Twierdzenie Peetre'a

W matematyce (liniowe) twierdzenie Peetre'a, nazwane na cześć Jaaka Peetre'a , jest wynikiem analizy funkcjonalnej , która daje charakterystykę operatorów różniczkowych pod względem ich wpływu na uogólnione przestrzenie funkcyjne , bez wyraźnej wzmianki o różnicowaniu . Twierdzenie Peetre'a jest przykładem twierdzenia o skończonym porządku, w którym funkcja lub funktor , zdefiniowany w bardzo ogólny sposób, w rzeczywistości można wykazać, że jest wielomianem z powodu jakiegoś zewnętrznego warunku lub nałożonej na niego symetrii.

Ten artykuł dotyczy dwóch form twierdzenia Peetre'a. Pierwsza to wersja oryginalna, która, choć sama w sobie całkiem użyteczna, jest w rzeczywistości zbyt ogólna dla większości zastosowań.

Oryginalne twierdzenie Peetre'a

Niech M będzie gładką rozmaitością i niech E i F będą dwiema wiązkami wektorowymi na M . Pozwalać

$\ hbox {i}} \ \ Gamma ^ {\ infty} (F)}$

będą przestrzeniami gładkich odcinków E i F . Operator _

${\ Displaystyle D: \ Gamma ^ {\ infty} (E) \ strzałka w prawo \ Gamma ^ {\ infty} (F)}$

jest morfizmem krążków , który jest liniowy na przekrojach, tak że podpora D jest nierosnąca : supp Ds ⊆ supps s dla każdego gładkiego odcinka s E . Oryginalne twierdzenie Peetre'a stwierdza, że ​​dla każdego punktu p w M istnieje sąsiedztwo U z p i liczba całkowita k (zależna od U ) taka, że ​​D jest operator różniczkowy rzędu k nad U . Oznacza to, że D rozkłada się poprzez liniowe odwzorowanie iD z k - strumienia przekrojów E do _przestrzeni gładkich przekrojów F :

${\ Displaystyle D = i_ {D} \ circ j ^ {k}}$

Gdzie

${\ Displaystyle j ^ {k}: \ Gamma ^ {\ infty} E \ strzałka w prawo J ^ {k} E}$

jest operatorem k -jet i

${\ Displaystyle i_ {D}: J ^ {k} E \ rightarrow F}$

jest liniowym odwzorowaniem wiązek wektorowych.

Dowód

Problem jest niezmienny przy dyfeomorfizmie lokalnym, więc wystarczy go udowodnić, gdy M jest zbiorem otwartym w R ⁿ , a E i F są wiązkami trywialnymi. W tym momencie opiera się przede wszystkim na dwóch lematach:

• Lemat 1. Jeżeli hipotezy twierdzenia są spełnione, to dla każdego x ∈ M i C > 0 istnieje sąsiedztwo V od x i dodatnia liczba całkowita k taka, że ​​dla dowolnego y ∈ V \{ x } i dla dowolnego przekroju s od E , którego k -jet znika w punkcie y ( j ^k s ( y )=0), mamy | DS ( r )|<C.
• Lemat 2. Do udowodnienia twierdzenia wystarczy pierwszy lemat.

Zaczniemy od dowodu Lematu 1.

Załóżmy, że lemat jest fałszywy. Wtedy istnieje ciąg x _k dążący do x i ciąg bardzo rozłącznych kul B _k wokół x _k (co oznacza, że ​​odległość geodezyjna między dowolnymi dwoma takimi kulkami jest różna od zera) oraz sekcje sk _E nad każdą B _k takie, że j ^k s _k ( x _k )=0 ale | Ds _k ( x _k )|≥C>0.

Niech ρ( x ) oznacza standardową funkcję wypukłości dla kuli jednostkowej na początku: gładką funkcję o wartościach rzeczywistych, która jest równa 1 na B _1/2 (0), która znika do nieskończonego rzędu na granicy kuli jednostkowej .

Rozważ każdą inną sekcję s _2k . Przy x _2k spełniają one warunek

j ^2k s _2k ( x _2k )=0.

Załóżmy, że podano 2k . Następnie, ponieważ te funkcje są gładkie i każda spełnia j ^2k ( s _2k )( x _2k )=0, można określić mniejszą kulę B′ _δ ( x _2k ) taką, że pochodne wyższego rzędu podlegają następującemu oszacowaniu:

${\ Displaystyle \ suma _ {|\ alfa |\ równoważnik k} \ \ sup _ {y \ w B' _ {\ delta} (x_ {2k})} | \ nabla ^ {\ alfa} s_ {k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}}$

gdzie

${\ Displaystyle M_ {k} = \ suma _ {|\ alfa | \ równoważnik k} \ sup | \ nabla ^ {\ alfa} \ rho |.} Teraz$

ρ

${\ Displaystyle \ rho _ {2k} (y): = \ rho \ lewo ({\ Frac {y-x_ {2k}} {\ delta}} \ prawej)} jest standardową funkcją$

wypukłości wspierana w B′ _δ ( x _2k ), a pochodna iloczynu s _2k ρ _2k jest ograniczona w taki sposób, że

${\ Displaystyle \ max _ {|\ alfa |\ równoważnik k} \ \ sup _ {y \ w B' _ {\ delta} (x_ {2k})} | \ nabla ^ {\ alfa} (\ rho _ { 2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.}$

W rezultacie, ponieważ następujący szereg i wszystkie sumy cząstkowe jego pochodnych są zbieżne jednostajnie

${\ Displaystyle q (y) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {2k} (y) s_ {2k} (y),} q ($

y ) jest gładkie działa na wszystkich V .

Teraz obserwujemy, że ponieważ $s$ 2k _i 2k _s 2k _są

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} | Dq (x_ {2k}) | \ geq C}$

w sąsiedztwie x _2k ,

Więc przez ciągłość | Dq ( x )|≥ C>0. Z drugiej strony

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} Dq (x_ {2k + 1}) = 0}$

od Dq ( x _{2k + 1} )=0, ponieważ q jest identycznie zerowe w B _2k+1 , a D jest wsparciem nierosnącym. Więc Dq ( x )=0. To jest sprzeczność.

Udowodnimy teraz Lemat 2.

Po pierwsze, zrezygnujmy ze stałej C z pierwszego lematu. Pokazujemy, że przy tych samych hipotezach co Lemat 1, |Ds(y)|=0. Wybierz y w V \{ x } tak, aby j ^k s (y)=0 ale | ds ( y )|= g > 0. Przeskaluj s o współczynnik 2 C /g. Wtedy jeśli g jest niezerowe, przez liniowość D , | Ds ( y )|=2 do > do , co jest niemożliwe z Lematu 1. Dowodzi to twierdzenia w przebitym sąsiedztwie V \{ x }.

Teraz musimy kontynuować działanie operatora różniczkowego do centralnego punktu x w przebitym sąsiedztwie. D jest liniowym operatorem różniczkowym z gładkimi współczynnikami. Ponadto wysyła zarodki o gładkich funkcjach do zarodków o gładkich funkcjach również w x . Zatem współczynniki D są również gładkie w x .

Specjalna aplikacja

Niech M będzie zwartą rozmaitością gładką (być może z granicą ), a E i F będą wiązkami wektorowymi o skończonych wymiarach na M . Pozwalać

${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (E)}$ będzie zbiorem gładkich odcinków mi . re mi

${\ Displaystyle D: \ Gamma ^ {\ infty} (E) \ strzałka w prawo \ Gamma ^ {\ infty} (F$

jest gładką funkcją (z rozmaitości Frécheta ), która jest liniowa na włóknach i szanuje punkt bazowy na M :

${\ Displaystyle \ pi \ circ D_ {p} = str.}$

Twierdzenie Peetre'a stwierdza, że ​​dla każdego operatora D istnieje liczba całkowita k taka, że ​​D jest operatorem różniczkowym rzędu k . W szczególności możemy się rozłożyć

${\ Displaystyle D = i_ {D} \ circ j ^ {k}}$

gdzie $odwzorowaniem$ od dżetów sekcji E do wiązki . Zobacz także wewnętrzne operatory różniczkowe .

Przykład: Laplace'a

Rozważmy następujący operator:

${\ Displaystyle (Lf) (x_ {0}) = \ lim _ {r \ do 0} {\ Frac {2d} {r ^ {2} }}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx}$

gdzie ${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ i ${\ Displaystyle S_ {r}}$ jest kulą wyśrodkowaną na ${\ displaystyle x_ {0}}$ z promieniem ${\ displaystyle r}$ . W rzeczywistości jest to Laplacian. Pokażemy, $różniczkowym$ według twierdzenia Peetre'a. Główną ideą jest to, że ponieważ ${$$\ Displaystyle Lf (x_ {0})}$$jest$ zdefiniowany tylko w kategoriach w pobliżu ma charakter lokalny; w $dlatego$ , jeśli $wynosi$ zero, to samo jest wsparcie nie może rosnąć.

Dowód techniczny wygląda następująco.

Niech ${\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {d}}$ i ${\ displaystyle E}$ i $F} będą$$displaystyle$ rangi .

${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} ($ mi $E$ są prostu ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ płynnych funkcji na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . jako snop, ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}$ gdzie jest zbiorem gładkich funkcji na zbiorze otwartym, $ograniczenie$ jest ograniczeniem funkcji.

Aby zobaczyć, że $jest$ morfizmem, musimy sprawdzić ${\ Displaystyle (Lu) | V = L (u | V)}$ dla zbiorów otwartych ${\ Displaystyle U}$ i ${\ Displaystyle V}$ tak, że ${\ Displaystyle V \ podzbiór U}$ i ${\ Displaystyle u \ w C ^ {\ infty} (U)}$ . Jest to ${\ Displaystyle [(Lu) | V] (x)}$ , $L$ i ${\ Displaystyle [L (u | V)] (x)}$ są po prostu ${\ Displaystyle \ lim _ {r \ do 0} {\ Frac {2d} {r ^ {2}}} {\ Frac {1} {| S_ {r}|}} \ int _ {S_ {r}} (u (y) -u (x)) dy}$ , ponieważ ${\ displaystyle S_ {r}}$ ostatecznie znajduje się wewnątrz obu ${\ displaystyle U}$ i $inaczej$ .

Łatwo sprawdzić, że jest liniowy: ${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L (f + g) = L (f) + L (g)}$ i ${\ styl wyświetlania L(af)=aL(f)}$

Na koniec sprawdzamy, czy $\ displaystyle suppLf \ subseteq suppf}$ lokalny w tym sensie, że $L$ . Jeśli $\ Displaystyle x_ {0} \ notin supp (f)}$${\ displaystyle f = 0$ to $}$ , że w kuli o promieniu $displaystyle$ w $x_ {0}}$ . Zatem dla ${\ Displaystyle x \ w B (x_ {0}, r)$ }

${\ Displaystyle \ int _ {S_ {r'}} (f (y) -f (x)) dy = 0}$

dla ${\ Displaystyle r' <r-|xx_ {0}|}$ , a zatem ${\ Displaystyle (Lf) (x) = 0}$ . Dlatego ${\ Displaystyle x_ {0} \ notin suppLf}$ .

Tak więc, zgodnie z twierdzeniem Peetre'a, $jest$ różniczkowym.

• Peetre J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Skanuj. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Skanuj. 8 (1960), 116-120.
• Terng, CL , Naturalne wiązki wektorowe i naturalne operatory różniczkowe , Am. J. Matematyka. 100 (1978), 775-828.