Teoria śruby

Sir Robert Ball, autor traktatów o teorii śrub w 1876 i 1900 roku.

Teoria śrub to algebraiczne obliczanie par wektorów , takich jak siły i momenty lub prędkość kątowa i liniowa , które powstają w kinematyce i dynamice ciał sztywnych . Ramy matematyczne zostały opracowane przez Sir Roberta Stawella Balla w 1876 r. Do zastosowania w kinematyce i statyce mechanizmów (mechanika ciał sztywnych).

Teoria śrub zapewnia matematyczne sformułowanie geometrii linii, która jest kluczowa dla dynamiki ciał sztywnych , gdzie linie tworzą osie śrubowe ruchu przestrzennego i linie działania sił . Para wektorów tworzących współrzędne Plückera linii definiuje śrubę jednostkową, a śruby ogólne uzyskuje się przez pomnożenie przez parę liczb rzeczywistych i dodanie wektorów .

Ważnym wynikiem teorii śrub jest to, że obliczenia geometryczne dla punktów za pomocą wektorów mają równoległe obliczenia geometryczne dla linii uzyskanych przez zastąpienie wektorów śrubami. Nazywa się to zasadą transferu.

Teoria śrub stała się ważnym narzędziem w mechanice robotów, projektowaniu mechanicznym, geometrii obliczeniowej i dynamice wieloczłonowej . Jest to częściowo spowodowane związkiem między śrubami a podwójnymi czwartorzędami , które zostały użyte do interpolacji ruchów ciała sztywnego . W oparciu o teorię śrub opracowano również wydajne podejście do syntezy typów mechanizmów równoległych (manipulatorów równoległych lub robotów równoległych).

Podstawowe twierdzenia obejmują twierdzenie Poinsota ( Louis Poinsot , 1806) i twierdzenie Chaslesa ( Michel Chasles , 1832). Felix Klein postrzegał teorię śrub jako zastosowanie geometrii eliptycznej i swojego programu Erlangen . Opracował także geometrię eliptyczną i świeże spojrzenie na geometrię euklidesową z metryką Cayleya-Kleina . Zastosowanie matrycy symetrycznej dla stożka von Staudta i metryczny, zastosowany do śrub, został opisany przez Harveya Lipkina. Inni wybitni współpracownicy to Julius Plücker , WK Clifford , FM Dimentberg, Kenneth H. Hunt , JR Phillips.

Podstawowe koncepcje

Skok czystej śruby wiąże obrót wokół osi z translacją wzdłuż tej osi.

Przestrzenne przemieszczenie bryły sztywnej można zdefiniować za pomocą obrotu wokół prostej i translacji wzdłuż tej samej linii, zwanej przemieszczeniem śrubowym. Jest to znane jako twierdzenie Chaslesa . Sześć parametrów definiujących przemieszczenie śruby to cztery niezależne składowe wektora Plückera, który definiuje oś śruby, wraz z kątem obrotu wokół i liniowym poślizgiem wzdłuż tej linii i tworzą parę wektorów zwaną śrubą . Dla porównania, sześć parametrów definiujących przemieszczenie przestrzenne można również podać za pomocą trzech kątów Eulera które definiują obrót i trzy składowe wektora translacji.

Śruba

Śruba jest sześciowymiarowym wektorem zbudowanym z pary trójwymiarowych wektorów, takich jak siły i momenty oraz prędkość liniowa i kątowa, które powstają podczas badania przestrzennego ruchu ciała sztywnego. Składowe śruby określają współrzędne Plückera linii w przestrzeni oraz wielkości wektora wzdłuż linii i momentu wokół tej linii.

Klucz

Wektory siły i momentu obrotowego, które powstają podczas stosowania praw Newtona do sztywnego ciała, można złożyć w śrubę zwaną kluczem . Siła ma punkt przyłożenia i linię działania, dlatego określa współrzędne Plückera linii w przestrzeni i ma zerowy skok. Z drugiej strony moment obrotowy to czysty moment, który nie jest związany z linią w przestrzeni i jest śrubą o nieskończonym skoku. Stosunek tych dwóch wielkości określa skok śruby.

Skręcać

Skręcenie reprezentuje prędkość ciała sztywnego jako prędkość kątową wokół osi i prędkość liniową wzdłuż tej osi . Wszystkie punkty ciała mają taką samą składową prędkości wzdłuż osi, jednak im większa odległość od osi, tym większa prędkość w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi. Zatem pole helikoidalne utworzone przez wektory prędkości w poruszającym się sztywnym ciele spłaszcza się, im dalej punkty są promieniowo od osi skrętu.

Punkty w ciele podlegającym stałemu ruchowi śrubowemu śledzą helisy w nieruchomej ramie. Jeśli ten ruch śruby ma zerowy skok, to trajektorie zataczają okręgi, a ruch jest czystym obrotem. Jeśli ruch śruby ma nieskończony skok, to wszystkie trajektorie są liniami prostymi w tym samym kierunku.

Algebra śrub

Niech śruba będzie uporządkowaną parą

${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} = (\ mathbf {S}, \ mathbf {V}),}$

gdzie S i V są trójwymiarowymi wektorami rzeczywistymi. Suma i różnica tych uporządkowanych par są obliczane składowo. Śruby są często nazywane wektorami podwójnymi .

Teraz wprowadź uporządkowaną parę liczb rzeczywistych â = ( a , b ) zwaną podwójnym skalarem . Niech dodawanie i odejmowanie tych liczb będzie składowe i zdefiniuj mnożenie jako

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {c}} = (a, b) (c, d) = (ac, reklama + bc).}$$

Mnożenie śruby S = ( S , V ) przez podwójny skalar â = ( a , b ) jest obliczane składowo jako:

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} {\ mathsf {S}} = (a, b) (\ mathbf {S}, \ mathbf {V}) = (a \ mathbf {S}, a \ mathbf {V} } +b\mathbf {S} ).}$$

Na koniec wprowadź iloczyny kropkowe i krzyżowe śrub za pomocą wzorów:

$${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} \ cdot {\ mathsf {T}} = (\mathbf {S},\mathbf {V})\cdot (\mathbf {T},\mathbf {W})=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T},\,\,\mathbf { S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$

który jest skalarem podwójnym i

$${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} \ razy {\ mathsf {T}} = (\ mathbf {S}, \ mathbf {V}) \ razy (\ mathbf {T}, \ mathbf {W}) = ( \mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$$

czyli śruba. Iloczyny kropkowe i krzyżowe śrub spełniają tożsamości algebry wektorów i umożliwiają obliczenia, które są bezpośrednio równoległe do obliczeń w algebrze wektorów.

Niech dualny skalar ẑ = ( φ , d ) zdefiniuje podwójny kąt , to definicje nieskończonych szeregów sinusa i cosinusa dają relacje

$${\ Displaystyle \ sin {\ kapelusz {z}} = (\ grzech \ varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi )}$$

które są również podwójnymi skalarami. Ogólnie rzecz biorąc, funkcja zmiennej dualnej jest zdefiniowana jako f (ẑ) = ( f ( φ ), df ′ ( φ )), gdzie df ′ ( φ ) jest pochodną f ( φ ).

Te definicje umożliwiają uzyskanie następujących wyników:

• Śruby jednostkowe są współrzędnymi Plückera linii i spełniają zależność
  $${\ Displaystyle | {\ mathsf {S}} | = {\ sqrt {{\ mathsf {S}} \ cdot {\ mathsf {S}}}} = 1;}$$
• Niech ẑ = ( φ , d ) będzie kątem podwójnym, gdzie φ jest kątem między osiami S i T wokół ich wspólnej normalnej, a d jest odległością między tymi osiami wzdłuż wspólnej normalnej, wtedy
  $${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} \ cdot {\ mathsf {T}} = \ lewo | {\ mathsf {S}} \ prawo | \ lewo | {\ mathsf {T}} \ prawo | \ cos {\ kapelusz {z}};}$$
• Niech N będzie śrubą jednostkową, która definiuje wspólną normalną do osi S i T , a ẑ = ( φ , d ) jest podwójnym kątem między tymi osiami, wtedy
  $${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} \ razy {\ mathsf {T}} = \ lewo | {\ mathsf {S}} \ prawo | \ lewo | {\ mathsf {T}} \ prawo | \ sin {\ kapelusz {z}}{\mathsf {N}}.}$$

Klucz

Typowym przykładem śruby jest klucz powiązany z siłą działającą na sztywny korpus. Niech P będzie punktem przyłożenia siły F i niech P będzie wektorem wyznaczającym ten punkt w układzie nieruchomym. Klucz W = ( F , P × F ) to śruba. Wypadkowa siła i moment uzyskane ze wszystkich sił F _i , i = 1,..., n , działających na bryłę sztywną, jest po prostu sumą poszczególnych kluczy W _i , to jest

${\ Displaystyle {\ mathsf {R}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ mathsf {W}} _ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Zauważ, że przypadek dwóch równych, ale przeciwnych sił F i − F działających odpowiednio w punktach A i B daje wypadkową

${\ Displaystyle {\ mathsf {R}} = (\ mathbf {F} - \ mathbf {F}, \ mathbf {A} \ razy \ mathbf {F} - \ mathbf {B} \ razy \ mathbf {F}) =(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\razy \mathbf {F}).}$

To pokazuje, że śruby formy

${\ Displaystyle {\ mathsf {M}} = (0, \ mathbf {M}),}$

można interpretować jako czyste chwile.

Skręcać

Aby zdefiniować skręcenie ciała sztywnego, musimy wziąć pod uwagę jego ruch zdefiniowany przez sparametryzowany zbiór przemieszczeń przestrzennych, D(t)=([A(t)], d (t)), gdzie [A] jest macierz rotacji, a d jest wektorem translacji. Powoduje to, że punkt p , który jest ustalony we współrzędnych poruszającego się ciała, śledzi krzywą P ( t ) w ustalonym układzie określonym przez,

${\ Displaystyle \ mathbf {P} (t) = [A (t)] \ mathbf {p} + \ mathbf {d} (t).}$

Prędkość P wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {P} (t) = \ lewo [{\ Frac {dA (t)} {dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

gdzie v jest prędkością początku poruszającego się układu, czyli d d /dt. Teraz podstawiamy p = [ A ^T ]( P − d ) do tego równania, aby otrzymać,

${\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {P} (t) = [\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\ mathbf {\omega} \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega},}$

gdzie [Ω] = [d A /d t ][ A ^T ] to macierz prędkości kątowej, a ω to wektor prędkości kątowej.

Śruba

${\ Displaystyle {\ mathsf {T}} = ({\ vec {\ omega}}, \ mathbf {v} + \ mathbf {d} \ razy {\ vec {\omega}}),\!}$

jest skręt poruszającego się ciała. Wektor V = v + d × ω jest prędkością punktu w ciele, który odpowiada początkowi układu nieruchomego.

Istnieją dwa ważne przypadki szczególne: (i) gdy d jest stałe, to znaczy v = 0, wtedy skręt jest czystym obrotem wokół linii, wtedy skręt jest

${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} = (\ omega, \ mathbf {d} \ razy \ omega),}$

oraz (ii) gdy [Ω] = 0, to znaczy ciało nie obraca się, a jedynie ślizga w kierunku v , to skręcenie jest czystym poślizgiem określonym przez

${\ Displaystyle {\ mathsf {T}} = (0, \ mathbf {v}).}$

Połączenia obrotowe

W przypadku przegubu obrotowego , niech oś obrotu przechodzi przez punkt q i jest skierowana wzdłuż wektora ω , wówczas skręt przegubu jest dany przez,

${\ Displaystyle \ xi = {\ rozpocząć {Bmatrix} \ omega \\ q \ razy \ omega \ koniec {Bmatrix}}.}$

Połączenia pryzmatyczne

Dla przegubu pryzmatycznego , niech wektor v wskazuje kierunek poślizgu, wtedy skręt przegubu jest określony przez,

${\ Displaystyle \ xi = {\ początek {Bmatrix} 0 \\ v \ koniec {Bmatrix}}.}$

Transformacja współrzędnych śrub

Przekształcenia współrzędnych dla śrub można łatwo zrozumieć, zaczynając od przekształceń współrzędnych wektora linii Plückera, które z kolei uzyskuje się z przekształceń współrzędnych punktów na linii.

Niech przemieszczenie ciała będzie zdefiniowane przez D = ([ A ], d ), gdzie [ A ] to macierz obrotu, a d to wektor translacji. Rozważmy linię w ciele zdefiniowaną przez dwa punkty p i q , która ma współrzędne Plückera ,

${\ Displaystyle {\ mathsf {q}} = (\ mathbf {q} - \ mathbf {p}, \ mathbf {p} \ razy \ mathbf {q}), }$

wtedy w ustalonym układzie mamy przekształcone współrzędne punktu P = [ A ] p + d i Q = [ A ] q + d , które dają.

${\ Displaystyle {\ mathsf {Q}} = (\ mathbf {Q} - \ mathbf {P} \ mathbf {P} \ razy \ mathbf {Q}) = ([A] (\ mathbf {q} - \ mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Zatem przemieszczenie przestrzenne definiuje transformację dla współrzędnych Plückera linii podanych przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} \ mathbf {Q} - \ mathbf {P} \\\ mathbf {P} \ razy \ mathbf {Q} \ koniec {Bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} A & 0 \\ DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

Macierz [ D ] jest macierzą skośno-symetryczną, która wykonuje operację iloczynu krzyżowego, czyli [ D ] y = d × y .

Macierz 6×6 uzyskana z przemieszczenia przestrzennego D = ([ A ], d ) może być złożona w macierz dualną

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {A}}] = ([A], [DA]),}$

który działa na śrubę s = ( s . v ) w celu uzyskania,

${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} = [{\ kapelusz {A}}] {\ mathsf {s}}, \ quad (\ mathbf {S}, \ mathbf {V}) = ([A], [ DA])(\mathbf {s},\mathbf {v})=([A]\mathbf {s},[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s}).}$

Macierz dualna [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) ma wyznacznik 1 i jest nazywana podwójną macierzą ortogonalną .

Skręty jako elementy algebry Liego

Rozważmy ruch ciała sztywnego zdefiniowany przez sparametryzowaną transformację jednorodną 4x4,

${\ Displaystyle {\ textbf {P}} (t) = [T (t)] {\ textbf {p}} = {\ rozpocząć {Bmatrix} {\ textbf {P}} \\1 \ koniec {Bmatrix}} ={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{ Bmacierz}}.}$

Ta notacja nie rozróżnia P = ( X , Y , Z , 1) i P = ( X , Y , Z ), co, mam nadzieję, jest jasne w kontekście.

Prędkość tego ruchu określa się obliczając prędkość trajektorii punktów w ciele,

${\ Displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = [{\ kropka {T}} (t)] {\ textbf {p}} = {\ rozpocząć {Bmatrix} {\ textbf {V}} _ { P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix }}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Kropka oznacza pochodną po czasie, a ponieważ p jest stałe, jej pochodna wynosi zero.

Zastąp transformatę odwrotną dla p do równania prędkości, aby uzyskać prędkość P , działając na jego trajektorii P ( t ), to znaczy

$\ Displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = [{\ kropka {T} }(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

Gdzie

${\ Displaystyle [S] = {\ rozpocząć {bmatrix} \ Omega &- \ Omega {\ textbf {d}} + {\ kropka {\ textbf {d}}} \\ 0&0 \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Przypomnijmy, że [Ω] jest macierzą prędkości kątowej. Macierz [ S ] jest elementem algebry Liego se(3) grupy Liego SE(3) przekształceń jednorodnych. Składniki [ S ] są składnikami śruby skrętnej iz tego powodu [ S ] jest często nazywane skrętem.

Z definicji macierzy [ S ] możemy sformułować równanie różniczkowe zwyczajne,

${\ Displaystyle [{\ kropka {T}} (t)] = [S] [T (t)]}$

i zapytaj o ruch [ T ( t )], który ma stałą macierz skrętu [ S ]. Rozwiązaniem jest macierz wykładnicza

${\ Displaystyle [T (t)] = e ^ {[S] t}.}$

To sformułowanie można uogólnić w taki sposób, że mając początkową konfigurację g (0) w SE( n ) i skręt ξ w se ( n ), jednorodną transformację do nowego położenia i orientacji można obliczyć za pomocą wzoru:

${\ Displaystyle g (\ teta) = \ exp (\ xi \ teta) g (0)}$

gdzie θ reprezentuje parametry transformacji.

Śruby przez odbicie

W geometrii transformacji elementarną koncepcją transformacji jest odbicie (matematyka) . W przekształceniach płaskich translację uzyskuje się przez odbicie w równoległych liniach, a obrót uzyskuje się przez odbicie w parze przecinających się linii. Aby utworzyć transformację śruby z podobnych koncepcji, należy użyć płaszczyzn w przestrzeni : równoległe płaszczyzny muszą być prostopadłe do osi śruby , która jest linią przecięcia przecinających się płaszczyzn, które generują obrót śruby. Zatem cztery odbicia w płaszczyznach wpływają na transformację śruby. Tradycja geometria odwrotna zapożycza niektóre idee geometrii rzutowej i zapewnia język transformacji, który nie zależy od geometrii analitycznej .

Homografia

Połączenie przesunięcia z obrotem wywołanym przemieszczeniem śruby można zilustrować odwzorowaniem wykładniczym . Ten pomysł w geometrii transformacji został rozwinięty przez Sophusa Lie ponad sto lat temu. Jeszcze wcześniej William Rowan Hamilton przedstawił formę wersorową kwaternionów jednostkowych jako exp( ar )= cos a + r sin a . Pomysł tkwi również we wzorze Eulera parametryzującym okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej .

Ponieważ ε ² = 0 dla liczb podwójnych , exp( aε ) = 1 + aε , wszystkie inne wyrazy szeregu wykładniczego znikają.

Niech F = {1 + εr : r ∈ H }, ε ² = 0. Zauważmy, że F jest stabilny przy obrocie q → p ⁻¹ qp i przy translacji (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) dla dowolnych kwaternionów wektorowych r i s . F to 3-płaskie w ośmiowymiarowej przestrzeni podwójnych kwaternionów . To 3-płaskie F reprezentuje przestrzeń , a zbudowana homografia , ograniczona do F , jest śrubowym przemieszczeniem przestrzeni.

Niech a będzie połową kąta pożądanego obrotu wokół osi r , a br połową przemieszczenia względem osi śruby . Następnie postać z = exp(( a + bε ) r ) i z* = exp(( a − bε ) r ). Teraz jest homografia

${\ Displaystyle [q \: \ 1] {\ początek {pmatrix} z ​​& 0 \\ 0 & z ^ {*} \ koniec {pmatrix}} = [qz \: \ z ^ {*}] \ gruby [(z ^ {* })^{-1}qz\ :\ 1].}$

Odwrotność dla z * to

$\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ exp (ar-b \varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

więc homografia wysyła q do

${\ Displaystyle (e ^ {b \ varepsilon} e ^ {-ar}) q (e ^ {ar} e ^ {b \ varepsilon r}) = e ^ {b \ varepsilon r} (e ^ {-ar} qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Teraz dla dowolnego wektora kwaternionów p , p * = − p , niech q = 1 + pε ∈ F gdzie wymagany obrót i translacja są wykonane.

William Kingdon Clifford zainicjował wykorzystanie podwójnych kwaternionów w kinematyce , a następnie Aleksandr Kotelnikow , Eduard Study ( Geometrie der Dynamen ) i Wilhelm Blaschke . Jednak punkt widzenia Sophus Lie powrócił. W 1940 roku Julian Coolidge opisał użycie podwójnych kwaternionów do przemieszczania śrub na stronie 261 A History of Geometrical Methods . Zwraca uwagę na wkład Arthura Buchheima z 1885 roku . Coolidge oparł swój opis po prostu na narzędziach, których Hamilton użył do prawdziwych kwaternionów.

Najwyraźniej grupa jednostek pierścienia podwójnych kwaternionów jest grupą Liego . Podgrupa ma algebrę Liego generowaną przez parametry ar i bs , gdzie a , b ∈ R , i r , s ∈ H . Te sześć parametrów generuje podgrupę jednostek, sferę jednostek. Oczywiście zawiera F i 3- sferę wersorów .

Praca sił działających na bryłę sztywną

Rozważmy zbiór sił F ₁ , F ₂ ... F _n działających na punkty X ₁ , X ₂ ... X _n w bryle sztywnej. Trajektorie X _i , i = 1,..., n są określone przez ruch bryły sztywnej z obrotem [ A ( t )] i przesunięcie d ( t ) punktu odniesienia w bryle, dane przez

${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {i} (t) = [A (t)] \ mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

gdzie x _i to współrzędne poruszającego się ciała.

Prędkość każdego punktu X _i wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = {\ vec {\ omega}} \ razy (\ mathbf {X} _ {i} - \ mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

gdzie ω jest wektorem prędkości kątowej, a v jest pochodną d ( t ).

Praca sił nad przemieszczeniem δ r _i = v _i δt każdego punktu jest dana wzorem

${\ Displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} _ {1} \ cdot \ mathbf {V} _ {1} \ delta t + \ mathbf {F} _ {2} \ cdot \ mathbf {V} _ {2} \delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Zdefiniuj prędkości każdego punktu w kategoriach skrętu poruszającego się ciała, aby uzyskać

${\ Displaystyle \ delta W = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot ({\ vec {\ omega}} \ razy (\ mathbf {X} _ {i }-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Rozwiń to równanie i zbierz współczynniki ω i v , aby otrzymać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta W & = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ prawej) \ cdot \ mathbf {d} \ razy { \vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left( \sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega}}\delta t\\ [4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\ vec {\omega}})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega}}\delta t.\end{wyrównane}}}$

Wprowadź skręt poruszającego się ciała i działający na nie klucz podany przez

${\ Displaystyle {\ mathsf {T}} = ({\ vec {\ omega}}, \ mathbf {d} \ razy {\ vec {\ omega}} + \ mathbf {v}) = (\ mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ}),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

wtedy praca przybiera formę

${\ Displaystyle \ delta W = (\ mathbf {W} \ cdot \ mathbf {T} ^ {\ circ} + \ mathbf {W} ^ {\ circ} \ cdot \ mathbf {T}) \ delta t.}$

Macierz 6×6 [Π] służy do uproszczenia obliczania pracy przy użyciu śrub, tak że

${\ Displaystyle \ delta W = (\ mathbf {W} \ cdot \ mathbf {T} ^ {\ circ} +\mathbf {W} ^{\circ}\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi]{\mathsf {T}}\delta t,}$

Gdzie

${\ Displaystyle [\ Pi] = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i ja \\ ja i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

a [I] jest macierzą tożsamości 3×3.

Wzajemne śruby

Jeśli wirtualna praca klucza na skręcie wynosi zero, wówczas siły i moment obrotowy klucza są siłami ograniczającymi względem skrętu. Mówi się, że klucz i obrót są odwrotne, to znaczy jeśli

${\ Displaystyle \ delta W = {\ mathsf {W}} [\ Pi] {\ mathsf {T}} \ delta t = 0,}$

wtedy śruby W i T są odwrotne.

Zawirowania w robotyce

W badaniu systemów robotycznych składowe skrętu są często transponowane, aby wyeliminować potrzebę stosowania macierzy 6 × 6 [Π] w obliczaniu pracy. W tym przypadku skręt jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ check {\ mathsf {T}}} = (\ mathbf {d} \ razy {\ vec {\ omega}} + \ mathbf { v} ,{\vec {\omega}}),}$

więc obliczenie pracy przybiera formę

${\ Displaystyle \ delta W = {\ mathsf {W}} \ cdot {\ check {\ mathsf {T}}} \ delta t.}$

W tym przypadku, jeśli

${\ Displaystyle \ delta W = {\ mathsf {W}} \ cdot {\ sprawdź {\ mathsf {T}}} \ delta t = 0,}$

wtedy klucz W jest odwrotny do skrętu T .

Zobacz też

• Oś śrubowa
• Równania Newtona-Eulera wykorzystują śruby do opisania ruchów ciała sztywnego i obciążenia.
• Twist (matematyka)
• Twist (racjonalna trygonometria)

Linki zewnętrzne

• Joe Rooney William Kingdon Clifford , Wydział Projektowania i Innowacji, Open University, Londyn.
• Ravi Banavar notatki na temat robotyki, geometrii i sterowania