Twierdzenie Colemana-Manduli
W fizyce teoretycznej twierdzenie Colemana -Manduli jest twierdzeniem bez wyjścia, stwierdzającym, że czasoprzestrzeń i symetrie wewnętrzne mogą łączyć się tylko w trywialny sposób. Oznacza to, że ładunki związane z wewnętrznymi symetriami muszą zawsze przekształcać się w skalary Lorentza . Niektóre godne uwagi wyjątki od twierdzenia o braku wyjścia to symetria konforemna i supersymetria . Został nazwany na cześć Sidneya Colemana i Jeffreya Manduli , którzy udowodnili to w 1967 roku jako zwieńczenie serii coraz bardziej uogólnionych twierdzeń bez wyjścia, badających, w jaki sposób wewnętrzne symetrie można łączyć z symetriami czasoprzestrzennymi. Uogólnienie supersymetryczne jest znane jako twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa .
Historia
We wczesnych latach sześćdziesiątych wykazano, że związana z ośmiokrotnym sposobem z powodzeniem opisuje hadronów hadronów o tym samym . Doprowadziło to do wysiłków zmierzających ) { { zarówno smak jak i spin, pomysł podobny do tego, który wcześniej rozważał w Eugene Wigner w 1937 r. . Ten nierelatywistyczny zjednoczył mezony wektorowe i pseudoskalarne o w 35-wymiarowy , także połączył dwa dekuplety barionowe w 56-wymiarowy multiplet. Chociaż było to dość skuteczne w opisywaniu różnych aspektów widma hadronów, z perspektywy chromodynamiki kwantowej sukces ten jest jedynie konsekwencją smaku i niezależności siły między kwarkami . Było wiele prób uogólnienia tego nierelatywistycznego na model w pełni , wszystkie zakończyły się
W tamtym czasie otwarte było również pytanie, czy istnieje symetria, dla której cząstki o różnych masach mogą należeć do tego samego multipletu. Taka symetria mogłaby wówczas wyjaśniać rozszczepienie masy występujące w mezonach i barionach. że jest to raczej konsekwencją załamania się symetrii
Te dwie motywacje doprowadziły do serii twierdzeń o braku wyjścia, które wykazały, że symetrii czasoprzestrzennych i symetrii wewnętrznych nie można łączyć w żaden inny sposób niż trywialny. Pierwsze godne uwagi twierdzenie zostało udowodnione przez Williama McGlinna w 1964 r., A następnie uogólnienie Lochlainn O'Raifeartaigh w 1965 r. Kulminacją tych wysiłków było najbardziej ogólne twierdzenie Sidneya Colemana i Jeffreya Manduli w 1967 r.
Niewiele uwagi poświęcono temu twierdzeniu w kolejnych latach. W rezultacie twierdzenie to nie odegrało żadnej roli we wczesnym rozwoju supersymetrii, która zamiast tego wyłoniła się we wczesnych latach siedemdziesiątych XX wieku z badań nad modelami podwójnego rezonansu , które są prekursorami teorii strun , a nie z jakichkolwiek prób przezwyciężenia braku ruchu. twierdzenie. Podobnie twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa , supersymetryczne uogólnienie twierdzenia Colemana – Manduli, zostało udowodnione w 1975 r., Po tym, jak badanie supersymetrii było już w toku.
Twierdzenie
Rozważ teorię, którą można opisać za pomocą macierzy S i która spełnia następujące warunki
- Grupa symetrii to grupa Liego , która obejmuje grupę Poincarégo jako podgrupę,
- Poniżej dowolnej masy istnieje tylko skończona liczba typów cząstek,
- Każdy stan dwucząstkowy podlega pewnej reakcji przy prawie wszystkich energiach ,
- Amplitudy dla elastycznego rozpraszania dwuciałowego są analitycznymi funkcjami kąta rozpraszania przy prawie wszystkich energiach i kątach ,
- Techniczne założenie, że generatory grup są rozkładami w przestrzeni pędu .
Twierdzenie Colemana-Manduli stwierdza, że symetria tej teorii jest z konieczności bezpośrednim iloczynem grupy Poincarégo i wewnętrznej grupy symetrii. Zauważ, że ostatnie założenie techniczne jest niepotrzebne, jeśli teoria jest opisana przez kwantową teorię pola i jest potrzebne tylko do zastosowania twierdzenia w szerszym kontekście.
Argument kinematyczny przemawiający za tym, dlaczego twierdzenie powinno być spełnione, przedstawił Edward Witten . Argumentem jest to, że symetria Poincarégo jest zbyt silnym ograniczeniem dla rozpraszania sprężystego, pozostawiając nieznany tylko kąt rozpraszania. Stąd jakakolwiek dodatkowa symetria zależna od czasoprzestrzeni spowodowałaby nadmierne określenie amplitud, czyniąc je niezerowymi tylko przy dyskretnych kątach rozpraszania. Ponieważ jest to sprzeczne z założeniem analityczności kątów rozpraszania, takie dodatkowe symetrie są wykluczone.
Ograniczenia
Symetria konformalna
Twierdzenie to nie ma zastosowania do teorii cząstek bezmasowych , które prawdopodobnie dopuszczają dodatkową symetrię czasoprzestrzenną zwaną symetrią konforemną. W szczególności dozwoloną algebrą jest algebra Poincarégo wraz z relacjami komutacyjnymi dla generatora dilaton i specjalnym generatorem przekształceń konforemnych , dając algebrę konforemną .
Supersymetria
Twierdzenie Colemana-Manduli zakłada, że jedynymi algebrami symetrii są algebry Liego , ale można to uogólnić na superalgebry Liego . Takie postępowanie pozwala na dodatkowe generatory przeciwkomutujące , znane jako doładowania , które przekształcają się jako spinory w ramach transformacji Lorentza . Powstała algebra jest znana jako algebra super-Poincarégo , z powiązaną z nią symetrią znaną jako supersymetria. Twierdzenie Haaga – Łopuszańskiego – Sohniusa jest uogólnieniem twierdzenia Colemana – Manduli na superalgebry Liego, stwierdzając, że supersymetria jest jedyną dozwoloną nową symetrią zależną od czasoprzestrzeni. W przypadku teorii z cząstkami bezmasowymi twierdzenie to jest ponownie omijane przez symetrię konforemną, która może występować oprócz supersymetrii, dając algebrę superkonformalną .
Niskie wymiary
W teorii jedno- lub dwuwymiarowej jedynym możliwym rozpraszaniem jest rozpraszanie do przodu i do tyłu, więc analityczność kątów rozpraszania nie jest już możliwa, a twierdzenie to już nie obowiązuje. Możliwe są wtedy wewnętrzne symetrie zależne od czasoprzestrzeni, na przykład w masywnym modelu Thirringa , który może dopuszczać nieskończoną wieżę zachowanych ładunków o coraz wyższym randze tensorycznej .
Grupy kwantowe
Modele z nielokalnymi symetriami, których ładunki nie działają na stany wielocząstkowe tak, jakby były iloczynem tensorowym stanów jednocząstkowych, unikają twierdzenia. Takie uchylanie się można znaleźć bardziej ogólnie w przypadku grup kwantowych , które unikają twierdzenia, ponieważ odpowiednia algebra nie jest już algebrą Liego.
Inne ograniczenia
W przypadku innych symetrii czasoprzestrzennych poza grupą Poincarégo, takich jak teorie z tłem de Sittera lub nierelatywistyczne teorie pola z niezmienniczością Galileusza , twierdzenie to już nie obowiązuje. Nie dotyczy to również symetrii dyskretnych , ponieważ nie są to grupy Liego, ani symetrii spontanicznie łamanych, ponieważ nie działają one na poziomie macierzy S, a zatem nie dojeżdżają do pracy z macierzą S.