
12
= -
mi
godz
3
12 ( 1 + ν )
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M_ {11} & = - {\ cfrac {Eh ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}} \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {2}w}{\częściowe x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2}^{2}}}\right ]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\częściowe ^{2 }w}{\częściowe x_{1}^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12 }&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2 }}}\,.\end{wyrównane}}}
Rozwiązania są łatwiejsze do znalezienia, gdy równania rządzące są wyrażone w postaci wypadkowych naprężeń, a nie naprężeń w płaszczyźnie.
Równania równowagi
Słabą formą płytki Kirchhoffa jest
∫
Ω
∫
− h
/
2
h
/
2
ρ
u ¨
ja
δ
u
ja
re Ω re
x
3
+
∫
Ω
∫
− h
/
2
h
/
2
σ
ja j
δ
mi
ja j
re Ω re
x
3
+
∫
Ω
∫
− h
/
2
h
/
2
p
ja
δ
u
ja
re Ω re
x
3
=
0
{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ int _ {-h / 2} ^ {h / 2} \ rho {\ ddot {u} }_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{ij}\ delta E_{ij}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}p_{i}\delta u_{i}\,d \Omega dx_{3}=0}
tutaj Ω oznacza płaszczyznę środkową. Słaba forma prowadzi do
∫
Ω
ρ h
v ¨
1
δ
v
1
re Ω
+
∫
Ω
N
11
∂ δ
v
1
∂
x
1
+
N
12
∂ δ
v
1
∂
x
2
re Ω = −
∫
Ω
p
1
δ
v
1
d Ω
∫
Ω
ρ h
v ¨
2
δ
v
2
re Ω
+
∫
Ω
N
22
∂ δ
v
2
∂
x
2
+
N
12
∂ δ
v
2
∂
x
1
re Ω = −
∫
Ω
p
2
δ
v
2
re Ω
∫
Ω
ρ h
w ¨
δ w re Ω
+
∫
Ω
N
11
∂ w
∂
x
1
∂ δ w
∂
x
1
−
M
11
∂
2
δ w
∂
2
x
1
re Ω
+
∫
Ω
N
22
∂ w
∂
x
2
∂ δ w
∂
x
2
−
M
22
∂
2
δ w
∂
2
x
2
re Ω
+
∫
Ω
N
12
(
∂ δ w
∂
x
1
∂ δ w
∂
x
2
+
∂ w
∂
x
1
∂ δ w
∂
x
2
)
− 2
M
12
∂
2
δ w
∂
x
1
∂
x
2
re Ω = -
∫
Ω
p
3
δ w re Ω
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {\ Omega} \ rho h {\ ddot {v}} _ {1} \ delta v_{1}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\częściowa \delta v_{1}}{\częściowa x_{1}}}+N_{12} {\frac {\częściowa \delta v_{1}}{\częściowa x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega}p_{1}\delta v_{1}\,d\ Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{2}\delta v_{2}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{22}{\ frac {\częściowa \delta v_{2}}{\częściowa x_{2}}}+N_{12}{\frac {\częściowa \delta v_{2}}{\częściowa x_{1}}}\,d \Omega =-\int _{\Omega }p_{2}\delta v_{2}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {w}}\delta w\, d\Omega &+\int _{\Omega}N_{11}{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}{\frac {\częściowe \delta w}{\częściowe x_{1} }}-M_{11}{\frac {\częściowy ^{2}\delta w}{\częściowy ^{2}x_{1}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega} N_{22}{\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}}{\frac {\częściowy \delta w}{\częściowy x_{2}}}-M_{22}{\frac {\ częściowa ^{2}\delta w}{\częściowa ^{2}x_{2}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{12}\left({\frac {\ częściowe \delta w}{\częściowe x_{1}}}{\frac {\częściowe \delta w}{\częściowe x_{2}}}+{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}} }{\frac {\częściowy \delta w}{\częściowy x_{2}}}\right)-2M_{12}{\frac {\częściowy ^{2}\delta w}{\częściowy x_{1}\ częściowe x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{3}\delta w\,d\Omega \\\end{wyrównane}}}
Otrzymane równania rządzące są
ρ h
w ¨
−
∂
2
M
11
∂
x
1
2
−
∂
2
M
22
∂
x
2
2
− 2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
−
∂
∂
x
1
(
N
11
∂ w
∂
x
1
+
N
12
∂ w
∂
x
2
)
-
∂
∂
x
2
(
N
12
∂ w
∂
x
1
+
N
22
∂ w
∂
x
2
)
= -
p
3
ρ godz
v ¨
1
-
∂
N
11
∂
x
1
-
∂
N
12
∂
x
2
= -
p
1
ρ godz
v ¨
2
-
∂
N
21
∂
x
1
-
∂
N
22
∂
x
2
= -
p
2
.
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ rho h {\ ddot {w}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} M_ {11}} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}}} - {\frac {\częściowy ^{2}M_{22}}{\częściowy x_{2}^{2}}}-2{\frac {\częściowy ^{2}M_{12}}{\częściowy x_{ 1}\częściowy x_{2}}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1 }}}+N_{12}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)-{\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{2}}}\left( N_{12}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right) =-p_{3}\\&\rho h{\ddot {v}}_{1}-{\frac {\częściowe N_{11}}{\częściowe x_{1}}}-{\frac {\ częściowe N_{12}}{\częściowe x_{2}}}=-p_{1}\\&\rho h{\ddot {v}}_{2}-{\frac {\częściowe N_{21}} {\częściowe x_{1}}}-{\frac {\częściowe N_{22}}{\częściowe x_{2}}}=-p_{2}\,.\end{wyrównane}}}
Równania Föppla–von Kármána pod względem wypadkowych naprężeń
Równania Föppla – von Kármána są zwykle wyprowadzane z podejściem energetycznym, biorąc pod uwagę zmiany energii wewnętrznej i wirtualną pracę wykonaną przez siły zewnętrzne. Otrzymane statyczne równania rządzące (Równania równowagi) są
∂
2
M
11
∂
x
1
2
+
∂
2
M
22
∂
x
2
2
+ 2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
∂
x
1
(
N
11
∂ w
∂
x
1
+
N
12
∂ w
∂
x
2
)
+
∂
∂
x
2
(
N
12
∂ w
∂
x
1
+
N
22
∂ w
∂
x
2
)
= P.
0
∂
N
α β
∂
x
β
= .
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\ częściowe ^ {2} M_ {11}} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} M_ {22}}{\częściowe x_{2}^{2}}}+2{\frac {\częściowe ^{2}M_{12}}{\częściowe x_{1}\częściowe x_{2}}}+ {\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{1}}}+N_{12}\,{ \frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\right)+{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\ częściowe w}{\częściowe x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\częściowe w}{\częściowe x_{2}}}\right)=P\\&{\frac {\częściowe N_{\alpha \beta }}{\częściowe x_{\beta }}}=0\,.\end{wyrównane}}}
Gdy ugięcia są małe w porównaniu z całkowitymi wymiarami płyty, a odkształcenia powierzchni środkowej są zaniedbane,
0
0
0
∂ w
∂
x
1
≈ ,
∂ w
∂
x
2
≈ ,
v
1
≈ ,
v
2
≈
0
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe x_ {1}}} \ około 0 ,{\frac {\częściowy w}{\częściowy x_{2}}}\około 0,v_{1}\około 0,v_{2}\około 0\end{wyrównane}}}
Równania równowagi są zredukowane ( czyste zginanie cienkich płyt) do
∂
2
M
11
∂
x
1
2
+
∂
2
M
22
∂
x
2
2
+ 2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
= P.
{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} M_ {11}} { \częściowy x_{1}^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}M_{22}}{\częściowy x_{2}^{2}}}+2{\frac {\częściowy ^ {2}M_{12}}{\częściowy x_{1}\częściowy x_{2}}}=P}
^ Föppl, A., "Vorlesungen über technische Mechanik", BG Teubner , Bd. 5., str. 132, Lipsk, Niemcy (1907)
^ von Kármán, T., "Festigkeitsproblem im Maschinenbau", Encyk. D. Matematyka. Wiss. IV , 311-385 (1910)
Bibliografia
_ Mahadevan, L. (19 lutego 2003). „Geometria i fizyka marszczenia”. Listy z przeglądu fizycznego . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 90 (7): 074302. Bibcode : 2003PhRvL..90g4302C . doi : 10.1103/physrevlett.90.074302 . hdl : 10533/174540 ISSN 0031-9007 . PMID 12633231 .
^ David Harris (11 lutego 2011). „Focus: upraszczanie zmiętego papieru” . Fizyczny przegląd ostrości . 27 . Źródło 4 lutego 2020 r .
^ a b c d ISBN 0-7506-2633-X )
^ Dwuwymiarowy Laplacian , Δ , jest zdefiniowany jako
Δ w : =
∂
2
w
∂
x
α
∂
x
α
=
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
{\ Displaystyle \ Delta w: = { \frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{\alpha}\częściowy x_{\alpha}}}={\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{1}^{ 2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2}}}}
^ Równania płytek von Karmana http://imechanica.org/node/6618 Dostęp we wtorek 30 lipca 2013 r. 14:20.
^ a b Ciarlet, PG (1990), Płyty i złącza w elastycznych wielokonstrukcjach , Springer-Verlag.
Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ BF00247674 , S2CID 120433309
Bibliografia Linki zewnętrzne _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ BF00247674 , S2CID 120433309
^ Zazwyczaj w tym momencie przyjmuje się założenie o zerowym naprężeniu poza płaszczyzną .
Zobacz też
![{\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6418da02ee027902d7a19db03e9ad1bb78350f2)
![E_{ij} := \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}
+ \frac{\partial u_k}{\partial x_i}\,\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right] \,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4450a2a83373b31540893d6ac450d754d518fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f747646fd6ecf6abe0a1f562f6e5adddf100c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e545263be2a22f8e0cd0f7ce118e39bb9135f90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25758d410340bc2400b4f79e450e1d8c1620b970)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\partial ^{2}N_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d347d07f79701d0599b5957116ba7ab9a23ce4)
![\begin{align}
M_{11} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} \right] \\
M_{22} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} \right] \\
M_{12} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1+\nu)}\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} \,.
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9978d96743345f280f7c19317c05977c4254f41)
