Przestrzeń Super Minkowskiego

W matematyce i fizyce superprzestrzeń Minkowskiego lub superprzestrzeń Minkowskiego jest supersymetrycznym rozszerzeniem przestrzeni Minkowskiego , czasami używanym jako rozmaitość podstawowa (a raczej superrozmaitość ) dla superpól . Działa na nim superalgebra Poincarégo .

Budowa

abstrakcyjna konstrukcja

Abstrakcyjnie, przestrzeń super Minkowskiego to przestrzeń (po prawej) cosets w grupie Super Poincaré grupy Lorentza , to znaczy

${\ Displaystyle {\ tekst {przestrzeń Super Minkowskiego}} \ cong {\ frac {\ tekst {grupa Super Poincaré}}} {\ tekst {grupa Lorentza}}}}$ .

Jest to analogiczne do sposobu, w jaki zwykłą czasoprzestrzeń Minkowskiego można utożsamić z (prawymi) cosetami w grupie Poincarégo grupy Lorentza, to znaczy

${\ Displaystyle {\ tekst {przestrzeń Minkowskiego}} \ cong {\ Frac {\ tekst {grupa Poincaré}}} {\ tekst {grupa Lorentza}}}}$ .

Przestrzeń coset jest naturalnie afiniczna , a nilpotentne, przeciwdziałające komutacji zachowanie kierunków fermionowych wynika naturalnie z algebry Clifforda związanej z grupą Lorentza.

Konstrukcja o sumie bezpośredniej

W tej sekcji wymiar rozważanej przestrzeni Minkowskiego wynosi ${\ displaystyle d = 4}$ .

Przestrzeń Super Minkowskiego można konkretnie zrealizować jako bezpośrednią sumę przestrzeni Minkowskiego, która ma współrzędne $.$ przestrzenią spinową” Wymiar „przestrzeni wirowania” zależy od liczby $. W$ w powiązanej super algebrze Poincarégo z rozpatrywaną super przestrzenią Minkowskiego $.$ przypadku „przestrzeń spinowa” ma „współrzędne spinowe ${\ Displaystyle (\ teta _ {\ alfa}, {\ bar {\ teta}} ^ {\ kropka {\ alfa}})}$ z ${\ Displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$ , gdzie każdy składnik jest liczbą Grassmanna . W sumie tworzy to 4 współrzędne spinowe.

Notacja $przestrzeni$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4|4}}$ to .

Istnieją teorie, które $dopuszczają$ . Takie przypadki mają rozszerzoną supersymetrię . Dla takich teorii superprzestrzeń Minkowskiego jest oznaczona jako ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4 | 4 {\ mathcal {N}}}}$ ze współrzędnymi ${\ Displaystyle (\ theta _ {\ alfa} ^ {I},{\bar {\theta}}^{J{\dot {\alpha}}})}$ z ${\ Displaystyle I, J = 1, \ cdots, {\ mathcal {N}}}$ .

Definicja

Podstawowa nadrozmaitość super przestrzeni Minkowskiego jest izomorficzna z przestrzenią superwektorową określoną przez bezpośrednią sumę zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego w wymiarach d (często przyjmowanych jako 4) i liczbę rzeczywistą ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ spinorowe reprezentacje algebry Lorentza. (Kiedy $2 różne rzeczywiste reprezentacje spinu,$ należy zastąpić $\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ przez parę liczb $całkowitych$ inną weź $)$ obu reprezentacji spinowych.

Jednak ta konstrukcja jest myląca z dwóch powodów: po pierwsze, superprzestrzeń Minkowskiego jest w rzeczywistości przestrzenią afiniczną nad grupą, a nie nad grupą, lub innymi słowy, nie ma wyróżnionego „pochodzenia”, a po drugie, podstawowa supergrupa tłumaczeń nie jest przestrzeń superwektorowa, ale nilpotentna supergrupa o nilpotentnej długości 2.

Ta supergrupa ma następującą superalgebrę Liego . $Załóżmy$ , że jest przestrzenią Minkowskiego (o wymiarze $reprezentacji$$a$ jest skończoną nieredukowalnych rzeczywistych spinorowych dla $-wymiarowej$ przestrzeni Minkowskiego

Następnie istnieje niezmienna, symetryczna mapa dwuliniowa ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]: S \ razy S \ rightarrow M}$ . Jest dodatnio określony w tym sensie, że dla dowolnego $\ displaystyle$$[$ się zamkniętym dodatnim stożku i $s, s]}$ [ ${\ Displaystyle [s, s] \ neq 0}$ jeśli ${\ Displaystyle s \ neq 0}$ . Ta dwuliniowa mapa jest unikalna aż do izomorfizmu.

Superalgebra Kłamstwa $}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g_ {0}}} \ oplus {\ mathfrak {g_ {1}}} = M \ oplus$$część$ ma część parzystą, a nieparzystą (fermionową $)$ Niezmienna dwuliniowa mapa rozszerzona na całą superalgebrę, aby zdefiniować $,$${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ razy {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}} , gdzie nawias$ Lie $czymkolwiek$ w wynosi zero.

Wymiary nieredukowalnej rzeczywistej reprezentacji spinorowej dla różnych wymiarów d czasoprzestrzeni podano w poniższej tabeli. Tabela wyświetla również typ struktury rzeczywistości dla reprezentacji spinorowej oraz typ niezmiennej formy dwuliniowej reprezentacji spinorowej.

wymiar czasoprzestrzenny, d	Rzeczywisty wymiar reprezentacji spinoru	Struktura	Forma dwuliniowa
1	1	Prawdziwy	Symetryczny
2	1, 1	Prawdziwy	Dwie podwójne reprezentacje
3	2	Prawdziwy	Zmienny
4	4	Kompleks (wymiar 2)	Zmienny
5	8	Czwartorzędowy (wymiar 2)	Symetryczny
6	8, 8	Czwartorzędowy (wymiar 2, 2)	Dwie podwójne reprezentacje
7	16	Czwartorzędowy (wymiar 4)	Zmienny
8	16	Kompleks (wymiar 8)	Symetryczny
9	16	Prawdziwy	Symetryczny
10	16, 16	Prawdziwy	Dwie podwójne reprezentacje
11	32	Prawdziwy	Zmienny
12	64	Kompleks (wymiar 32)	Zmienny

Tabela powtarza się za każdym razem, gdy wymiar wzrasta o 8, z wyjątkiem tego, że wymiary reprezentacji spinowych są mnożone przez 16.

Notacja

W literaturze fizyki czasoprzestrzeń super Minkowskiego jest często określana przez podanie wymiaru $czasoprzestrzeni$ ) oraz liczby razy ${\ displaystyle {\ mathcal {N} }}$ że każda nieredukowalna reprezentacja spinorowa występuje w nieparzystej, fermionowej części. To $.$ liczba doładowań w powiązanej super algebrze Poincarégo z super przestrzenią Minkowskiego

W matematyce czasoprzestrzeń Minkowskiego jest czasami podawana w postaci M ^{m | n} lub $części$ gdzie m jest wymiarem części parzystej, a wymiarem nieparzystej. To jest $używana$ dla - stopniowanych przestrzeni . Notację można rozszerzyć aby zawierała sygnaturę bazowej czasoprzestrzeni, często jest to ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1, d-1 | n}}$ if ${\ Displaystyle m = d}$ .

Relacja jest następująca: liczba całkowita $D}$$}$ fizyki jest liczbą całkowitą w notacji matematycznej, podczas gdy liczba całkowita w notacji matematycznej jest $n$$displaystyle$${ \$ razy liczba całkowita $notacji$ fizyki, gdzie jest wymiarem (jednego z) nieredukowalnych rzeczywistych reprezentacji $.$ Na przykład ${\ Displaystyle d = 4, {\ mathcal {N}} = 1}$ Czasoprzestrzeń Minkowskiego to ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4|4}}$ . Ogólnym wyrażeniem jest zatem ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q | D {\ mathcal {N}}}}$ .

Kiedy $autorzy$ dwie różne nieredukowalne rzeczywiste reprezentacje spinorów, a $displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}$ , jeśli istnieją kopie jednej reprezentacji i drugiej ${\$${\ mathcal {N}} = {\ mathcal {N}} _ {1} + {\ mathcal {N}} _ {2}}$ Displaystyle , obowiązuje wcześniejsze wyrażenie.

W fizyce litera P jest używana jako podstawa parzystej części bozonowej superalgebry Liego, a litera Q jest często używana jako podstawa złożoności nieparzystej części fermionowej, więc w szczególności stałe strukturalne superalgebry Liego mogą być bardziej złożone niż rzeczywiste. Często elementy podstawowe Q występują w złożonych parach sprzężonych, więc rzeczywistą podprzestrzeń można odzyskać jako stałe punkty złożonej koniugacji.

Podpis (p, q)

Rzeczywisty $mathcal {N_ {2} }}})}$ związany z czynnikiem lub $) {\ Displaystyle ({$ \ mathcal {N}} _ {1}, { można znaleźć dla uogólnionej przestrzeni Minkowskiego o wymiarze $)$ dowolnej sygnaturze ${\ displaystyle (p, q)$ . Wcześniejsza subtelność, gdy ${\ Displaystyle d \ równoważnik 2 \ mod 4}$ zamiast tego staje się subtelnością, gdy ${\ Displaystyle pq \ równoważnik 0 \ mod 4}$ . W pozostałej części tej sekcji podpis odnosi się do różnicy . ${\ displaystyle pq}$ .

Wymiar zależy od struktury rzeczywistości na reprezentacji spinowej. Zależy to od sygnatury modulo 8 podanej w tabeli ${\ displaystyle pq}$

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Struktura	${\ Displaystyle \ mathbb {R} + \ mathbb {R}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {H} + \ mathbb {H}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Wymiar zależy również od ${\ displaystyle n}$ . Możemy zapisać $n}$${ \$$2\ rpiętro }$ albo , gdzie m $Displaystyle m: =$$lfloor n$ . Definiujemy reprezentację spinową $jako$ zbudowaną przy użyciu algebry zewnętrznej pewnej przestrzeni wektorowej, jak opisano tutaj . Złożony wymiar wynosi ${m}$$displaystyle 2$ } . Jeśli sygnatura $}}$ parzysta, to dzieli się na dwie nieredukowalne reprezentacje półobrotu i ${\ displaystyle S_ {-$ wymiaru $-1}}$${\ displaystyle 2 ^ {$ , a jeśli podpis jest nieparzysty, to ${\ displaystyle S}$ samo w sobie jest nieredukowalne. Kiedy sygnatura jest parzysta, istnieje dodatkowa subtelność, że jeśli sygnatura jest wielokrotnością 4, to te półobrotowe reprezentacje są nierównoważne, w przeciwnym razie są równoważne.

$liczbę$ , jeśli podpis jest nieparzysty, $zlicza$ kopii reprezentacji . Jeśli podpis jest parzysty i $jest$ wielokrotnością 4, zlicza liczbę kopii reprezentacji półobrotu. Jeśli podpis jest wielokrotnością 4, to ${\ Displaystyle ({\ mathcal {N}} _ {1}, {\ mathcal {N}} _ {2})}$ liczy kopie każdej reprezentacji półobrotu.

Następnie, jeśli struktura rzeczywistości jest rzeczywista, wymiar złożony staje się wymiarem rzeczywistym. Z drugiej strony, jeśli struktura rzeczywistości jest czwartorzędowa lub złożona (hermitowska), wymiar rzeczywisty jest dwukrotnie większy od wymiaru zespolonego.

Rzeczywisty wymiar związany z lub ${\ Displaystyle ({\ mathcal {N}} _ {1}, {\ mathcal {N}}$$)$ podsumowano w poniższej tabeli:

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
wymiar rzeczywisty ${\ Displaystyle D}$	${\ Displaystyle 2 ^ {m-1}, 2 ^ {m-1}}$	${\ displaystyle 2 ^ {m.}}$	${\ displaystyle 2 ^ {m.}}$	${\ Displaystyle 2 ^ {m + 1}}$	${\ Displaystyle 2 ^ {m}, 2 ^ {m}}$	${\ Displaystyle 2 ^ {m + 1}}$	${\ displaystyle 2 ^ {m.}}$	${\ displaystyle 2 ^ {m.}}$

${\ Displaystyle ({\ mathcal {N}} _ {1}, {\ mathcal {N_ {2}}}}}$ wymiaru $czasoprzestrzenią$ z $doładowaniami$ lub doładowania, gdy podpis jest wielokrotnością 4. Powiązana przestrzeń superwektorowa to ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q | {\ mathcal {N}} D}}$ z ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = {\ mathcal {N}} _{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$ tam, gdzie to stosowne.

Ograniczenia dotyczące wymiarów i doładowań

Teoria wyższych spinów

Zobacz także: Teoria wyższych spinów

Istnieje górna granica na (równa $N$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1} + {\ mathcal {N}}$ w stosownych przypadkach). Mówiąc prościej, istnieje górna granica wymiaru przestrzeni spinowej, $sygnatura$$wymiarem$ reprezentacji , nieparzysty, a wymiar reprezentacji półspinu, jeśli sygnatura jest parzysta. Granica jest ${\ Displaystyle N = 32}$ .

Ta granica powstaje, ponieważ każda teoria z doładowaniami większymi niż $32}$ automatycznie ma pola o spinie (wartości bezwzględnej) większym niż 2. Z bardziej matematycznego punktu widzenia każda reprezentacja superalgebry zawiera pola o spinie większym niż 2. Teorie uwzględniające takie pola są znane jako teorie o wyższym spinie . W przestrzeni Minkowskiego istnieją twierdzenia bez wyjścia, które uniemożliwiają takim teoriom bycie interesującym.

Jeśli ktoś nie chce brać pod uwagę takich teorii, daje to górne granice wymiaru i ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ . W przypadku $}$ z sygnaturą ) wynosi $\ displaystyle$ W przypadku uogólnionych przestrzeni Minkowskiego dowolnej sygnatury górny wymiar zależy w dużej mierze od sygnatury, jak opisano szczegółowo we wcześniejszej sekcji .

Supergrawitacja

Zobacz też: Supergrawitacja

Duża liczba doładowań $.$ również lokalną supersymetrię Jeśli supersymetrie są symetriami cechowania teorii, to ponieważ doładowania mogą być użyte do generowania translacji, oznacza to, że nieskończenie małe translacje są symetriami cechowania teorii. Ale te generują lokalne dyfeomorfizmy , co jest charakterystyczne dla teorii grawitacji. Tak więc każda teoria z lokalną supersymetrią jest z konieczności teorią supergrawitacji.

Granica nałożona na bezmasowe reprezentacje to najwyższy spin pola, który musi mieć spin $\ Displaystyle | h | \ równoważnik 1}$$.$ co wyznacza limit dla teorii bez supergrawitacji

Supersymetryczne teorie Yanga-Millsa

Zobacz też: Supersymetryczne Yang-Mills

Są to teorie składające się z superpola cechowania współpracującego z superpolem spinorowym. Wymaga to dopasowania stopni swobody. Jeśli ograniczymy tę dyskusję do $-wymiarowej przestrzeni$ , stopnie swobody pola cechowania to , podczas gdy stopnie swobody spinora to potęga 2 ${\ displaystyle d-2}$ , co można wywnioskować z informacji w innym miejscu tego artykułu. Nakłada to ograniczenia na przestrzenie super Minkowskiego, które mogą wspierać supersymetryczną teorię Yanga-Millsa. Na przykład dla ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 1}$ , tylko ${\ displaystyle d = 3,4,6}$ lub ${\ displaystyle 10}$ obsługują teorię Yanga-Millsa.

Zobacz też

• Superprzestrzeń
• Super przestrzeń wektorowa
• Algebra Super-Poincarégo

•    Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), „Notatki o supersymetrii (za Josephem Bernsteinem)”, w: Deligne, Pierre ; Etingof, Paweł; Uwolniony, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazdan, Dawid; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten., Edward (red.), Pola i struny kwantowe: kurs dla matematyków, tom. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6 , MR 1701597