Twierdzenie Liouville'a-Arnolda

W teorii układów dynamicznych twierdzenie Liouville'a-Arnolda stwierdza, że ​​jeśli w hamiltonowskim układzie dynamicznym o n stopniach swobody istnieje również n niezależnych, komutujących Poissona pierwszych całek ruchu , a zbiór poziomów energii jest zwarty, to istnieje transformacja kanoniczna do współrzędnych kąta działania w którym przekształcony hamiltonian jest zależny tylko od współrzędnych akcji, a współrzędne kąta zmieniają się liniowo w czasie. W ten sposób równania ruchu dla układu można rozwiązać w kwadraturach , jeśli można rozdzielić poziomy równoczesnych ustalonych warunków. Twierdzenie nosi imię Josepha Liouville'a i Vladimira Arnolda .

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione w swojej pierwotnej formie przez Liouville'a w 1853 roku $o$ kanonicznej symplektycznej . Został uogólniony na ustawienie rozmaitości symplektycznych przez Arnol'da, który dał dowód w swoim podręczniku Mathematical Methods of Classical Mechanics opublikowanym w 1974 roku.

Oświadczenie

Definicje wstępne

Niech $Displaystyle (M ^ {2n}, \ omega)}$$\$ będzie rozmaitością symplektyczną o strukturze symplektycznej $\ Displaystyle \ omega}$ .

Integrowalny system na $Displaystyle M ^ {2n}}$$\$ to zestaw na ${\ Displaystyle M ^ {2n}}$ , oznaczony ${\ Displaystyle F = (F_ {1}, \ cdots, F_ {n})}$ , satysfakcjonujące

• (Ogólna) niezależność liniowa: ${\ Displaystyle df_ {1} \ klin \ cdots \ klin df_ {n} \ neq 0}$ na zbiorze gęstym
• Wzajemne dojazdy Poissona: nawias Poissona znika dla dowolnej pary wartości ${\ Displaystyle (F_ {i}, F_ {$$.$ }

$nawias$ Poissona to Liego pól wektorowych pola wektorowego Hamiltona każdemu . W całości, jeśli jest hamiltonowskim polem wektorowym odpowiadającym funkcji gładkiej ${$${\ Displaystyle H: M ^ {2n} \ rightarrow \ mathbb {R}} , X H. {\ Displaystyle X_$ } wtedy dla dwóch gładkich funkcji nawias Poissona wynosi fa $, G}$${\ Displaystyle (F, G) = [X_ {F}, X_ {G}]}$ .

Punkt ${\ Displaystyle df_ {1} \ klin \ cdots \ klin df_ {n} (p) \ neq 0$ regularnym punktem, jeśli $p$ .

System całkowalny definiuje funkcję ${\ Displaystyle F: M ^ {2n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Oznacz przez $}}$ } zestaw poziomów funkcji $}$

$${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {c}} = \ {x: F_ {i} (x) = c_ {i} \},}$$

lub alternatywnie ${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {c}} = F ^ {- 1} (\ mathbf {c})}$ .

Teraz, jeśli $otrzymamy$ dodatkową strukturę wyróżnionej funkcji $\ Displaystyle (M ^ {$$)$ Hamiltona ( jeśli można $go$ uzupełnić do systemu całkowalnego, to znaczy istnieje system całkowalny ${\ Displaystyle F = (F_ {1} = H, F_ {2}, \ cdots, F_ {n})}$ .

Twierdzenie

( ${\ Displaystyle (M ^ {2n}, \ omega, F)}$$jest$ całkowalnym systemem Hamiltona i charakteryzuje zbiór poziomów ${\ Displaystyle L_ {c}}$ obrazu punktu regularnego do ${\ Displaystyle c = F (p)$ :

• ${\ Displaystyle L_ {c}}$ jest gładką rozmaitością, która jest niezmienna w $przepływie$ hamiltonowskim przez hamiltonowskim indukowanym przez dowolny element całkowalnego system).
• Jeśli jest ponadto zwarty i spójny, jest dyfeomorficzny z N - torusem $^ {n}}$$displaystyle$ .
• Istnieją (lokalne) współrzędne na ${\ Displaystyle L_ {c}}$${\ Displaystyle (\ theta _ {1}, \ cdots \ theta _ {n}, \ omega _ {1}, \ cdots, \ omega _ {n}}}$ tak, że ${\ Displaystyle \ omega _ {i}}$ są stałe na ustawionym poziomie, podczas gdy ${\ Displaystyle {\ kropka {\ teta}} _ {i}: = (H, \ teta _ {i}) = \ omega _ {i}}$ . Współrzędne te nazywane są współrzędnymi kąta działania .

Przykłady systemów całkowalnych Liouville'a

System hamiltonowski, który jest całkowalny, jest określany jako „całkowalny w sensie Liouville'a” lub „całkowalny Liouville'a”. W tej sekcji podano słynne przykłady.

Niektóre oznaczenia są standardem w literaturze. Gdy rozpatrywana rozmaitość symplektyczna to $,$$displaystyle ( ( q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,q_{n})}$ współrzędne są często zapisywane a kanoniczna forma symplektyczna to ${\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i} dq_ {i} \ klin dp_ {i}}$ . O ile nie zaznaczono inaczej, przyjmuje się je dla tej sekcji.

• oscylator harmoniczny : ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega, H)}$ z ${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ suma _ {i} \ lewo ({\ Frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1 }{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$ . H. $= {\ Frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {1 }{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$ , układ całkowalny to ${\ Displaystyle (H, H_ {1}, \ cdots, H_ {n-1})}$ .

• Centralny układ sił : ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {6}, \ omega, H)}$ z ${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = {\ Frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}} - U (\ mathbf {q} ^ {2})}$ z ${\ displaystyle U}$ jakaś potencjalna funkcja. Definiując moment pędu $układ całkowalny$ to $H. ,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$ .

• Wierzchołki całkowalne : wierzchołki Lagrange'a, Eulera i Kowalewskiej są całkowalne w sensie Liouville'a.

Zobacz też

• Całkowalność Frobeniusa : bardziej ogólne pojęcie całkowalności.
• Integrowalne systemy