Twierdzenie Haaga-Łopuszańskiego-Sohniusa

W fizyce teoretycznej twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa mówi, że jeśli weźmie się pod uwagę zarówno generatory komutujące , jak i antykomutujące , to jedynym sposobem na nietrywialne mieszanie czasoprzestrzeni i symetrii wewnętrznych jest supersymetria . Generatory antykomutujące muszą być spinorami o spinie -1/2 , które dodatkowo mogą przyjąć własną wewnętrzną symetrię znaną jako R-symetria . Twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia Colemana-Manduli do superalgebr Liego . Zostało to udowodnione w 1975 roku przez Rudolfa Haaga , Jana Łopuszańskiego i Martina Sohniusa jako odpowiedź na opracowanie pierwszych supersymetrycznych teorii pola przez Juliusa Wessa i Bruno Zumino w 1974 roku.

Historia

W latach sześćdziesiątych XX wieku udowodniono zestaw twierdzeń badających, w jaki sposób można łączyć symetrie wewnętrzne z symetriami czasoprzestrzennymi, z których najbardziej ogólnym jest twierdzenie Colemana-Manduli. Pokazał, że symetria grupy Liego teorii interakcji musi koniecznie być bezpośrednim produktem grupy Poincarégo z pewną zwartością grupa wewnętrzna. Nieświadomi tego twierdzenia, we wczesnych latach siedemdziesiątych wielu autorów niezależnie wymyśliło supersymetrię, pozornie sprzeczną z twierdzeniem, ponieważ niektóre generatory przekształcają się nietrywialnie w ramach transformacji czasoprzestrzeni.

W 1974 roku Jan Łopuszański odwiedził Karlsruhe z Wrocławia wkrótce po tym, jak Julius Wess i Bruno Zumino skonstruowali pierwszą supersymetryczną kwantową teorię pola , model Wessa-Zumino . W rozmowie z Wessem Łopuszański był zainteresowany ustaleniem, w jaki sposób te nowe teorie zdołały przezwyciężyć twierdzenie Colemana-Manduli. Podczas gdy Wess był zbyt zajęty, by pracować z Łopuszańskim, jego doktorant Martin Sohnius był dostępny. W ciągu następnych kilku tygodni wymyślili dowód swojego twierdzenia, po czym Łopuszański udał się do CERN-u gdzie współpracował z Rudolfem Haagiem, aby znacznie udoskonalić argument, a także rozszerzyć go na przypadek bezmasowy . Później, po powrocie Łopuszańskiego do Wrocławia, Sohnius udał się do CERN-u, aby dokończyć pracę z Haagiem, która ukazała się w 1975 roku.

Twierdzenie

Główne założenia twierdzenia Colemana-Manduli są takie, że teoria obejmuje macierz S z analitycznymi amplitudami rozpraszania, tak że każdy stan dwucząstkowy musi przejść pewną reakcję przy prawie wszystkich energiach i kątach rozpraszania. Co więcej, poniżej dowolnej masy musi istnieć tylko skończona liczba typów cząstek , co dyskwalifikuje cząstki bezmasowe. Twierdzenie następnie ogranicza algebrę Liego teorii do bezpośredniej sumy algebry Poincarego z pewną wewnętrzną algebrą symetrii .

Twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa opiera się na tych samych założeniach, z wyjątkiem dopuszczenia dodatkowych generatorów antykomutujących, podnoszących algebrę Liego do superalgebry Liego. W $}$$.$$generatorami$ przeciwkomutującymi, które można dodać, są zestawy par doładowań i ${\ Displaystyle {\ bar {Q}} _ {\ kropka {\ alfa}} ^ {R}},$ które dojeżdżają do pracy z generator pędu i przekształcić jako lewoskrętne i prawoskrętne spinory Weyla . Niekropkowana i kropkowana notacja indeksu, znana jako notacja Van der Waerdena , odróżnia leworęczne i praworęczne spinory Weyla od siebie. Generatory o innym spinie, takie jak spin-3/2 lub wyższy, są zabronione przez twierdzenie. W podstawie gdzie ${\ Displaystyle ({\ bar {Q}} _ {\ kropka {\ alfa}} ^ {A}) = (Q_ {\ alfa} ^{A})^{\sztylet}}$ , te doładowania spełniają

${\ Displaystyle \ {Q_ {\ alfa} ^{A},Q_{\beta}^{B}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{AB},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{Q_{\alpha}^ {A},{\bar {Q}}_{\kropka {\beta}}^{B}\}=\delta ^{AB}\sigma _{\alpha {\dot {\beta}}}^{ \mu}P_{\mu},}$

gdzie są $znane$ jako ładunki centralne , które dojeżdżają superalgebry. Wraz z algebrą Poincarégo ta superalgebra Liego jest znana jako algebra super-Poincarégo . Ponieważ czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego dopuszcza również spinory Majorany jako podstawowe reprezentacje spinorów, algebrę można równoważnie zapisać w kategoriach czteroskładnikowych doładowań spinorów Majorany, przy czym algebrę ogólnie wyraża się w kategoriach macierzy gamma i operator koniugacji ładunku zamiast macierzy Pauliego używanych dla dwuskładnikowych spinorów Weyla.

Doładowania mogą również dopuszczać dodatkową symetrię algebry Liego, znaną jako symetria R, której generatory spełniają ${\ displaystyle B_ {i}}$

$\ Displaystyle [Q_ {\ alfa} ^ {A}, B_ {i}] = \ suma _ {B} s_ {i} ^ {AB}Q_{\alfa}^{B},}$

gdzie $symetrii$ macierzami reprezentacji generatorów w $reprezentacji$ R - Dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = 1}$ centralny ładunek musi zniknąć, a symetria R jest określona przez grupę ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} (1)}$ , natomiast dla rozszerzonej supersymetrii ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}> 1}$ ładunki centralne nie muszą znikać, podczas gdy symetria R jest ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} ({\ mathcal {N} })}$ grupa.

$cząstki bezmasowe,$$to$ algebrę można dodatkowo rozszerzyć za pomocą konforemnych: generatora i specjalnego generatora przekształceń konforemnych . W przypadku ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ sama liczba przekształceń superkonformalnych, które spełniają $displaystyle$

${\ Displaystyle \ {S _ {\ alfa} ^ {A}, {\ bar {S}} _ {\ kropka { \beta}}^{B}\}=\delta ^{AB}\sigma _{\alpha {\dot {\beta}}}^{\mu}K_{\mu},}$

przy czym zarówno doładowania, jak i generatory superkonformalne są ładowane zgodnie z symetrią R. ${\ Displaystyle {\ tekst {U}} ({\ mathcal {N}})}$ Ta algebra jest przykładem algebry superkonformalnej , w tym przypadku oznaczanej przez $)}$ } W przeciwieństwie do niekonformalnych algebr supersymetrycznych, symetria R jest zawsze obecna w algebrach superkonformalnych.

Ograniczenia

Twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa zostało pierwotnie wyprowadzone w czterech wymiarach , jednak wniosek, że supersymetria jest jedynym nietrywialnym rozszerzeniem symetrii czasoprzestrzennych, obowiązuje we wszystkich wymiarach większych niż dwa. Zmienia się jednak postać algebry supersymetrii. W zależności od wymiaru doładowaniami mogą być spinory Weyla, Majorany, Weyla-Majorany lub symplektyczne spinory Weyla-Majorany. Ponadto grupy R-symetrii różnią się również w zależności od wymiarowości i liczby doładowań.

W dwóch lub mniejszej liczbie wymiarów twierdzenie załamuje się. Powodem tego jest to, że analityczność amplitud rozpraszania nie może już być zachowana, ponieważ na przykład w dwóch wymiarach jedynym rozpraszaniem jest rozpraszanie do przodu i do tyłu. Twierdzenie to nie ma również zastosowania do symetrii dyskretnych lub symetrii spontanicznie łamanych, ponieważ nie są to symetrie na poziomie macierzy S.

Zobacz też

• Supergrawitacja
• macierz S